Ficha nº4 – Movimentos retilíneos em planos horizontais

• A velocidade do carro da policia é v_p = 25 m s^-1
• A velocidade final do carro vermelho é v_c = 33,3 m s^-1

Como:

$a=\frac{∆v}{∆t}\iff 4,0=\frac{33,3–0}{∆t}\iff ∆t=8,33 s$

Nos primeiros 8,33 s, o automóvel vermelho percorreu a distância 138,7 m.

Até esse instante, o carro da policia percorreu a distância 208,2 m.

Como estava a 200 m mais atrás do carro vermelho, nesse instante o carro da policia encontrava-se 138,7 – 8,2 = 130,5 m atrás do carro vermelho.

A partir dos 8,33 s os dois carros têm movimento retilíneo e uniforme, sendo a velocidade do carro vermelho superior ao da policia, logo a policia nunca irá ultrapassar o carro vermelho. 

2.1 x = 6,0t – 3,0 t² (SI)

2.2 Inicialmente, o cavalo deslocou-se no sentido positivo, mas inverteu o sentido ao fim de 1,0 s de  movimento, quando se encontrava na posição x = 3,0 m.

No instante t = 4,0 s, estava na posição x = – 24 m, totalizando um espaço percorrido de s = 3,0 + 27 = 30,0 m.

• Opção (C)

4.1 x = 6,0 – 1,0 t (SI)

4.2 Opção (A)

O movimento é retilíneo uniformemente acelerado, com v₀ = o m s^-1.

• $∆x=\frac{1}{2}a{t}^2$
• $v=at$

Cálculo do módulo da aceleração:

Substituindo pelos valores, tem-se:

• $20=\frac{1}{2}\times a\times 4,0^2\iff a=2,5 m s^{–2}$

Cálculo do instante em que v = 30 m s^-1.

•  
  $v=at\iff 30=2,5\times t\iff t=12 s$

6.1 Da equação do movimento obtém-se a componente escalar da aceleração que o dobro d0 coeficiente de t².

Portanto, a = 4,0 m s^-2.

Pela segunda lei de Newton, a componente escalar da resultante das forças é Fr = 25 x 4,0 = 100 N, igual à respetiva intensidade. 

6.2 A equação das velocidades é v(t) = – 4,0 + 4,0 t (SI)

Na inversão de sentido tem-se vx (t) = 0 , ou seja – 4,0 + 4,0 t = 0 ⇔ t = 1,0 s

6.3 Para t = 4,0 s, vem :

v (4) = – 4,0 + 4,0 x (4,0) = 12,0 m s^-1

A componente escalar da velocidade e a componente da aceleração são positivos, logo o movimento é uniformemente acelerado no sentido positivo.

6.4 O ponto de partida é a posição inicial x0 = 18,0 m, logo

18,0 = 18,0 – 4,0t + 2,0t² ⇔ t = 2,0 s

O gráfico posição-tempo é:

7.1 As forças que fizeram parar a ancora são forças não conservativas.

• $w_{Fres}=∆Em$

Como ΔEc = 0. 

• $–150\times 10\times 12,0=F_{NC}\times 2,0\times \cos 180º\iff F_{NC}=9000 N$

7.2 A ancora atinge a areia com velocidade de módulo 14,1 m s^-1.

• $y=y_0+v_{0}t+\frac{1}{2}g{t}^2\iff 0=10,0–5t^2\iff t=\sqrt{\frac{10}{5}}=1,41 s$
• $v=v_0–gt\iff v=0–10\times 1,41=14,1 m s^{–1}$

Considerando que o sentido do movimento é o sentido positivo e resolvendo em simultâneo as equações:

• $y=y_0+v_{0}t+\frac{1}{2}g{t}^2\iff 2=14,1t–\frac{1}{2}a{t}^2$
• $v=v_0–at\iff 0=14,1–at$

Ou

• $v^2=v_0^2+2a∆x\iff 0=14,1^2–2\times a\times 2\iff a=49,7 m s^{–2}$

Conclui-se que a = 49,7 m s^-2 no sentido contrário ao movimento.

8.1 A posição inicial dos dois coincide com a origem do referencial, logo x₀ = 0,0 m

O polícia parte do repouso, v₀ = 0,0 m s^-1, e a sua aceleração é determinada pelo declive da linha do gráfico:

• $a=\frac{30–0}{12,0–0}=2,5 m s^{–2}$

As leis do movimento do polícia são : 

• x = 1,25 t² 
• v = 2,5 t

A velocidade do ladrão é constante, logo a sua aceleração é nula.

As leis do movimento do ladrão são:

• x = 20,0 t
• v = 20,0

8.2 Aos 12,0 s, o ladrão encontra-se na posição x = 20,0 x 12,0 = 240 m.

o polícia encontrava-se x = 1,25 x 12,0² = 180 m

Como no início da perseguição os dois se encontravam na mesma posição, ao fim de 12,0 s o polícia ainda não tinha conseguido alcançar o ladrão, estava a 60 m dele.

8.3 Quando o polícia alcançou o ladrão, os dois encontram-se na mesma posição. Para determinar essa posição começa-se por igualar as equações das posições a cada veículo:

• 1,25 t² = 20,0 t ⇔ 1,25 t = 20,0 ⇔ t = 16 s ( a solução t = 0,0 s ignora-se pois corresponde ao início do movimento).

Substituindo este valor na equação das posições do polícia, x = 1,25 t² = 1,25 x 16² =  320 m

• Conclui-se que o polícia alcançou o ladrão depois de andarem cerca de 320 m.

8.4  Nas condições referidas, o polícia atingiu a velocidade máxima aos 16 segundos.

substituindo este valor na equação das velocidades do polícia, v = 2,5 x 16 = 40 m s^-1, conclui-se que o polícia atingiu os 144 km h^-1.

• $a=\frac{∆v}{∆t}=\frac{21–18}{6–5}=3 m s^{–2}$

(declive)

• $v=v_0+3t\iff 6=v_0+3\times 1\iff v_0=2 m s^{–1}$

10.1 Opção (C)

10.2 Opção (D)

11.1 O valor da aceleração calcula-se pelo declive de cada segmento de reta do gráfico.

• $a_A=\frac{0–40}{10–0}=–4,0 m s^{–2}$
• $a_B=\frac{0–40}{12–2}=–4,0 m s^{–2}$

⇒ a_A = a_B, uma vez que os declives são iguais

11.2 A distância percorrida sobre a trajetória, por cada uma das motas, pode ser calculada pela área delimitada pelos segmentos de reta do gráfico e o sistema de eixos.

• $A_{∆}\to ∆x_A=\frac{40\times 10}{2}=200 m$
• $A_{∆}\to ∆x_B=40\times 2+\frac{40\times 10}{2}=280 m$

11.3 A mota A desloca-se com movimento retilíneo uniformemente retardado, pois v > 0 e a < 0.

A lei do movimento é :

• $∆x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2=40\times 10+\frac{1}{2}\times \left(–4,0\right)\times {10}^2=200 m$

A mota B nos primeiros 2 segundos, desloca-se com movimento retilíneo uniforme.

A lei do movimento é :

• $x=x_0+v_{0}t=0+40\times 2=80 m$

A mota B a partir dos 2 segundos desloca-se com movimento retilíneo uniformemente retardado, pois v > 0 e a < 0.

A lei do movimento é :

• $∆x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2=40\times 10+\frac{1}{2}\times \left(–4,0\right)\times {10}^2=200 m$

⇒ Δx = 80 + 200 = 280 m

11.4 A mota que, no início da travagem, vai à frente é a mota A.

Então, para que não haja colisão, deverá ser:

x_B (12) < x_A (10) ⇔ x_B (12) – x_A (10) < 0 ⇔

(x_B (0) + 280) – ( x_A (0) + 200) < 0 ⇔

(x_B (0) + 280) – ( x_A (0) + 200) < 0 ⇔

x_B (0) + 280 – x_A (0) + 200 < 0 ⇔

x_B (0) – x_A (0) < -80 ⇔

x_A (0) – x_B (0) > 80 

Logo, a distância mínima entre as duas motas para que não haja de colisão é de 80 m.

12.1 Igualando as equações das posições dos dois veículos:

22,2 t + 2 t² = 30 + 16,7 t ⇔ t = 2,73 s 

12.2 Determinar o instante em que as linhas do gráfico x = f(t) se cruzam.

12.3 v = 22,2 + 4,0 x 2,73 = 33,1 m s^-1

13.1 As acelerações da mota A e de B são :

• $a_A=\frac{∆v}{∆t}=\frac{60}{120}=0,5 m s^{–2}$
• $a_B=\frac{∆v}{∆t}=\frac{30}{120}=0,25 m s^{–2}$

As velocidades iniciais são nulas: v_0A = v_0B = 0

As equações das posições são :

• X_A = ½ a_A t² = 0,25 t² (SI)
• X_B = X₀ + ½ a_A t² = 80 +0,125 t² (SI)

13.2 Quanto se encontram X_B = X_A

logo, 80 +0,125 t² = 0,25 t²  ⇔ t = 25,3 s

Encontram-se na posição  X_A (25,3) =0,25 t² = 0,25 x (25,3)² = 160 m

A questão também poderia ser resolvida geometricamente, através das áreas no gráfico velocidade-tempo.

14.1 A velocidade inicial é 190 km h-1 = 52,8 s e, como o movimento é retardado, a componente escalar da aceleração, tem sentido oposto ao da velocidade, logo as equações do movimento são:

• x (t) = 52,8 t – ½ a t² 
• v_x (t) = 52,8 – a t

 sendo x (t) = 300 m quando vx (t) = 0.

Resolvendo o sistema de equações, a partir de v_x (t) = 0 obtém-se t = 52,8/a

• $t=\frac{52,8}{a}$
• $300=\frac{52,8^2}{a}–\frac{1}{2}a{\left(\frac{52,8}{a}\right)}^2\iff a=4,65 m s^{–2}$

então : t = 41,6 s

14.2 A intensidade da resultante das forças obtém-se a partir da segunda lei de Newton:

• Fr = m a = 47000 x 4,65 = 2,18 x 10⁵ N

Como o movimento é retardado, essa resultante tem sentido oposto ao deslocamento, logo:

• W = 2,18 x 10⁵ x 300 x cos 180º = – 6,55 x 10⁷ J

Alternativamente, pode obter-se o trabalho a partir do teorema da energia cinética:

W = ΔEc = ½ x 47000 x (0² – 52,8²)= – 6,55 x 10⁷ J

• Considerando um referencial com origem no ponto onde parte do carro e sentido do movimento do carro.

⇒ Para o carro: 

Fr = ma ⇔ 8400 = 2100 x a ⇔ a = 4 m s^-2

• a = 4,0 m s^-2
• x = 2 t² 

⇒ Para a carrinha:

• x = 180 – v₀ (t – 4,0)

O cruzamento dos carros ocorreu 6,7 s depois de o carro ter arrancado do extremo da ponte:

• 90 = 2,0 t² ⇔ t = 6,7 s

O módulo da velocidade da carrinha calcula-se por:

• 90 = 180 – v₀ (6,7 – 4,0) ⇔ v₀ = 33,3 m s^-1