⇒ A soma dos trabalhos realizados pelas forças aplicadas em A é igual à soma dos trabalhos realizados pelo peso e pelas forças não conservativas.

⇒ O trabalho realizado pelo peso é nulo dado que este (vertical) é perpendicular ao deslocamento (horizontal).

⇒ A soma dos trabalhos realizados pelas forças não conservativas que atuam em A, no percurso considerado, é igual à soma dos trabalhos realizados pelas forças que atuam em A, portanto, igual à variação de energia cinética que é positiva, dado que a velocidade de A aumenta.

• A resposta integra os tópicos de referência seguintes ou outros de conteúdo equivalente:

A) A soma dos trabalhos realizados pelas forças não conservativas [que atuam no conjunto A] é igual à soma da variação da energia cinética [do conjunto] e da variação da energia potencial gravítica [do sistema conjunto + Terra].

B) [No intervalo de tempo considerado,] a variação da energia cinética [do conjunto] é positiva, uma vez que o módulo da velocidade [daquele conjunto] aumenta.

C) [No intervalo de tempo considerado,] a variação da energia potencial gravítica [do sistema conjunto + Terra] é nula, uma vez que o conjunto se move sobre uma superfície horizontal.

D) [Consequentemente, no intervalo de tempo considerado,] a soma dos trabalhos realizados pelas forças não conservativas que atuam no conjunto [, sendo igual à variação da energia cinética do conjunto, no mesmo intervalo de tempo,] é positiva.

ou

A) A soma dos trabalhos realizados pelas forças conservativas e pelas forças não conservativas [que atuam no conjunto A] é igual à variação da energia cinética [desse conjunto].

B) [ No intervalo de tempo considerado,] a variação da energia cinética [do conjunto] é positiva, uma vez que o módulo da velocidade [daquele conjunto] aumenta.

C) [No intervalo de tempo considerado,] o trabalho realizado pelo peso do conjunto [(a única força conservativa que atua nesse conjunto)] é nulo, uma vez que o peso é uma força perpendicular ao deslocamento.

D) [Consequentemente, no intervalo de tempo considerado,] a soma dos trabalhos realizados pelas forças não conservativas que atuam no conjunto [, sendo igual à variação da energia cinética do conjunto, no mesmo intervalo de tempo,] é positiva.

ou

A) [No intervalo de tempo considerado,] a aceleração do conjunto A (ou a resultante das forças que atuam no conjunto A) tem o sentido do movimento, uma vez que o módulo da velocidade aumenta.

B) O trabalho realizado pela resultante das forças [que atuam no conjunto] é positivo, uma vez que essa resultante tem o sentido do deslocamento (ou uma vez que o módulo da velocidade aumenta).

C) [No intervalo de tempo considerado,] o trabalho realizado pelo peso do conjunto [(a única força conservativa que atua nesse conjunto)] é nulo, uma vez que o peso é uma força perpendicular ao deslocamento.

D) [Consequentemente, no intervalo de tempo considerado,] a soma dos trabalhos realizados pelas forças não conservativas que atuam no conjunto [, sendo igual ao trabalho realizado pela resultante das forças que atuam no conjunto, no mesmo intervalo de tempo,] é positiva.

ou

A) [Deslocando-se o conjunto A sobre uma superfície horizontal,] as forças [conservativas ou não conservativas] que realizem trabalho [não nulo] serão as forças responsáveis pela variação do módulo da velocidade do conjunto.

B) [No intervalo de tempo considerado,] o trabalho realizado pelo peso do conjunto [(a única força conservativa que atua nesse conjunto)] é nulo, uma vez que o peso é uma força perpendicular ao deslocamento.

C) Assim, o aumento do módulo da velocidade do conjunto [, no intervalo de tempo considerado,] resulta do trabalho realizado pelas (ou da ação das) forças não conservativas que atuam no conjunto.

D) [Consequentemente, no intervalo de tempo considerado,] a soma dos trabalhos realizados pelas forças não conservativas que atuam no conjunto é positiva.

• Opção (A)

⇒  Do gráfico da figura 4 do enunciado, tem-se:

• v₃₅ = 50 ms^-1
• v₄₂ = 10 ms^-1

⇒  ΔEc = (Ec₄₂ – Ec₃₅) = ½ m (v²₄₂ – v²₃₅) = ½ x 100 x (10² – 50²) = -1,2 x 10^-5 J

• Opção (A)  ……………. 5 pontos

⇒  A força gravítica, força conservativa, é constante com direção vertical e sentido descendente.

⇒  Durante todo o movimento, o sistema paraquedista + paraquedas está a descer.

⇒ No intervalo de tempo [20; 35] s , como durante todo o movimento, o sistema paraquedista + paraquedas está a descer, então o trabalho realizado pela força gravítica é positivo, pois o deslocamento e a força têm o mesmo sentido.

• A resposta integra os tópicos de referência seguintes ou outros de conteúdo equivalente:

A) [No intervalo de tempo considerado,] o sistema paraquedista + paraquedas está a descer, pelo que a energia potencial gravítica do sistema [paraquedista + paraquedas + Terra] diminui (ou a variação da energia potencial gravítica do sistema [paraquedista + paraquedas + Terra] é negativa).

B) Sendo o trabalho realizado pela força gravítica igual ao simétrico da variação da energia potencial gravítica do sistema [paraquedista + paraquedas + Terra], conclui-se que esse trabalho é positivo [no intervalo de tempo considerado].

ou

A) [No intervalo de tempo considerado,] o sistema paraquedista + paraquedas está a descer, pelo que a força gravítica tem o sentido do movimento (ou a força gravítica faz um ângulo de 0o com o deslocamento).

B) Consequentemente, o trabalho realizado pela força gravítica é positivo [no intervalo de tempo considerado].

• Etapas de resolução:

A) Cálculo da variação da energia energia potencial no movimento de queda da bola (desde o ponto de altura 5,6m até ao ponto situado no solo): -11,2 J ………. 2 pontos

B) Referir que a variação de energia cinética no movimento de queda da bola é igual ao simétrico da energia potencial e igual à energia cinética com que a bola chega ao solo. ………. 3 pontos

C) Cálculo da energia cinética após o embate com o solo: 8,5 J ………. 2 pontos

D) Cálculo do módulo da velocidade com que a bola sai do solo: 9,2 m s^-1 ………. 3 pontos

Nota: admite-se outros processos de resolução, desde que sejam cientificamente corretos e estejam de acordo com as metas curriculares.

A Figura 2 mostra que a variação do módulo da velocidade da esfera por unidade de tempo não é constante: mantém-se sempre positiva, mas vai sendo cada vez menor.

Isto significa que o módulo da aceleração da esfera, a, é inferior ao módulo da aceleração gravítica, g, ou seja, a força de resistência do ar, R_ar, tem um efeito que não é desprezável.

A variação da energia cinética da esfera no deslocamento considerado e igual à soma do trabalhos realizados pela força gravítica, W_Fg, e pela força de resistência do ar. W_Rar, que atuam na esfera:

• ΔEc = W_Fg + W_Rar

Como o trabalho realizado pela força de resistência do ar é negativo, conclui-se que a variação da energia cinética da esfera entre a posição em que é largada e o solo é menor do que o trabalho realizado pela força gravítica que atua sobre ela nesse deslocamento.

ou

(A) O módulo da velocidade da esfera não varia linearmente com o tempo (ou equivalente), o que permite concluir que a força de resistência do ar não é desprezável.

(B) No deslocamento considerado, a soma dos trabalhos realizados pela força gravítica e pela força de resistência do ar, que atuam na esfera é menor do que o trabalho realizado pela força gravítica, uma vez que o trabalho realizado pela força de resistência do ar é negativo.

(C) Como a soma dos trabalhos realizados pelas forças que atuam na esfera é igual a variação de energia cinética da esfera, conclui-se que, nesse deslocamento, a variação de energia cinética da esfera é menor do que O trabalho realizado pela força gravítica que nela atua.

ou

(A) O módulo da velocidade da esfera não varia linearmente com o tempo (ou equivalente), o que concluir que a força de resistência do ar não é desprezável.

(B) A força de resistência do ar e força gravítica que atuam na esfera têm sentidos opostos, pelo que a resultante das forças que atuam na esfera terá uma intensidade menor do que a intensidade da força gravítica.

(C) Como o trabalho que seria realizado pela resultante das forças que atuam na esfera é igual à variação de energia cinética da esfera, conclui-se que, nesse deslocamento, a variação de energia cinética da esfera é menor do que o trabalho realizado pela força gravítica que nela atua.

ou

(A) No deslocamento considerado, o aumento do módulo da velocidade da esfera é inferior ao que ocorreria se houvesse conservação da energia mecânica do sistema esfera+ Terra.

(B) No deslocamento considerado, o aumento da energia cinética da esfera é inferior à diminuição da energia potencial gravítica do sistema esfera + Terra.

(C) Como a variação da energia potencial gravítica do sistema é simétrica do trabalho realizado pela força gravítica que atua na esfera, conclui-se que, nesse deslocamento, a variação de energia cinética da esfera é menor do que o trabalho realizado pela força gravítica que nela atua.

• Tópicos de resposta:

A) O módulo da velocidade da esfera não varia linearmente com o tempo (ou equivalente), o que permite concluir que a força de resistência do ar não é desprezável.

B) No deslocamento considerado, a soma dos trabalhos realizados pela força gravítica e pela força de resistência do ar, que atuam na esfera, é menor do que o trabalho realizado pela força gravítica, uma vez que o trabalho realizado pela força de resistência do ar é negativo.

C) Como a soma dos trabalhos realizados pelas forças que atuam na esfera é igual à variação de energia cinética da esfera, conclui-se que, nesse deslocamento, a variação de energia cinética da esfera é menor do que o trabalho realizado pela força gravítica que nela atua.

ou

A) O módulo da velocidade da esfera não varia linearmente com o tempo (ou equivalente), o que permite concluir que a força de resistência do ar não é desprezável.

B) A força de resistência do ar e a força gravítica que atuam na esfera têm sentidos opostos, pelo que a resultante das forças que atuam na esfera terá uma intensidade menor do que a intensidade da força gravítica.

C) Como o trabalho que seria realizado pela resultante das forças que atuam na esfera é igual à variação de energia cinética da esfera, conclui-se que, nesse deslocamento, a variação de energia cinética da esfera é menor do que o trabalho realizado pela força gravítica que nela atua.

ou

A) O módulo da velocidade da esfera não varia linearmente com o tempo (ou equivalente), o que permite concluir que a força de resistência do ar não é desprezável. No deslocamento considerado, o aumento do módulo da velocidade da esfera é inferior ao que ocorreria se houvesse conservação da energia mecânica do sistema esfera + Terra.

B) No deslocamento considerado, o aumento da energia cinética da esfera é inferior à diminuição da energia potencial gravítica do sistema esfera + Terra.

C) Como a variação da energia potencial gravítica do sistema é simétrica do trabalho realizado pela força gravítica que atua na esfera, conclui-se que, nesse deslocamento, a variação de energia cinética da esfera é menor do que o trabalho realizado pela força gravítica que nela atua.

• Opção (A)

⇒ Como se trata de um sistema não conservativo, a variação da energia cinética e a variação da energia potencial gravítica não são simétricas.

⇒ A resistência do ar não é desprezável, por isso, a variação da energia cinética vai ser menor que a variação da energia potencial gravítica, uma vez que esta é uma força dissipativa.

ou

⇒ A energia cinética da esfera, dada por Ec = ½ m v²,  é nula no ponto de onde a esfera é largada e tem um valor diferente de zero quando a esfera chega ao solo.

⇒ A energia potencial gravítica, Epg, do sistema esfera + Terra varia linearmente com a altura h em relação ao solo, Epg = m g h.

⇒ Não existe conservação da energia mecânica devido ao efeito da resistência do ar, a energia final (em h = 0) é inferior à energia potencial inicial (no ponto de queda).

• Opção (A)  ……………. 6 pontos

• Opção (C)

• Opção (C)  ……………. 6 pontos

• Opção (A)

⇒ O sensor mede a distância entre ele e a bola.

⇒ No instante t = 0 s a bola encontra-se a 0,20 m do detetor.

⇒ Quando é largada, a bola afasta-se do detetor até embater no solo.

⇒ Após a colisão, a bola inverte o sentido do movimento, e volta a aproximar-se do detetor.

⇒ O gráfico mostra 3 embates no solo, todos ocorrendo a uma distância de 1,30 m do detetor.

⇒ A distância percorrida pela bola desde a posição em que foi abandonada até à primeira colisão com o solo é (1,30 – 0,20) m = 1,10 m

• Opção (A)  ……………. 6 pontos

⇒ No segundo ressalto , a energia potencial gravítica do sistema bola + Terra é máxima no instante 1,67 s.

⇒ Os maiores valores da energia potencial gravítica do sistema ocorrem quando a bola está mais afastada do solo, portanto, mais perto do detetor (mínimos locais do gráfico da distância em função do tempo).

⇒ Após a segunda colisão com o solo, a bola atinge a altura máxima no instante t = 1,67 s, tendo subido até ficar a 0,78 m do detetor.

• Nessa posição encontra-se a uma distância do solo de (1 ,30 – 0,78) m = 0,52 m.

• 1,68 s  …….. 6 pontos

Nota – Aceita-se qualquer valor no intervalo [1,65; 1,70] s.

• Opção (A)

⇒ Durante o movimento de subida só atua a força gravítica (força conservativa), logo, nesse movimento, verifica-se conservação da energia mecânica.

ou

⇒ Desde o ressalto no solo até à posição de altura máxima, o movimento da bola é uniformemente retardado. Para este movimento, pode-se calcular a velocidade inicial, v_o, sabendo que

• Opção (A)  ……………. 6 pontos

(A) A energia mecânica do sistema bola + Terra diminui em cada uma das sucessivas colisões da bola com o solo.

(B) Na posição de altura máxima atingida pela bola em cada um dos sucessivos ressaltos, a energia mecânica do sistema bola + Terra é igual à energia potencial gravítica do sistema, uma vez que, nessa posição, a energia cinética da bola é nula.

(C) Conclui-se que, nos sucessivos ressaltos, a energia potencial gravítica do sistema nas posições de altura máxima atingidas pela bola é cada vez menor, pelo que a altura máxima atingida pela bola nos sucessivos ressaltos é também cada vez menor.

ou

(A) Em cada uma das colisões da bola com o solo , a energia cinética com que a bola sai do solo é inferior a energia cinética com que a bola chega ao solo.

(B) Em cada um dos sucessivos ressaltos, a energia cinética com que a bola sai do solo é igual a energia potencial gravítica do sistema bola + Terra na posição de altura máxima atingida pela bola, uma vez que, nessa posição, a energia cinética da bola é nula .

(C) Conclui-se que, nos sucessivos ressaltos, a energia potencial gravítica do sistema nas posições de altura máxima atingidas pela bola é cada vez menor, pelo que a altura máxima atingida pela bola nos sucessivos ressaltos é também cada vez menor .

• Tópicos de resposta:

A) A energia mecânica do sistema bola + Terra diminui em cada uma das sucessivas colisões da bola com o solo.

B) Na posição de altura máxima atingida pela bola em cada um dos sucessivos ressaltos,a energia mecânica do sistema bola + Terra é igual à energia potencial gravítica do sistema, uma vez que, nessa posição, a energia cinética da bola é nula.

C) Conclui-se que, nos sucessivos ressaltos, a energia potencial gravítica do sistema nas posições de altura máxima atingidas pela bola é cada vez menor, pelo que a altura máxima atingida pela bola nos sucessivos ressaltos é também cada vez menor.

ou

A) Em cada uma das colisões da bola com o solo, a energia cinética com que a bola sai do solo é inferior à energia cinética com que a bola chega ao solo.

B) Em cada um dos sucessivos ressaltos, a energia cinética com que a bola sai do solo é igual à energia potencial gravítica do sistema bola + Terra na posição de altura máxima atingida pela bola, uma vez que, nessa posição, a energia cinética da bola é nula.

C) Conclui-se que, nos sucessivos ressaltos, a energia potencial gravítica do sistema nas posições de altura máxima atingidas pela bola é cada vez menor, pelo que a altura máxima atingida pela bola nos sucessivos ressaltos é também cada vez menor.

⇒ O trabalho realizado pela força normal exercida pela pista no carrinho, no deslocamento entre as posições B e C, é nulo.

⇒ A força normal, N, exercida pela pista no carrinho é perpendicular (ou normal) à pista, em cada ponto.

⇒ A amplitude do ângulo entre as direções da força normal e da velocidade é sempre 90° e o trabalho realizado pela força normal, W_N, é nulo.

• 0 J —- 6 pontos

Nota – A omissão da unidade não implica qualquer desvalorização.

⇒ Designemos por X o ponto de onde é largado o carrinho de modo a que passe em C com a velocidade mínima necessária para atingir o ponto D. Uma vez que, quando atinge o ponto C foi dissipada 5% da energia mecânica inicial , Em_x, temos

• Em_c = Em_x – 0,05 Em_x = 0,95 Em_x 

⇒ Por outro lado, temos

• Em_c = mgh_c + ½ m v_c² e Em_x = mgh_x 

⇒ Na expressão de Em_x não se considerou o termo de energia cinética uma vez que o carrinho parte do repouso (isto é, v_x = 0).

• Em_c = 0,95 Em_x ⇔  m g hc + ½ m v_c² = 0,95 m g hx ⇔ g h_c + ½ v_c² = 0,95 g h_x 

onde se eliminou a variável desconhecida m, por ser um fator comum a todos os termos da equação.

⇒ Sabemos que h_c = 2 x 0,12 m e v_c = 1,1 m s^{– 1}

• Para que o módulo da velocidade mínima em C seja v_c = 1,1 ms^-1, o carrinho deverá ser largado de um ponto da pista à altura mínima de 0,32 m, medida relativamente à base da pista.

• Etapas de resolução:

⇒ Determinação da energia mecânica mínima do sistema carrinho + Terra,  em função da massa do carrinho, na posição C (Em = 3,01 m)  …….. 3 pontos

⇒ Determinação da energia mecânica mínima do sistema, em função da massa  do carrinho, na posição em que o carrinho deve ser largado (Em = 3,17 m)  …….. 4 pontos

⇒ Cálculo da altura mínima a que o carrinho deve ser largado (h = 0,32 m)  …….. 3 pontos

• Opção (C)

⇒ O trabalho realizado pela força gravítica é simétrico da variação de energia potencial gravítica , no mesmo percurso: W_Fg = – ΔEp.

⇒ Esta variação é positiva quando a altura aumenta relativamente ao nível de referência ( Δh > 0) e é negativa quando essa altura diminui (Δh < 0).

⇒ O trabalho realizado pela força gravítica é negativo quando Δh > 0 (neste caso, entre B e C) e positivo quando Δh < 0 (neste caso, entre A e B  e entre C e D).

⇒ Entre as posições B e D temos Δh = 0 e, por isso, o trabalho realizado pela força gravítica é nulo nesse percurso.

• Opção (C)  ……………. 6 pontos

• Opção (B)

⇒ Se as forças dissipativas que atuam no carrinho forem desprezáveis, cada carrinho está sujeito apenas à ação do seu peso, que é uma força conservativa, e à ação da força normal exercida pela pista, que é uma força não conservativa que não realiza trabalho.

⇒ Nestas condições, há conservação de energia mecânica entre as posições inicial e final, Em_i = Em_D

• onde se eliminou a variável m por ser um factor comum a todos os termos na equação.

Obtivemos uma expressão que é independente da massa dos carrinho I e II.

⇒ Neste caso, ambos os carrinhos I e II partem do repouso (v_i = 0), da mesma posição h_i, e atingem a mesma posição D, para a qual h_D = 0.

• Assim, v_I = v_II = v_D tal que

• Opção (B)  ……………. 6 pontos

• Opção (C)

⇒ A energia potencial gravítica do sistema FB + equipamento + Terra, de massa m, situado à altitude h, é dada por Ep = m g h. Uma vez que de acordo com o gráfico da Figura 5, h = f(t), a altitude diminui no intervalo de tempo [50, 60] s, a energia potencial do sistema também diminui neste intervalo.

⇒ Do mesmo modo, de acordo com o gráfico v = f(t), o módulo da velocidade diminui no intervalo de tempo [50, 60] s, pelo que a energia cinética, Ec = ½ m v² , também diminui.

⇒ Assim, tanto a energia potencial gravítica, Ep , como a energia mecânica, Em = Ep + Ec , diminuem no mesmo intervalo de tempo.

• Opção (C)  ……………. 7 pontos

⇒ De acordo com os gráficos da Figura 5, o intervalo de tempo em que o conjunto FB + equipamento se move com velocidade superior à do som é [34, 64] s.

• No instante t = 34 s, a altitude é h = 33,5 km e o módulo da velocidade é v =310 m s^-1.
• No instante t = 64 s, a altitude é h = 23,0 km e o módulo da velocidade é v =290 m s^-1.

⇒ O trabalho realizado pela força da resistência do ar, Wresist, é igual à variação de energia mecânica, W_resist = ΔEm.

⇒ Tem-se ΔEm = ΔEp + ΔEc , onde ΔEp e ΔEc são, respetivamente, as variações da energia potencial gravítica e da energia cinética.

Assim:

• ΔEp = m g (hf – hi) = 118 x 10 x (23,0 x 103 – 33,5 x 103) J = -1,24 x 10⁷ J e
• ΔEc = ½ m (vf²– vi²) = ½ x 118 x (290² -310²) J = -7,08 x 10⁵ J .

Finalmente, W_resist = ΔEm. = (-1,24 x 10⁷ – 7,08 x 10⁵ ) J = -1,3 x 10⁷ J.

• Etapas de resolução:

⇒ Cálculo da variação de energia potencial gravítica do sistema  FB + equipamento + Terra, no deslocamento considerado

• (ΔEpg = 118 x 10 x (23,0 x 10³ – 33,5 x 10³) J = -1,24 x 10⁷ J) (ver nota) …….. 4 pontos

⇒ Cálculo da variação de energia cinética do conjunto FB + equipamento, no  deslocamento considerado ( ΔEc = ½ x 118 x (290² – 310²) = -7,08 x 10⁵ J) …….. 3 pontos

⇒ Cálculo do trabalho realizado pela força de resistência do ar que atuou sobre  o conjunto FB + equipamento, no deslocamento considerado (W = -1,3 x 10⁷ J) …….. 3 pontos

Nota ‒ Devem ser aceites valores no intervalo [33,0; 34,0] km para a altitude de FB no instante t = 34 s e valores no intervalo [22,5; 23,5] km para a altitude de FB no instante t = 64 s.

• Opção (B)

⇒Durante a queda, o trabalho da força gravítica é positivo, e, como a variação de energia potencial gravítica é simétrica do trabalho da força gravítica (força conservativa), a variação da energia potencial gravítica é negativa.

⇒ Atuando apenas a força gravítica, que é uma força conservativa, há conservação de energia mecânica, ou seja a sua variação é nula.

ou 

⇒ O atleta diminui a distância a um nível de referência, por exemplo o nível da água na figura 5 do enunciado, o que faz com que a energia potencial gravítica do sistema diminua.

⇒ Por outro lado considerando que até R apenas atua a força gravítica, que é conservativa, verifica-se que a energia mecânica se mantém constante.

• Opção (B)  ……………. 7 pontos

⇒ O atleta atinge a posição R com uma velocidade de módulo v_R = 17,0 m s^-1 e a posição S com uma velocidade de módulo v_S = 18,7 m s^-1.

A variação da energia cinética entre R e S é:

⇒ Entre as posições R e S o atleta diminuiu a sua altura de 6,0 m, assim a variação da energia potencial gravítica é:

Logo, o trabalho da força gravítica é

W_Fg = -ΔEp = 4,32 × 10³ J 

⇒ Aplicando o teorema da energia cinética e considerando o trabalho de todas as forças,

ΣW = WF_cabo +W_Fg = ΔEc

de onde se conclui que o trabalho realizado pela força que o cabo exerce sobre o atleta é:

𝑊_𝐹⃗cabo = Δ𝐸𝑐 − 𝑊_𝐹⃗𝑔 = (2,18 x 10³ – 4,32 x 10³ ) J = -2,1 x 10³ J.

• Etapas de resolução:

⇒ Cálculo da variação da energia cinética do atleta entre a posição R e a posição S

(ΔEc = 2,18 x 10³ J) …….. 3 pontos

⇒ Cálculo do trabalho realizado pelo peso do atleta entre a posição R e a posição S

(W_P = 4,32 x 10³ J) …….. 3 pontos

⇒ Cálculo do trabalho realizado pela força que o cabo exerce no atleta entre a posição R e a posição S

(WF_cabo = -2,1 x 10³ J) ……… 4 pontos

• Opção (D)

⇒ A variação de energia potencial gravítica do sistema carrinho + Terra, entre as posições A e D, é:

⇒ O trabalho realizado pela força gravítica entre as mesmas posições é:

• Opção (D)  ……………. 7 pontos

⇒ A soma dos trabalhos realizados pelas forças que atuam sobre o carrinho é igual ao trabalho realizado pela resultante das forças que sobre ele atuam.

⇒ Para determinar os trabalhos realizados pela resultante das forças que atuam sobre o carrinho entre A e B e o realizado entre C e D, recorre-se ao Teorema da Energia Cinética:

Nas posições A e D, a velocidade é nula, bem como os respetivos valores de energia cinética.

⇒ Dado que, no percurso de B a C, a resultante das forças que atuam sobre o carrinho é nula, então o módulo da velocidade em B é igual à velocidade em C, pelo que os valores da energia cinética nestas posições são iguais.

• O quociente das somas é ……………. 7 pontos

ou

As somas são simétricas ou

• ou equivalente.

• Opção (C)

⇒ A subida, sobre a esfera atuam a força normal, que realiza um trabalho nulo por ser perpendicular ao deslocamento, e a força gravítica.

⇒ A resultante das forças sobre a esfera é a componente da força gravítica na direção do plano, de módulo mg sin θ, que realizou trabalho, – mgh, o qual depende da altura, e não depende inclinação do plano.

• Opção (C)  ……………. 7 pontos

• Opção (B)

⇒ Num dado local, o trabalho realizado pela força gravítica, W_Fg, depende da massa, m, da esfera e da variação de altura, Δℎ:

• W_Fg = −ΔE_pg = −mg Δℎ = mg (ℎ_i − ℎ_f)

portanto, para uma dada esfera (m constante) e para a mesma posição final (mesmo ℎ_f) dependerá apenas da altura da posição inicial, ℎ_i.

• Opção (B)  ……………. 10 pontos

• Opção (C)

⇒ O trabalho realizado por Fg é simétrico da variação da energia potencial gravítica do sistema gota A + Terra (W_Fg = −ΔEpg)

⇒ A soma dos trabalhos realizados por Fg e por F_ar é positiva, dado que a energia cinética de A aumenta:

• W_Fg + W_Far = ΔEc > 0

⇒ Como W_Fg é positivo (Fg tem o sentido do movimento) e W_Far é negativo (F_ar tem sentido oposto ao do movimento) conclui-se que, em módulo, é maior do que

• W_Fg + W_Far > 0 ⇔ W_Fg > – W_Far ⇔ |W_Fg | > |W_Far |

• Opção (C)  ……………. 10 pontos

⇒ O trabalho que seria realizado pela resultante das forças de resistência do ar (resultante das forças não conservativas) é igual à variação de energia mecânica do sistema gota B + Terra na queda de 2,0 m:

• W_Far = ΔEm = ΔEc + ΔEc = (½ mv_i² – 0 ) + mg Δh

⇒ Como v_i = 5,0 m s^-1 e Δℎ = −2,0 m (a altura da gota diminui) fica:

• W_Far = ½ x 4,2 x 10^-6 x 5,0² + 4,2 x 10^-6 x 10 x (-2,0) = 3,2 x 10^-5 J

⇒ Assim, a energia dissipada é 3,2 x 10^-5 J.

• Determina o valor solicitado, percorrendo as etapas seguintes:

⇒ Calcula a variação da energia potencial gravítica do sistema gota B + Terra  (ΔEp =  -8,40 x 10^-5 J) …….. 3 pontos

⇒ Calcula a variação da energia cinética da gota B ( ΔEc = 5,25 x 10^-5 J) …….. 3 pontos

⇒ Calcula a energia dissipada na queda de 2,0 m da gota B (E = 3,2 x 10^-5 J)  (ver nota) …….. 4 pontos

Nota ‒ A apresentação do valor «-3,2 x 10^-5 J» não implica qualquer desvalorização.

• Opção (C)

⇒ A uma dada distância percorrida, d, pelo automóvel sobre a rampa corresponde uma variação de altura, Δℎ, que varia com a inclinação, θ, da rampa: Δℎ = −d sin θ.

⇒ O trabalho realizado pela força gravítica é simétrico da variação de energia potencial gravítica do sistema automóvel + Terra:

• W_Fg = -ΔE_pg = – mg Δh = mg d sin θ

⇒ Assim, para uma dada distância, o trabalho realizado pela força gravítica depende da massa, m, do automóvel e da inclinação, θ, da rampa.

ou

⇒ O trabalho realizado pela força gravítica, para uma dada distância, d, é igual ao trabalho realizado pela sua componente tangencial, Fg_t, cuja intensidade é Fg_t = mg sin α.

⇒ Logo, o trabalho realizado pela força gravítica, W_Fg, que atua sobre o automóvel depende da inclinação da rampa (α) e da massa (m) deste.

• Opção (C)  ……………. 10 pontos

• Opção (A)

⇒ Considerando que a resultante das forças dissipativas é constante e com sentido oposto ao do movimento, tem-se que a resultante das forças que atuam sobre o automóvel também é constante e inferior à componente tangencial da força gravítica .

• Fr = mg sin α – F_dissipativas 

⇒ Como ΔEc = W_Fr = Fr d e como o automóvel parte do repouso, tem-se Ec = Fr d (equação de uma reta);

⇒ Devido à ação das forças dissipativas, a energia cinética final é inferior à energia potencial gravítica inicial.

ou

⇒ A energia potencial gravítica do sistema automóvel + Terra diminui linearmente com a altura de descida, Ep = mgh, logo, a dependência com a distância percorrida é também linear.

⇒ À diminuição da energia potencial gravítica corresponde um aumento da energia cinética, mas, como existem forças dissipativas, a uma dada diminuição de energia potencial gravítica corresponde um menor aumento da energia cinética.

⇒ A energia cinética aumenta linearmente com a distância porque a resultante das forças que atuam no automóvel é constante (ΔEc = W_Fr = Fr d cos 0).

• Opção (A)  ……………. 10 pontos

⇒ Na situação apresentada o trabalho realizado pelas forças dissipativas é igual à variação de energia mecânica.

Como

• ΔE_m = ΔEc + ΔEp

tem-se:

• W_FNC = ΔEm = ½ m x (v_f² – 0 ) + mg x (0 – h_i) =½ x 1,2 x 10³ x 7,52 – 1,2 x 10³ x 10 x 7,0 = -5,0 x 10⁴ J

mas

• W_FNC = F_dissipativas x d x cos 180º ⇔ -5,0 x 10⁴ = -80 x F_dissipativas ⇔ F_dissipativas = 6,3 x 10² J

⇒ A intensidade das forças dissipativas que atuam sobre o automóvel é igual a 6,3 x 10² J

• Determina o valor solicitado, percorrendo as etapas seguintes:

⇒ Calcula a energia cinética do automóvel ao colidir com o motociclo …….. 2 pontos

• Ec = 3,38 x 10⁴ J

⇒ Calcula a variação da energia potencial gravítica do sistema automóvel + Terra:

• ΔE_pg = -8,40 x 10⁴ J

ou

⇒ Calcula o trabalho realizado pela força gravítica que atua no automóvel …….. 2 pontos

• W_Fg = 8,40 x 10⁴ J

⇒ Calcula o trabalho que seria realizado pela resultante das forças dissipativas …….. 3 pontos

• W = -5,02 x 10⁴ J

⇒ Calcula a intensidade da resultante das forças dissipativas que atuaram no automóvel paralelamente ao deslocamento (F = 6,3 x 10² N) …….. 3 pontos

• Opção (D)

⇒ O trabalho realizado pela força gravítica é igual ao simétrico da variação da energia potencial gravítica:

W_Fg = – ΔEp = -mg (h_f – h_i)

onde h_f é a altura final da bola e h_i altura inicial da bola, em relação a um nível de referência, que poderá ser o solo.

⇒ Assim, em geral, o trabalho rezado pela força gravítica irá depender da diferença entre as alturas inicial e final da bola, h_f – h_i.

⇒ Neste caso, como a posição final coincide com o solo, o trabalho realizado pela força gravítica depende da distância da bola ao solo na posição em que é lançada.

ou

⇒ A força gravítica é uma força conservativa, isto é, o trabalho realizado por esta força é independente da trajetória, dependendo apenas da posição inicial e final.

⇒ O trabalho realizado pela força gravítica, durante qualquer percurso, é simétrico da variação da energia potencial gravítica.

 W_Fg = – ΔEp = -mg (h_f – h_i)

• Como, para cada uma das bolas, m é constante, o trabalho realizado pela força gravítica que atua em cada uma das bolas, desde a posição em que a bola é lançada até atingir o solo, depende, exclusivamente, da distância da bola ao solo na posição em que é lançada.

• Opção (D)  ……………. 10 pontos

• Opção (A)

⇒ Considerando desprezável a resistência do ar, após a primeira colisão com o solo até ao instante imediatamente anterior ao da segunda colisão com o solo, a única força que atua sobre a bola é o peso, que é uma força conservativa.

• Num sistema conservativo, há conservação de energia mecânica, E_m = constante.

ou

⇒ Após a primeira colisão, e até sofrer a sua segunda colisão com o solo, a bola de basquetebol, desprezando a resistência do ar, apenas está sujeita à força gravítica, que é conservativa.

• A energia mecânica da bola, Em = Ec + Ep, mantém-se constante durante o intervalo de tempo considerado.

• Opção (A)  ……………. 10 pontos

⇒ A soma dos trabalhos realizados pelas forças que atuaram nos discos na parte do percurso em que os discos caíram com velocidade constante é nula.

Notas:

⇒  Se numa parte do percurso a velocidade é constante, nessa parte do percurso a energia cinética dos discos é constante, ou seja, a variação de energia cinética dos discos é nula.

⇒ Considerando o Teorema da Energia Cinética, segundo o qual o somatório dos trabalhos é igual à variação de energia cinética, conclui-se que o somatório dos trabalhos é nulo.

Ou

⇒ A aceleração dos discos animados de movimento de translação, no intervalo de tempo em que a sua velocidade é constante, é nula.

O que significa que a resultante das forças também é nula, não realizando por isso trabalho.

• Indica o valor solicitado (zero) —– 10 pontos