Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução. As resoluções estão divididas em etapas, como nos critérios de classificação dos exames nacionais. Se precisares, revê primeiro o resumo.
🟢 Nível fácil
1Fácil Indica a parte real e a parte imaginária de cada número complexo.
1.1. $z_1=2-7i$
1.2. $z_2=-i$
1.3. $z_3=\sqrt{5}$
1.4. $z_4=\dfrac{1+3i}{4}$
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1
$z_1=2+(-7)i$: $\operatorname{Re}(z_1)=2$ e $\operatorname{Im}(z_1)=-7$.
2
$z_2=0+(-1)i$: $\operatorname{Re}(z_2)=0$ e $\operatorname{Im}(z_2)=-1$.
3
$z_3=\sqrt{5}+0i$: $\operatorname{Re}(z_3)=\sqrt{5}$ e $\operatorname{Im}(z_3)=0$.
4
Divide-se cada parcela por $4$: $z_4=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\,i$, logo $\operatorname{Re}(z_4)=\dfrac{1}{4}$ e $\operatorname{Im}(z_4)=\dfrac{3}{4}$.
✅ Lembra-te: a parte imaginária é sempre um número real (sem o $i$).
2Fácil Classifica cada número como real, imaginário puro ou imaginário não puro.
2.1. $3i$
2.2. $-2+0i$
2.3. $1-i$
2.4. $i^{2}$
2.5. $0$
2.6. $-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\,i$
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1
$3i=0+3i$: parte real $0$ e parte imaginária $3\neq0$ → imaginário puro.
2
$-2+0i=-2$ → real.
3
$1-i$: $a=1\neq0$ e $b=-1\neq0$ → imaginário não puro.
4
$i^{2}=-1$ → real.
5
$0=0+0i$ → real (não é imaginário puro, porque a parte imaginária é $0$).
13Difícil Resolve, em $\mathbb{C}$, a equação $x^{4}+5x^{2}+4=0$.
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1
2 pontos Faz-se a mudança de variável $y=x^{2}$: a equação fica $y^{2}+5y+4=0$.
2
3 pontos $\Delta=25-16=9$; $\;y=\dfrac{-5\pm3}{2}\iff y=-1\ \vee\ y=-4$.
3
3 pontos Volta-se a $x$: $x^{2}=-1\iff x=\pm i$; $\;x^{2}=-4\iff x=\pm2i$.
✅ C.S. $=\{-2i,\ -i,\ i,\ 2i\}$
📋 Critérios de classificação: Se o aluno só apresentar as soluções de $y$, não tem a cotação da última etapa.
14Difícil Sabe-se que $1+2i$ é solução da equação $x^{2}+bx+c=0$, com $b$ e $c$ números reais. Determina $b$ e $c$.
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1
2 pontos Substitui-se $x$ por $1+2i$: $(1+2i)^{2}+b(1+2i)+c=0$.
2
3 pontos Desenvolve-se, usando $i^{2}=-1$: $(1+2i)^{2}=1+4i+4i^{2}=1+4i-4=-3+4i$. Fica $-3+4i+b+2bi+c=0\iff(-3+b+c)+(4+2b)\,i=0$.
3
3 pontos Um número complexo é nulo se e só se a parte real e a parte imaginária são ambas nulas (e aqui $-3+b+c$ e $4+2b$ são reais, porque $b,c\in\mathbb{R}$): $$\begin{cases}4+2b=0\-3+b+c=0\end{cases}\iff\begin{cases}b=-2\c=5\end{cases}$$
4
2 pontos Verificação: $x^{2}-2x+5=0$ tem $\Delta=4-20=-16$ e soluções $\dfrac{2\pm4i}{2}=1\pm2i$. ✔
✅ $b=-2$ e $c=5$
15Difícil Considera a equação $x^{2}+2x+k=0$, em que $k$ é um número real.
15.1. Determina os valores de $k$ para os quais a equação tem duas soluções que não são números reais.
15.2. Para $k=10$, resolve a equação em $\mathbb{C}$.
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1
2 pontos15.1. As soluções não são reais se e só se $\Delta<0$: $\;\Delta=2^{2}-4\times1\times k=4-4k$.
2
2 pontos $4-4k<0\iff -4k<-4\iff k>1$. Logo $k\in\,]1,+\infty[$.
3
2 pontos15.2. Para $k=10$: $\Delta=4-40=-36$; raízes quadradas de $-36$: $\pm6i$.
4
2 pontos $x=\dfrac{-2\pm6i}{2}\iff x=-1+3i\ \vee\ x=-1-3i$.
