Resumo nº1 – Unidade imaginária e forma algébrica
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Resumo nº1
Unidade imaginária e forma algébrica
🎯 No fim deste resumo deves ser capaz de
- explicar porque é que foi preciso «inventar» números cujo quadrado é negativo;
- usar a unidade imaginária $i$, definida por $i^{2}=-1$;
- escrever um número complexo na forma algébrica $z=a+bi$ e identificar a parte real $\operatorname{Re}(z)=a$ e a parte imaginária $\operatorname{Im}(z)=b$;
- distinguir números reais, imaginários e imaginários puros;
- resolver em $\mathbb{C}$ equações do 2.º grau que não têm soluções reais.
💡 Ideia principal
Em $\mathbb{R}$ nenhum número tem quadrado negativo. Junta-se aos reais um número novo, $i$, com $i^{2}=-1$. Os números da forma $a+bi$, com $a,b\in\mathbb{R}$, são os números complexos. Formam o conjunto $\mathbb{C}$, que contém $\mathbb{R}$, e neles todas as equações do 2.º grau têm solução.
1Porque é que foram precisos novos números?
A equação $x^{2}+1=0$ não tem soluções reais: para qualquer $x\in\mathbb{R}$, $x^{2}\geq 0$, logo $x^{2}+1\geq 1>0$. O mesmo acontece com todas as equações do 2.º grau de binómio discriminante negativo, como $x^{2}-2x+5=0$ (aqui $\Delta=4-20=-16<0$).
📜 Um pouco de história
No século XVI, os matemáticos italianos encontraram «raízes quadradas de números negativos» ao resolver problemas. Cardano (1545) quis dividir 10 em duas partes cujo produto fosse 40 e chegou a $5+\sqrt{-15}$ e $5-\sqrt{-15}$. Bombelli (1572) mostrou que, ao calcular com estas expressões como se fossem números, se obtinha a solução real $x=4$ da equação $x^{3}=15x+4$.
Durante muito tempo chamaram-lhes números «impossíveis» ou «imaginários» (nome dado por Descartes, 1637). Euler introduziu o símbolo $i$ (1777) e Gauss deu-lhes o nome de números complexos (1831) e representou-os como pontos de um plano.
2A unidade imaginária $i$
📏 Definição
A unidade imaginária é um número, representado por $i$, tal que
$$i^{2}=-1.$$Continuamos a usar as regras habituais do cálculo (propriedades comutativa, associativa e distributiva). Por exemplo: $(3i)^{2}=3^{2}\times i^{2}=9\times(-1)=-9$, e por isso $3i$ e $-3i$ são as duas raízes quadradas de $-9$ em $\mathbb{C}$.
Multiplicar por $i$ é rodar $90^{\circ}$
Começa no ponto que representa o número $1$. Cada vez que multiplicas por $i$, o ponto roda $90^{\circ}$ (um quarto de volta) em torno da origem, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Duas rotações dão meia volta: $i\times i=i^{2}=-1$.
3Números complexos na forma algébrica
📏 Forma algébrica
Um número complexo é um número da forma
$$z=a+bi,\qquad a\in\mathbb{R},\ b\in\mathbb{R}.$$Esta é a forma algébrica de $z$. O número real $a$ é a parte real, $\operatorname{Re}(z)=a$, e o número real $b$ é a parte imaginária, $\operatorname{Im}(z)=b$. O conjunto dos números complexos representa-se por $\mathbb{C}$.
⚠️ A parte imaginária é o número real $b$, sem o $i$: se $z=3-2i$, então $\operatorname{Im}(z)=-2$ (e não $-2i$).
| Se $z=a+bi$ ($a,b\in\mathbb{R}$)… | $z$ chama-se… | Exemplos |
|---|---|---|
| $b=0$ | número real | $7$, $\;-\sqrt{3}$, $\;0$ |
| $b\neq 0$ | número imaginário | $2-i$, $\;\pi+i$, $\;5i$ |
| $a=0$ e $b\neq 0$ | imaginário puro | $5i$, $\;-\dfrac{i}{2}$, $\;\sqrt{2}\,i$ |
Como cada número real $a$ se escreve $a=a+0i$, temos $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$. O número $0=0+0i$ é real e não é imaginário puro.
Real, imaginário puro ou imaginário não puro?
Arrasta cada número para a caixa certa. Se for preciso, escreve-o primeiro na forma $a+bi$.
Real ($b=0$)
Imaginário puro ($a=0,\ b\neq0$)
Imaginário não puro ($a\neq0,\ b\neq0$)
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
4Equações do 2.º grau em $\mathbb{C}$
📏 Raízes quadradas de um número negativo
Se $k>0$, o número $-k$ tem, em $\mathbb{C}$, duas raízes quadradas: $\sqrt{k}\,i$ e $-\sqrt{k}\,i$, porque
$$\left(\pm\sqrt{k}\,i\right)^{2}=\left(\sqrt{k}\right)^{2}i^{2}=k\times(-1)=-k.$$Assim, na fórmula resolvente, quando $\Delta=b^{2}-4ac<0$:
$$ax^{2}+bx+c=0\iff x=\frac{-b\pm\sqrt{-\Delta}\;i}{2a}.$$As duas soluções são $\dfrac{-b}{2a}+\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\,i$ e $\dfrac{-b}{2a}-\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\,i$: têm a mesma parte real e partes imaginárias simétricas (são conjugadas, como vais ver no Resumo nº2).
Equação $ax^{2}+bx+c=0$: parábola e soluções em $\mathbb{C}$
Mexe nos coeficientes. Quando a parábola não toca no eixo $Ox$, o discriminante é negativo e não há soluções reais, mas há duas soluções complexas, representadas no plano à direita.
5Exemplos resolvidos
✍️ Exemplo resolvido 1
Indica a parte real e a parte imaginária de cada número complexo: $z_1=-5+\sqrt{2}\,i$, $\;z_2=\dfrac{3-4i}{2}$, $\;z_3=7i$, $\;z_4=-\pi$.
Resolução
✍️ Exemplo resolvido 2
Resolve, em $\mathbb{C}$, a equação $x^{2}-4x+13=0$. Apresenta as soluções na forma algébrica.
Resolução
✍️ Exemplo resolvido 3
Determina o número real $k$ de modo que $z=(k^{2}-9)+(k+3)\,i$ seja um imaginário puro.
Resolução
✍️ Exemplo resolvido 4
Resolve, em $\mathbb{C}$, a equação $2x^{2}+2x+5=0$.
Resolução
⚠️ Erros frequentes
- ❌ «$\operatorname{Im}(3-2i)=-2i$.»
✅ A parte imaginária é um número real: $\operatorname{Im}(3-2i)=-2$. - ❌ «$0$ é imaginário puro, porque a parte real é $0$.»
✅ Um imaginário puro tem parte real nula e parte imaginária diferente de zero. $0$ é real. - ❌ «$\sqrt{-4}\times\sqrt{-9}=\sqrt{36}=6$.»
✅ A regra $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ só vale para $a,b\geq0$. Com $2i$ e $3i$: $2i\times3i=6i^{2}=-6$. - ❌ «$x^{2}=-9$ é impossível.»
✅ É impossível em $\mathbb{R}$, mas em $\mathbb{C}$ tem as soluções $3i$ e $-3i$. - ❌ «$i=\sqrt{-1}$, logo $i^{2}=\sqrt{(-1)^{2}}=1$.»
✅ Define-se $i$ por $i^{2}=-1$; não se aplicam a $i$ as regras dos radicais de números reais.
🔑 Palavras-chave
✅ Verifica se percebeste
Clica na opção que achas correta. Vês logo se acertaste e porquê.
➡️ A seguir
No Resumo nº2 vais aprender a igualdade de números complexos, o conjugado, o módulo e as operações na forma algébrica (adição, multiplicação, divisão e potências de $i$).
