Resumo nº1 – Potências de expoente racional
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Resumo nº1
Potências de expoente racional
🎯 No fim deste resumo deves ser capaz de
- definir a raiz de índice $n$ de um número real;
- definir potências de expoente racional: $a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^{p}}$ ($a>0$);
- aplicar as regras operatórias das potências e dos radicais;
- simplificar expressões e racionalizar denominadores simples.
💡 Ideia principal
As regras das potências que já conheces ($a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$, $(a^{m})^{n}=a^{mn}$, …) continuam válidas com expoentes racionais, desde que a base seja positiva. Uma potência de expoente fracionário é uma raiz: $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$.
1Raízes de índice $n$
📏 Definição
Seja $n\in\mathbb{N}$, $n\geq2$.
- Se $n$ é ímpar, para todo o $a\in\mathbb{R}$ existe um único $b$ tal que $b^{n}=a$: é $\sqrt[n]{a}$. Exemplo: $\sqrt[3]{-8}=-2$.
- Se $n$ é par e $a\geq0$, $\sqrt[n]{a}$ é o único $b\geq0$ tal que $b^{n}=a$. Exemplo: $\sqrt[4]{81}=3$. Se $a<0$, não existe em $\mathbb{R}$.
Propriedades ($a,b\geq0$): $\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$; $\;\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$ ($b\neq0$); $\;\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$; $\;\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$; $\;\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^{m}}$.
2Potências de expoente racional
📏 Definição e regras
Para $a>0$, $p\in\mathbb{Z}$ e $q\in\mathbb{N}$:
$$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^{p}}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^{p}.$$Para $a,b>0$ e $r,s\in\mathbb{Q}$: $\;a^{r}\,a^{s}=a^{r+s}$; $\;\dfrac{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s}$; $\;\left(a^{r}\right)^{s}=a^{rs}$; $\;(ab)^{r}=a^{r}b^{r}$; $\;\left(\dfrac{a}{b}\right)^{r}=\dfrac{a^{r}}{b^{r}}$; $\;a^{-r}=\dfrac{1}{a^{r}}$; $\;a^{0}=1$.
O gráfico de $y=x^{\frac{p}{q}}$
Escolhe $p$ e $q$. Vê como muda o gráfico de $y=x^{\frac{p}{q}}$ para $x>0$ e compara com $y=x$ (tracejado).
✍️ Exemplo resolvido 1
Calcula: $8^{\frac{2}{3}}$, $\;16^{-\frac{3}{4}}$ e $\;\left(\dfrac{1}{27}\right)^{\frac{1}{3}}$.
Resolução
✍️ Exemplo resolvido 2
Simplifica, para $a>0$: $\dfrac{a^{\frac{1}{2}}\times\sqrt[3]{a^{2}}}{a^{\frac{1}{6}}}$.
Resolução
✍️ Exemplo resolvido 3
Racionaliza o denominador de $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ e de $\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}$.
Resolução
Qual é o valor?
Arrasta cada potência para o seu valor.
$2$
$4$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{4}$
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
⚠️ Erros frequentes
- ❌ $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
✅ Falso: $\sqrt{9+16}=5\neq3+4$. - ❌ $a^{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{a}$.
✅ O expoente negativo dá o inverso: $a^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}$. - ❌ $\sqrt{(-3)^{2}}=-3$.
✅ $\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3=|-3|$. - ❌ $(-8)^{\frac{1}{3}}$ com as regras das potências racionais.
✅ As regras de $a^{\frac{p}{q}}$ só se usam com $a>0$; escreve $\sqrt[3]{-8}=-2$.
🔑 Palavras-chave
✅ Verifica se percebeste
Clica na opção que achas correta. Vês logo se acertaste e porquê.
➡️ A seguir
No Resumo nº2 vais estudar a função exponencial $f(x)=a^{x}$ e usá-la para modelar crescimentos e decaimentos.
