Resumo nº1 – Fenómenos aleatórios e acontecimentos
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Resumo nº1
Fenómenos aleatórios e acontecimentos
🎯 No fim deste resumo deves ser capaz de
- distinguir experiências aleatórias de experiências deterministas;
- indicar o espaço de resultados $\Omega$ e descrever acontecimentos como subconjuntos de $\Omega$;
- usar as operações com acontecimentos: contrário, reunião, interseção, e reconhecer acontecimentos incompatíveis;
- estimar probabilidades pela frequência relativa (lei dos grandes números).
💡 Ideia principal
Numa experiência aleatória não sabemos qual será o resultado, mas sabemos quais são os resultados possíveis ($\Omega$). Um acontecimento é um conjunto de resultados. Repetindo a experiência muitas vezes, a frequência relativa de um acontecimento tende a estabilizar num valor: a sua probabilidade.
1Experiências aleatórias e espaço de resultados
📏 Definições
Uma experiência aleatória é uma experiência que, repetida nas mesmas condições, pode dar resultados diferentes, sem que se possa prever qual sai (lançar um dado, tirar uma carta, sortear um aluno). Numa experiência determinista o resultado é previsível (aquecer água ao nível do mar até ferver: ferve a $100\,^{\circ}\mathrm{C}$).
O espaço de resultados (ou espaço amostral) $\Omega$ é o conjunto de todos os resultados possíveis. Exemplo: no lançamento de um dado cúbico, $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$.
2Acontecimentos
| Nome | Definição | Exemplo (dado: $\Omega=\{1,\ldots,6\}$) |
|---|---|---|
| Acontecimento | qualquer subconjunto de $\Omega$ | $A$: «sair par» $=\{2,4,6\}$ |
| Elementar | tem um só resultado | $\{5\}$ |
| Certo | $\Omega$ | «sair menos de 7» |
| Impossível | $\varnothing$ | «sair 8» |
| Contrário de $A$ | $\overline{A}=\Omega\setminus A$ | $\overline{A}=\{1,3,5\}$ |
| Reunião $A\cup B$ | realiza-se $A$ ou $B$ | $B=\{1,2\}$: $A\cup B=\{1,2,4,6\}$ |
| Interseção $A\cap B$ | realizam-se $A$ e $B$ | $A\cap B=\{2\}$ |
| Incompatíveis | $A\cap B=\varnothing$ | «par» e «sair 5» |
Leis de De Morgan: $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ e $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$.
Que tipo de acontecimento?
No lançamento de um dado cúbico com as faces numeradas de 1 a 6, arrasta cada acontecimento para a caixa certa.
Certo
Impossível
Elementar
Outro (nem certo, nem impossível, nem elementar)
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
3Frequência relativa e probabilidade
📏 Lei dos grandes números
Se uma experiência se repete $n$ vezes e o acontecimento $A$ ocorre $n_A$ vezes, a frequência relativa de $A$ é $f_n(A)=\dfrac{n_A}{n}$. Quando $n$ aumenta muito, $f_n(A)$ tende a estabilizar num valor, que se toma como probabilidade de $A$ (definição frequencista). Este valor está sempre em $[0,1]$.
A lei dos grandes números com um dado
Escolhe um acontecimento e lança o dado muitas vezes. Observa a frequência relativa a aproximar-se da probabilidade teórica (linha tracejada).
✍️ Exemplo resolvido 1
Numa caixa há três bolas numeradas de 1 a 3. Tiram-se, ao acaso e sucessivamente, duas bolas, sem reposição, e regista-se o par ordenado (1.ª bola, 2.ª bola). Indica $\Omega$ e o acontecimento $A$: «a soma é par».
Resolução
✍️ Exemplo resolvido 2
Com $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{3,4\}$, determina $\overline{A\cup B}$ e verifica uma das leis de De Morgan.
Resolução
⚠️ Erros frequentes
- ❌ Confundir «incompatíveis» com «contrários».
✅ Contrários são incompatíveis e a sua reunião é $\Omega$. «Sair 1» e «sair 2» são incompatíveis mas não contrários. - ❌ «Se lancei 10 vezes e saiu 6 três vezes, $P(6)=0{,}3$.»
✅ $0{,}3$ é uma frequência relativa; com poucas repetições pode estar longe da probabilidade $\frac{1}{6}$. - ❌ $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$.
✅ Pela lei de De Morgan, $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$.
🔑 Palavras-chave
✅ Verifica se percebeste
Clica na opção que achas correta. Vês logo se acertaste e porquê.
➡️ A seguir
No Resumo nº2 vais estudar as regras da probabilidade e a regra de Laplace.
