Ficha nº1 – Dízimas finitas e infinitas periódicas

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📐 Matemática · 8.º ano🔢 Tema 1 · Números racionais

📝

Ficha nº1

Dízimas finitas e infinitas periódicas

📝 15 exercícios🟢 5 fáceis🟠 6 médios🔴 4 difíceis📖 Resolução detalhada⏱ ≈ 50 min

Fichas do tema12 3 4 5

📘 Resumos do tema

1 2 3 4 5

📄 Exames e testes intermédios

1 2 3 4 5

🏁 Testes do tema

1 2 3 4 5

📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil

5 fáceis6 médios4 difíceis

Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução. Se precisares, revê primeiro o resumo.

🟢 Nível fácil

1Fácil Escreve na forma de dízima cada um dos números.

1.1. 34

1.2. 75

1.3. 13

1.4. 59

Ver resolução

1.1

3 ÷ 4 = 0,75

1.2

7 ÷ 5 = 1,4

1.3

1 ÷ 3 = 0,333… = 0,3…

1.4

5 ÷ 9 = 0,555… = 0,5…

2Fácil Indica o período de cada dízima infinita periódica.

2.1. 0,272727…

2.2. 1,4666…

2.3. 0,123123…

2.4. 5,0818181…

Ver resolução

2.1

2.2

6 (o 4 não se repete)

2.3

123

2.4

81 (o 0 não se repete)

3Fácil Classifica cada dízima como finita (F) ou infinita periódica (P).

3.1. 0,125

3.2. 0,8333…

3.3. 2,5

3.4. 0,090909…

Ver resolução

3.1

3.2

3.3

3.4

4Fácil Escreve cada fração na forma irredutível.

4.1. 1218

4.2. 1540

4.3. 2135

Ver resolução

4.1

1218 = 23 (dividir por 6)

4.2

1540 = 38 (dividir por 5)

4.3

2135 = 35 (dividir por 7)

5Fácil Arredonda às centésimas.

5.1. 2,347

5.2. 0,666…

5.3. 5,0049

5.4. 1,999

Ver resolução

5.1

2,35

5.2

0,67

5.3

5,00

5.4

2,00

🟠 Nível médio

6Médio Decompõe o denominador em fatores primos e, sem efetuar a divisão, indica se a dízima é finita ou infinita periódica.

6.1. 716

6.2. 524

6.3. 950

6.4. 421

Ver resolução

6.1

16 = 2⁴ → finita

6.2

24 = 2³ × 3 → infinita periódica

6.3

50 = 2 × 5² → finita

6.4

21 = 3 × 7 → infinita periódica

7Médio Simplifica primeiro e depois indica o tipo de dízima.

7.1. 624

7.2. 1442

7.3. 3330

7.4. 1845

Ver resolução

7.1

624 = 14 → finita (0,25)

7.2

1442 = 13 → periódica (0,333…)

7.3

3330 = 1110 → finita (1,1)

7.4

1845 = 25 → finita (0,4)

8Médio A Rita diz que 915 tem dízima infinita periódica, porque 15 = 3 × 5. Concordas? Justifica.

Ver resolução

✔

Não. Antes de olhar para o denominador é preciso escrever a fração na forma irredutível: 915 = 35. O denominador 5 só tem o fator 5, por isso a dízima é finita: 35 = 0,6.

9Médio Efetua a divisão de 3 por 11 e escreve 311 na forma de dízima, assinalando o período.

Ver resolução

✔

30 ÷ 11 = 2, resto 8; 80 ÷ 11 = 7, resto 3; o resto 3 é o dividendo inicial: tudo se repete. Logo 311 = 0,2727… = 0,27…. O período é 27.

10Médio Ordena por ordem crescente: 23; 0,67; 0,6; 0,65…

Ver resolução

✔

Em dízima: 23 = 0,6666…; 0,65… = 0,6555…. Comparando casa a casa: 0,6 < 0,6555… < 0,6666… < 0,67.

✔

Logo: 0,6 < 0,65… < 23 < 0,67.

11Médio Um bolo de 1,6 kg foi dividido em 7 fatias iguais.

11.1. Qual é a massa exata de cada fatia, em quilogramas, na forma de fração?

11.2. Indica um valor aproximado às gramas (milésimas do quilograma).

Ver resolução

11.1

1,6 ÷ 7 = 1670 = 835 kg.

11.2

8 ÷ 35 = 0,228571… ≈ 0,229 kg, ou seja, cerca de 229 g.

🔴 Nível difícil

12Difícil Indica uma fração com denominador 12 que tenha dízima finita e outra que tenha dízima infinita periódica. Explica.

Ver resolução

✔

Finita: por exemplo 312 = 14 = 0,25 (simplifica-se e o 3 desaparece do denominador). Infinita periódica: por exemplo 112 = 0,08333… (é irredutível e 12 = 2² × 3 tem o fator 3).

✔

Para a dízima ser finita, o numerador tem de ser múltiplo de 3, para que o fator 3 desapareça ao simplificar.

13Difícil Seis amigos compraram um presente de 85€ e dividiram o preço em partes iguais.

13.1. Quanto deveria pagar cada um, exatamente?

13.2. Se cada um pagar o valor arredondado ao cêntimo, quanto se paga no total? Sobra ou falta dinheiro?

13.3. Propõe uma forma justa de dividir o preço, em cêntimos.

Ver resolução

13.1

85 ÷ 6 = 856 = 14,1666… €.

13.2

Arredondado: 14,17€; 6 × 14,17 = 85,02€ — sobram 2 cêntimos.

13.3

85€ = 8500 cêntimos; 8500 = 6 × 1416 + 4. Quatro amigos pagam 14,17€ e dois pagam 14,16€: 4 × 14,17 + 2 × 14,16 = 56,68 + 28,32 = 85,00€.

14Difícil Na divisão de um número natural por 17, quantos algarismos pode ter, no máximo, o período? Justifica.

Ver resolução

✔

No máximo 16. Numa divisão por 17, os restos diferentes de zero só podem ser 1, 2, …, 16. Se nunca aparecer o resto 0, ao fim de, no máximo, 16 passos repete-se um resto e, a partir daí, repetem-se os mesmos algarismos. (De facto, 1/17 tem um período com 16 algarismos.)

15Difícil Sabe-se que 19 = 0,1….

15.1. Usa este facto para escrever 49 e 79 na forma de dízima.

15.2. Quanto é 0,1… + 0,8…? E qual é a fração correspondente a 0,9…? O que podes concluir?

Ver resolução

15.1

49 = 4 × 19 = 0,4…; 79 = 7 × 19 = 0,7….

15.2

0,1… + 0,8… = 19 + 89 = 99 = 1. Mas também é 0,111… + 0,888… = 0,999… = 0,9…. Conclui-se que 0,9… = 1: são duas escritas do mesmo número.

Secções

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- Resumo nº1 – Dízimas finitas e infinitas periódicas
- Resumo nº2 – Multiplicação e divisão de números racionais
- Resumo nº3 – Potências de expoente inteiro
- Resumo nº4 – Raiz quadrada e raiz cúbica
- Resumo nº5 – Notação científica e síntese do tema
1 – Números racionais – Fichas
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- Ficha nº2 – Multiplicação e divisão de números racionais
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3 – Funções afins – Fichas
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