Aula nº2 – Conjuntos de números inteiros

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Conjuntos de números

⇒ Números naturais

$\mathbb{N} - \left \{ 1,\; 2, \: 3, \: 4, \: 5, ... \right \}$

O conjunto de números naturais é infinito, pelo que se colocam reticências.
Se incluirmos o zero no conjunto de números naturais,

$\mathbb{N}_{0} - \left \{0,\: 1,\; 2, \: 3, \: 4, \: 5, ... \right \}$

⇒ Números inteiros

$\mathbb{Z} - \left \{ ...\: ,\: -5,\; -4, \: -3, \: -2, \: -1,\: 0, \: +1,\; + 2, \: +3, \: +4, \: +5, ... \right \}$

subconjunto de números negativos

$\mathbb{Z}^{-} - \left \{ ...\: ,\: -5,\; -4, \: -3, \: -2, \: -1 \right \}$

subconjunto de números não positivos

$\mathbb{Z}_{0}^{-} - \left \{ ...\: ,\: -5,\; -4, \: -3, \: -2, \: -1,\: 0 \right \}$

subconjunto de números positivos

$\mathbb{Z}^{-} - \left \{ \: +1,\; + 2, \: +3, \: +4, \: +5, ... \right \}$

subconjunto de números não negativos

$\mathbb{Z}_{0}^{+} - \left \{ \: 0, \: +1,\; + 2, \: +3, \: +4, \: +5, ... \right \}$

nota: ao indicar um número positivo omitimos o sinal “+” para simplificar.

⇒ Ordenação de número inteiros

Um número a é maior que um número b se o ponto associado a a pertence à semirreta de sentido positivo associada ao ponto que representa b.
O número 0 é maior que qualquer número negativo e é menor que qualquer número positivo.

exemplo:

qual é maior -7 ou -2?

como os dois números pertencem à mesma semirreta de sentido positivo, então: -2 > -7 ou -7 < -2

Adição de números inteiros

A soma de dois números com o mesmo sinal é igual ao número com o mesmo sinal e valor absoluto igual à soma dos valores absolutos das parcelas

Exemplo:

2 + 4 = 6
(-2) + (-4) = -2 – 4 = -6

A soma de dois números de sinais contrários não simétricos é igual ao número de sinal igual ao da parcela com maior valor absoluto e de valor igual à diferença entre o maior e o menor dos valores absolutos das parcelas.

Exemplo:

2 + (-4) = 2 – 4 = -2
12 + (-3) = 12 – 3 = 9

A soma de dois números simétricos é zero

Exemplo:

-3 + 3 = 0
4 + (-4) = 4 – 4 = 0

Propriedades da adição:

⇒ Propriedade comutativa da adição

Alterar a soma das parcelas não altera a soma.

Por exemplo,

Nota que ambas as somas são apesar de a ordem ter sido trocada.

⇒ Propriedade associativa da adição

Alterar o agrupamento das parcelas não altera a soma.

Por exemplo,

Recorda que os parênteses nos indicam o que devemos fazer primeiro.

O lado esquerdo é calculado assim:

E o lado direito é calculado assim:

Nota que a soma de ambos os lados é apesar de termos somado o e o primeiro no lado esquerdo, e o e o primeiro no lado direito.

⇒ Existência de elemento neutro

A propriedade do elemento neutro da adição refere que a soma de e qualquer número é esse número.

Aqui está um exemplo:

Isto é verdade porque a definição de é “nenhuma quantidade”, portanto, quando somamos a 5, a quantidade de 5 não se altera!

A propriedade comutativa da adição garante que não importa se o surge antes ou depois do número.

Aqui está um exemplo da propriedade do elemento neutro da adição com o depois do número:

⇒ Existência de elemento simétrico

A soma de dois números simétricos é nula.

Por exemplo,

Subtração de números inteiros

A subtração é a operação inversa da adição.

Exemplo:

dado o número 8, 0 – 8 = -8
– (-8) = 8
0 – (-8) = 0 + 8 = 8
0 + (+8) = 0 + 8 = 8

Adição algébrica

A adição e a subtração de números designa-se adição algébrica
dado um número b, tem-se:

⇒ + (+b) = + b = b

⇒ + (-b) = -b

⇒ – (+b) = – b

⇒ – (-b) = + b = b

Exemplo:

– (-4) + (-3) – (-5) – (+9) – (-4) + (+3) =

= 4 + (-3) + (+5) + (-9) + (+4) + 3

= 1 + (+5) + (-9) + (+4) + 3

= 1 + (-4) + (+4) + 3

= 1 + (-4) + 7

= (-3) + 7

= + 4

Simplificação da escrita da soma algébrica

⇒ Se o parênteses está precedido do sinal “+”, elimina-se este sinal e os parênteses, mantendo o sinal que está dentro deles.

Exemplo: 5 + (-4) = 5 – 4 = 1

⇒ Se o parênteses está precedido do sinal “-“, elimina-se este sinal e os parênteses, trocando o sinal que está dentro deles.

Exemplo: 5 – (+4) = 5 – 4 = 1

⇒ simétrico da soma e da diferença

Exemplo:

– (2 + 3) = – 2 + (-3) = -2 -3 = -5
– (2 – 3) = – 2 + 3 = 1

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