Resumo nº1 – Resolução de triângulos
Voltar a: 11.º Ano – Matemática A
Resumo nº1
Resolução de triângulos
🎯 No fim deste resumo deves ser capaz de
- usar o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo;
- conhecer os valores para $30^{\circ}$, $45^{\circ}$ e $60^{\circ}$;
- resolver triângulos quaisquer com a lei dos senos e a lei dos cossenos;
- calcular a área de um triângulo a partir de dois lados e do ângulo entre eles.
💡 Ideia principal
Resolver um triângulo é descobrir os lados e os ângulos que faltam a partir dos que se conhecem. No triângulo retângulo bastam as razões trigonométricas; num triângulo qualquer usam-se a lei dos senos (quando se conhece um lado e o ângulo oposto) ou a lei dos cossenos (quando se conhecem dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados).
1Triângulo retângulo
📏 Razões trigonométricas de um ângulo agudo $\alpha$
- $\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$, $\quad\cos\alpha=\dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}$, $\quad\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$.
- $0<\operatorname{sen}\alpha<1$ e $0<\cos\alpha<1$; $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}$.
| $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | |
|---|---|---|---|
| $\operatorname{sen}$ | $\frac12$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac12$ |
| $\operatorname{tg}$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
As razões num triângulo retângulo
Muda o ângulo $\alpha$ e a hipotenusa. Os catetos mudam, mas as razões $\operatorname{sen}\alpha$, $\cos\alpha$ e $\operatorname{tg}\alpha$ só dependem do ângulo.
✍️ Exemplo resolvido 1
Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede $10$ cm e um dos ângulos agudos mede $35^{\circ}$. Determina os catetos (às centésimas).
Resolução
✍️ Exemplo resolvido 2
Para medir uma árvore, a Ana afastou-se $20$ m do tronco e viu o topo segundo um ângulo de elevação de $32^{\circ}$. Os olhos da Ana estão a $1{,}6$ m do chão. Qual é a altura da árvore (às décimas)?
Resolução
2Triângulo qualquer
📏 Leis dos senos e dos cossenos (lados $a$, $b$, $c$ opostos aos ângulos $A$, $B$, $C$)
- Lei dos senos: $\dfrac{\operatorname{sen}A}{a}=\dfrac{\operatorname{sen}B}{b}=\dfrac{\operatorname{sen}C}{c}$.
- Lei dos cossenos: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ (e análogas para $b$ e $c$).
- Área: $\mathcal{A}=\dfrac12\,bc\operatorname{sen}A$.
- A soma dos ângulos internos é $180^{\circ}$; ao maior lado opõe-se o maior ângulo.
A lei dos cossenos
Escolhe os lados $b$ e $c$ e o ângulo $A$ entre eles. O simulador calcula o terceiro lado $a$ pela lei dos cossenos e a área. Repara: com $A=90^{\circ}$ obténs o teorema de Pitágoras.
✍️ Exemplo resolvido 3
Num triângulo $[ABC]$, $\overline{AC}=7$, $\overline{AB}=5$ e $B\hat AC=60^{\circ}$. Determina $\overline{BC}$.
Resolução
✍️ Exemplo resolvido 4
Num triângulo, $A=40^{\circ}$, $B=75^{\circ}$ e o lado oposto a $A$ mede $8$. Determina os outros lados (às centésimas).
Resolução
✍️ Exemplo resolvido 5
Dois lados de um terreno triangular medem $6$ m e $9$ m e formam um ângulo de $30^{\circ}$. Qual é a área do terreno?
Resolução
Que ferramenta usar?
Arrasta cada situação para a ferramenta mais direta.
Razões no triângulo retângulo
Lei dos senos
Lei dos cossenos
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
⚠️ Erros frequentes
- ❌ Usar $\operatorname{sen}\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}$ num triângulo que não é retângulo.
✅ Num triângulo qualquer usa as leis dos senos e dos cossenos. - ❌ Calculadora em radianos quando os ângulos estão em graus.
✅ Confirma o modo antes de calcular. - ❌ Esquecer o termo $-2bc\cos A$ (ou o seu sinal) na lei dos cossenos.
✅ Se $A$ é obtuso, $\cos A<0$ e o termo soma. - ❌ Arredondar a meio e usar o valor arredondado nos passos seguintes.
✅ Guarda os valores exatos (ou com mais casas) até ao fim.
🔑 Palavras-chave
✅ Verifica se percebeste
Clica na opção que achas correta. Vês logo se acertaste e porquê.
➡️ A seguir
No Resumo nº2 vais generalizar os ângulos: ângulos maiores do que $90^{\circ}$, negativos, em radianos, e o círculo trigonométrico.
