2022 – 1ªFase – Matemática A

Prova Escrita de Matemática A – versão 1

Prova 635: 1.ª Fase – 2022

A prova inclui 12 itens, devidamente identificados no enunciado, cujas respostas contribuem obrigatoriamente para a classificação final.

Dos restantes 6 itens da prova, apenas contribuem para a classificação final os 3 itens cujas respostas obtenham melhor pontuação.

*A pontuação obtida na resposta contribui obrigatoriamente para a classificação final da prova.

Resolução

Opção (B)

Critérios

Opção (B) ……………. 12 pontos

Resolução

Critérios

*A pontuação obtida na resposta contribui obrigatoriamente para a classificação final da prova.

Resolução

Opção (D)

Critérios

Opção (D) ……………. 12 pontos

*A pontuação obtida na resposta contribui obrigatoriamente para a classificação final da prova.

Resolução

As peças podem ser da mesma cor ou de cores diferentes.

⇒ 3 x ¹²C₂ : é o número de maneiras de escolher uma das três cores, ¹²C₂ = 3, e, para cada uma destas maneiras, escolher duas das doze casas do tabuleiro para as duas peças da mesma cor – o número de maneiras de o fazer é ¹²C₂ ;

⇒ ¹²C₂ x ¹²A₂ : é o número de maneiras de escolher duas das três cores, ¹²C₂, e, para cada uma destas maneiras, escolher ordenadamente duas das doze casas do tabuleiro para as duas peças de cores diferentes – o número de maneiras de o fazer é ¹²A₂ .

Critérios

Resolução

Critérios

*A pontuação obtida na resposta contribui obrigatoriamente para a classificação final da prova.

Resolução

Opção (D)

Como se pretende identificar um plano perpendicular ao plano que contém a base do cone, então os respetivos vetores normais devem ser perpendiculares, pelo que calculamos os produtos escalares entre os vetores normais dos planos definidos em cada uma das hipóteses o vetor normal do plano que contém a base do cone para encontrar um produtos escalares nulos e assim identificar planos perpendiculares:

⇒ ( 0 , 4 , − 3 ) . ( 0 , 4 , − 3 ) = 0 + 4 x 4 + (−3) x (−3) = 16 + 9 = 25

⇒ ( 3 , 4 , 1 ) . ( 0 , 4 , − 3 ) = 3 0 + 4 x 4 + 1 x (−3) = 0 + 16 − 3 = 13

⇒ ( 0 , 3 , 4 ) . ( 0 , 4 , − 3 ) = 0 + 3 x 4 + 4 x (−3) = 12 − 12 = 0

⇒ ( 1 , 3 , 4 ) . ( 0 , 4 , − 3 ) = 0 + 3 x 4 + 4 x (−3) = 0 + 12 − 12 = 0

Temos que apenas as equações apresentadas nas opções (C) e (D) representam planos perpendiculares ao plano que contém a base do cone, pelo que resta verificar qual das duas equações é verificada pelas coordenadas do ponto ( 1 , 2 , −1 ), substituindo as suas coordenadas em cada uma das equações:

⇒ 3 (2) + 4 (−1) = 18 ⇔ 6 − 4 = 18 ⇔ 2 = 18 (Proposição falsa)

⇒ 1 + 3 (2) + 4 (−1) = 3 ⇔ 1 + 6 − 4 = 3 ⇔ 3 = 3 (Proposição verdadeira)