Resumo nº1 – Dízimas finitas e infinitas periódicas
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Resumo nº1
Dízimas finitas e infinitas periódicas
🎯 No fim deste resumo deves ser capaz de
- reconhecer que um número racional se pode representar por uma dízima finita ou por uma dízima infinita periódica;
- identificar o período de uma dízima e escrevê-lo corretamente;
- prever, sem fazer a divisão, se uma fração dá uma dízima finita ou infinita periódica;
- distinguir valores exatos de valores aproximados e escolher o arredondamento adequado a cada situação.
💡 Ideia principal
Todo o número racional pode ser escrito como uma fração e, se dividirmos o numerador pelo denominador, obtemos sempre uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica. Qual das duas? Depende só dos fatores primos do denominador da fração irredutível.
1Da fração à dízima
No 7.º ano trabalhaste com números racionais: são os números que se podem escrever como uma fração ab, com a e b inteiros e b ≠ 0. Por exemplo, 34, −52, 7 (= 71) e −0,2 (= −15).
Uma fração é uma divisão. Para escrever um número racional na forma de dízima, divide-se o numerador pelo denominador. Às vezes a divisão acaba; outras vezes, não acaba nunca!
Porque é que 5 ÷ 7 nunca acaba?
Vê a divisão a acontecer, passo a passo. Repara nos restos: só podem ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Mais cedo ou mais tarde, um resto repete-se… e a partir daí tudo se repete.
Dízima finita
Tem um número finito de casas decimais: a divisão acaba com resto 0.
3/8 = 0,375 · 7/20 = 0,35
Dízima infinita periódica
Tem infinitas casas decimais e um grupo de algarismos que se repete sempre, o período.
1/3 = 0,3… · 5/6 = 0,83…
Como se escreve o período
Com um traço por cima do período: 0,18 lê-se «zero vírgula dezoito, dezoito, …». Também se usa 0,(18).
Porque é que se repete? Numa divisão por 7, os restos só podem ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Se nunca aparecer o resto 0, ao fim de, no máximo, 6 passos um resto tem de se repetir — e a partir desse momento a divisão repete exatamente os mesmos passos. Por isso, a dízima de uma fração nunca é infinita sem ser periódica.
2Como prever o tipo de dízima
Não é preciso fazer a divisão até ao fim. Basta seguir dois passos:
📏 Regra
- Escreve a fração na forma irredutível (simplifica até não dar mais).
- Decompõe o denominador em fatores primos:
• só aparecem os fatores 2 e/ou 5 → dízima finita;
• aparece algum outro fator primo (3, 7, 11, …) → dízima infinita periódica.
Porquê o 2 e o 5? Porque 10 = 2 × 5. Uma fração com denominador só com 2 e 5 pode transformar-se numa fração decimal: 38 = 3 × 1258 × 125 = 3751000 = 0,375.
| Fração | Irredutível | Denominador | Dízima | Tipo |
|---|---|---|---|---|
| 38 | 38 | 8 = 2³ | 0,375 | 🟢 finita |
| 615 | 25 | 5 | 0,4 | 🟢 finita |
| 712 | 712 | 12 = 2² × 3 | 0,583… | 🟡 periódica |
| 211 | 211 | 11 | 0,18… | 🟡 periódica |
| 314 | 314 | 14 = 2 × 7 | 0,2142857… | 🟡 periódica |
Máquina das dízimas
Escolhe o numerador e o denominador. A máquina simplifica a fração, decompõe o denominador em fatores primos, faz a divisão e diz-te que tipo de dízima obténs.
Finita ou infinita periódica?
Arrasta cada fração para a caixa certa. Não podes usar a calculadora: simplifica e olha para os fatores do denominador. Abre «O meu registo» no fim para veres o teu raciocínio.
🟢 Dízima finita
🟡 Dízima infinita periódica
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
O segredo dos noves
Divide um número por 9, por 99 ou por 999 e descobre o padrão. Experimenta vários numeradores!
🧪 Pequena experiência — o mistério das frações a/9 (para fazer na aula, em grupos)
Pergunta de partida: O que acontece quando se divide um número natural de 1 a 8 por 9? E por 99?
Material
- calculadora (ou o simulador acima)
- folha de registo
- 8 grupos (um algarismo por grupo, de 1 a 8)
Variáveis
O que muda: o numerador (1 a 8) e o denominador (9 ou 99)
O que se observa: a dízima e o seu período
O que fica igual: o método: dividir o numerador pelo denominador
Procedimento
- Cada grupo calcula a dízima da sua fração: o grupo 1 calcula 19, o grupo 2 calcula 29, e assim por diante.
- Cada grupo escreve a dízima no quadro, assinalando o período.
- A turma procura um padrão. Depois, cada grupo testa a sua conjetura com 1299, 4599 e 799.
- Discutam: alguma destas frações tem dízima finita? Porquê?
Resultados esperados e explicação
a9 = 0,aaa… (período a) e ab99 = 0,abab… (período ab). Por exemplo, 1299 = 0,1212… e 799 = 0,0707…
Nenhuma destas frações tem dízima finita: 9 = 3 × 3 e 99 = 3 × 3 × 11 não têm só fatores 2 e 5. Os restos nunca chegam a 0 e repetem-se.
3Valores exatos e valores aproximados
23 é o valor exato de «dois terços». Como a dízima 0,666… não acaba, quando precisamos de a escrever ou de a usar numa conta prática usamos um valor aproximado: 0,7 (às décimas), 0,67 (às centésimas), 0,667 (às milésimas)…
Para arredondar a uma certa ordem, olha para o algarismo seguinte: se for 5 ou mais, aumenta-se uma unidade ao último algarismo que fica; se for menor do que 5, mantém-se.
A lupa da reta numérica
Uma dízima infinita não cabe no papel: usamos valores aproximados. Escolhe o número e o número de casas decimais e vê o erro que se comete ao arredondar.
Quando usar o valor exato
Em cálculos matemáticos que continuam: 23 × 3 = 2 exatamente, mas 0,67 × 3 = 2,01.
Quando usar o valor aproximado
Em medidas e dinheiro: não se paga 16,666… €. Arredonda-se ao cêntimo: 16,67€.
Ter sentido crítico
O arredondamento depende do contexto. Em pessoas, bilhetes ou autocarros a resposta tem de ser um número inteiro — às vezes arredonda-se para cima!
✍️ Exemplo resolvido 1
Sem efetuar a divisão, indica se a dízima de cada número é finita ou infinita periódica: a) 930 b) 728 c) 522
Resolução
a) 930 = 310; 10 = 2 × 5 → finita (0,3).
b) 728 = 14; 4 = 2 × 2 → finita (0,25).
c) 522 é irredutível; 22 = 2 × 11, tem o fator 11 → infinita periódica (0,227…).
✍️ Exemplo resolvido 2
Três amigos jantaram fora e a conta foi de 50€. Decidiram dividir a conta em partes iguais. Quanto deve pagar cada um? O que acontece se cada um pagar o valor arredondado ao cêntimo?
Resolução
50 ÷ 3 = 503 = 16,666… € — é uma dízima infinita periódica, não se pode pagar o valor exato.
Arredondado ao cêntimo: 16,67€. Mas 3 × 16,67 = 50,01€: sobra 1 cêntimo. Na prática, dois pagam 16,67€ e um paga 16,66€ (16,67 + 16,67 + 16,66 = 50€).
✍️ Exemplo resolvido 3
Escreve a dízima de 411, indica o período e o número de algarismos do período.
Resolução
4 ÷ 11: 40 ÷ 11 = 3, resto 7; 70 ÷ 11 = 6, resto 4; o resto 4 repete o início. Logo 411 = 0,36… = 0,3636…
O período é 36 e tem 2 algarismos.
⚠️ Erros frequentes
- ❌ «6/15 dá dízima infinita, porque 15 = 3 × 5.»
✅ Primeiro simplifica-se: 6/15 = 2/5 = 0,4. A regra aplica-se à fração irredutível. - ❌ «Em 0,1666… o período é 166.»
✅ O período é o grupo que se repete: só o 6. Escreve-se 0,16. - ❌ «0,67 é igual a 2/3.»
✅ 0,67 é um valor aproximado de 2/3. O valor exato é 0,6… ou 2/3. - ❌ «A calculadora mostra 0,6666667, por isso a dízima é finita.»
✅ A calculadora só mostra alguns algarismos e arredonda o último. A dízima continua para sempre.
🔑 Palavras-chave
✅ Verifica se percebeste
Clica na opção que achas correta. Vês logo se acertaste e porquê.
➡️ A seguir
No Resumo nº2 vais aprender a multiplicar e dividir números racionais, incluindo os negativos, e a calcular expressões numéricas.
