Resumo nº1 – Função afim e função linear
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Resumo nº1
Função afim e função linear
🎯 No fim deste resumo deves ser capaz de
- reconhecer uma função afim como uma função do tipo f(x) = ax + b e a função linear como o caso b = 0;
- representar uma função afim por uma expressão, uma tabela e um gráfico, e passar de umas para as outras;
- calcular imagens e objetos de uma função afim.
💡 Ideia principal
Uma função afim é definida por f(x) = ax + b. O seu gráfico é sempre uma reta. Se b = 0, f(x) = ax é uma função linear e a reta passa na origem.
1O que é uma função afim?
No 7.º ano estudaste funções: a cada objeto x corresponde uma única imagem f(x). Agora estudas uma família muito importante, as funções que se escrevem na forma:
📏 Definição
f(x) = ax + b (a e b números)
- se b = 0: f(x) = ax é uma função linear;
- se a = 0: f(x) = b é uma função constante.
A máquina f(x) = 2x + 1
Cada número que entra na máquina é multiplicado por 2 e depois soma-se 1. Cada par (objeto, imagem) é um ponto do gráfico. Vê os pontos a alinharem-se numa reta.
Que tipo de função é?
Arrasta cada expressão para a caixa certa. Uma função é afim se se pode escrever como f(x) = ax + b; é linear se, além disso, b = 0.
📏 Linear (y = ax)
📐 Afim, não linear (b ≠ 0)
🚫 Não é afim
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
2Expressão, tabela e gráfico
| Representação | Exemplo para f(x) = 2x − 1 | Para que serve |
|---|---|---|
| Expressão | f(x) = 2x − 1 | calcular qualquer imagem: f(10) = 19 |
| Tabela | x: −1, 0, 1, 2 → f(x): −3, −1, 1, 3 | ver valores concretos e como variam |
| Gráfico | reta que passa em (0, −1) e (1, 1) | ver a variação de uma só vez |
Três representações ligadas
Muda a e b em f(x) = ax + b. A expressão, a tabela e o gráfico mudam ao mesmo tempo. Quando b = 0, a função é linear e a reta passa na origem.
Cada tabela com a sua expressão
Observa como varia y quando x aumenta 1 e descobre a expressão de cada tabela.
y = 2x
y = 2x + 3
y = −x + 1
y = 3x − 2
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
✏️ Desenhar o gráfico
Como o gráfico é uma reta, bastam dois pontos. Para f(x) = 2x − 1: x = 0 → f(0) = −1; x = 2 → f(2) = 3. Marcam-se (0, −1) e (2, 3) e traça-se a reta.
3Imagens e objetos
Para calcular uma imagem, substitui-se x: se f(x) = 3x − 2, então f(4) = 3 × 4 − 2 = 10. Para encontrar um objeto, resolve-se uma equação: f(x) = 7 ⇔ 3x − 2 = 7 ⇔ x = 3.
🧪 Pequena experiência — berlindes num copo (para fazer na aula, em grupo)
Pergunta de partida: Como varia a altura da água num copo à medida que se juntam berlindes iguais?
Material
- copo cilíndrico transparente com água
- berlindes (ou pedras) do mesmo tamanho
- régua
- tabela de registo
Variáveis
Variável independente: número de berlindes, n
Variável dependente: altura da água, h
Constantes: copo, berlindes e água inicial
Procedimento
- Mede a altura inicial da água (0 berlindes).
- Junta um berlinde de cada vez e mede a nova altura.
- Regista pelo menos 6 pares (número de berlindes, altura).
- Representa os pares num referencial. Os pontos ficam alinhados? Escreve uma expressão do tipo h = an + b.
Resultados esperados e explicação
Por exemplo: altura inicial 6 cm e cada berlinde faz subir 0,4 cm: h = 0,4n + 6.
Cada berlinde ocupa o mesmo volume, por isso faz subir sempre a mesma altura: a variação é constante e os pontos ficam praticamente alinhados (função afim). O b é a altura inicial e o a é quanto sobe por berlinde.
✍️ Exemplo resolvido 1
Considera f(x) = −2x + 3. a) Calcula f(−1) e f(0,5). b) Qual é o objeto cuja imagem é −5?
Resolução
a) f(−1) = 2 + 3 = 5; f(0,5) = −1 + 3 = 2.
b) −2x + 3 = −5 ⇔ −2x = −8 ⇔ x = 4.
✍️ Exemplo resolvido 2
Completa a tabela de g(x) = ½x + 1 e indica dois pontos do gráfico: x = −2, 0, 4.
Resolução
g(−2) = −1 + 1 = 0; g(0) = 1; g(4) = 2 + 1 = 3. Pontos: (−2, 0), (0, 1), (4, 3).
✍️ Exemplo resolvido 3
Indica se cada função é afim e, se for, se é linear: f(x) = 5x; g(x) = 3 − 2x; h(x) = x² + 1.
Resolução
f: afim e linear (b = 0). g: g(x) = −2x + 3, afim não linear. h: não é afim (tem x²).
⚠️ Erros frequentes
- ❌ «y = 7 não é uma função afim.»
✅ É: y = 0x + 7 (função constante). - ❌ «f(x) = 4 − 3x tem a = 4.»
✅ Escreve-se f(x) = −3x + 4: a = −3 e b = 4. O a é o coeficiente de x. - ❌ «Para desenhar uma reta preciso de muitos pontos.»
✅ Bastam dois pontos. - ❌ «Toda a função afim passa na origem.»
✅ Só as lineares (b = 0).
🔑 Palavras-chave
✅ Verifica se percebeste
Clica na opção que achas correta. Vês logo se acertaste e porquê.
➡️ A seguir
No Resumo nº2 vais perceber o significado de a (declive) e de b (ordenada na origem) e descobrir a equação de uma reta a partir do gráfico.
