Resumo nº1 – Monómios e polinómios
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Resumo nº1
Monómios e polinómios
🎯 No fim deste resumo deves ser capaz de
- identificar monómios e polinómios e as suas partes (coeficiente, parte literal, grau);
- reconhecer termos semelhantes e escrever polinómios na forma reduzida;
- calcular o valor numérico de um polinómio;
- usar polinómios para descrever propriedades de números e de figuras, e vice-versa.
💡 Ideia principal
Um monómio é um número, uma letra ou um produto de números e letras (com expoentes naturais), como −5x² ou 3xy. Um polinómio é uma soma de monómios, como 2x² + 3x + 2.
1Da linguagem corrente à linguagem algébrica
No 7.º ano usaste letras para representar números desconhecidos ou que variam. Agora vais dar nome às expressões que se formam com letras, números, adições e multiplicações.
| Em palavras | Em linguagem algébrica |
|---|---|
| o dobro de um número | 2n |
| a soma de um número b com o dobro do seu simétrico | b + 2 × (−b) = −b |
| o quadrado de um número mais o seu triplo | x² + 3x |
| três números naturais consecutivos | n, n + 1, n + 2 |
| o volume de um paralelepípedo de base a × b e altura a + b | ab(a + b) |
Polinómios feitos de azulejos
Um quadrado grande de lado x tem área x²; uma barra de comprimento x e largura 1 tem área x; um quadradinho tem área 1. Junta-os e vê nascer o polinómio que representa a área total.
2Monómios
| Monómio | Coeficiente | Parte literal | Grau |
|---|---|---|---|
| −5x² | −5 | x² | 2 |
| 3xy | 3 | xy | 1 + 1 = 2 |
| x³ | 1 | x³ | 3 |
| −a | −1 | a | 1 |
| 7 | 7 | — | 0 |
Monómio ao microscópio
Escolhe um monómio e vê as suas partes: coeficiente (o número), parte literal (as letras com os expoentes) e grau (a soma dos expoentes das letras).
🔍 Termos semelhantes
Dois monómios são semelhantes quando têm a mesma parte literal: 3x² e −x² são semelhantes; 3x² e 3x não são. Somar termos semelhantes é somar os coeficientes: 3x² + (−x²) = 2x².
Junta os termos semelhantes
Termos semelhantes têm a mesma parte literal. Arrasta cada termo para a família certa.
família x²
família x
família xy
termos independentes
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
3Polinómios
Um polinómio é uma soma de monómios. Cada monómio é um termo. Um polinómio com dois termos chama-se binómio; com três, trinómio. Está na forma reduzida quando não tem termos semelhantes. O grau de um polinómio reduzido é o maior grau dos seus termos.
Exemplo: 2x² + 3x − x² + 5 − 1 = x² + 3x + 4 (forma reduzida, 3 termos, grau 2). O termo sem letras, 4, chama-se termo independente.
Construtor de polinómios
Junta e tira azulejos. Os azulejos vermelhos são negativos: um azulejo positivo e um negativo do mesmo tipo anulam-se. Depois muda o valor de x e calcula o valor numérico do polinómio.
Monómio, polinómio ou nenhum dos dois?
Arrasta cada expressão para a caixa certa. Um monómio é um número, uma letra ou um produto de números e letras (com expoentes naturais). Um polinómio é uma soma de monómios. Se houver letras no denominador ou dentro de uma raiz, não é polinómio.
🔹 Monómio
🔷 Polinómio com mais de um termo
🚫 Não é polinómio
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
🧮 Valor numérico
Para calcular o valor numérico de um polinómio, substitui-se a letra pelo número (com parênteses, se for negativo) e calcula-se.
Para x = −2: x² + 3x + 4 = (−2)² + 3 × (−2) + 4 = 4 − 6 + 4 = 2.
🧪 Pequena experiência — três números consecutivos (investigação para a aula, em pares)
Pergunta de partida: O que acontece sempre que somamos três números naturais consecutivos?
Material
- caderno
- calculadora (opcional)
Variáveis
O que muda: os números escolhidos
O que se observa: a soma dos três
A ferramenta: um polinómio na variável n
Procedimento
- Escolhe três números consecutivos (por exemplo 7, 8 e 9) e soma-os. Repete com outros três.
- Divide cada soma por 3. O que observas? Compara a soma com o número do meio.
- Chama n ao primeiro número. Escreve os outros dois e a soma como um polinómio. Reduz o polinómio.
- Usa o polinómio para explicar, para todos os casos, o que observaste.
Resultados esperados e explicação
7 + 8 + 9 = 24 = 3 × 8; 20 + 21 + 22 = 63 = 3 × 21. A soma é sempre o triplo do número do meio, logo é múltiplo de 3.
n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1). Como n + 1 é o número do meio, a soma é sempre 3 vezes o número do meio. Os exemplos sugerem; o polinómio prova para todos os números.
✍️ Exemplo resolvido 1
Considera o polinómio A = 4x − 2x² + 7 − x + 3x².
a) Escreve-o na forma reduzida. b) Indica o grau e o termo independente. c) Calcula o valor numérico para x = −1.
Resolução
a) Agrupa os termos semelhantes: (−2x² + 3x²) + (4x − x) + 7 = x² + 3x + 7.
b) Grau 2; termo independente 7.
c) (−1)² + 3 × (−1) + 7 = 1 − 3 + 7 = 5.
✍️ Exemplo resolvido 2
Escreve um polinómio que represente o perímetro de um retângulo com comprimento 2x + 3 e largura x.
Resolução
Perímetro = 2 × comprimento + 2 × largura = 2(2x + 3) + 2x = 4x + 6 + 2x = 6x + 6.
✍️ Exemplo resolvido 3
A soma de um número b com o dobro do seu simétrico pode ser representada por que monómio?
Resolução
O simétrico de b é −b; o dobro é −2b. Soma: b + (−2b) = −b. Ou seja, o resultado é o simétrico do número.
⚠️ Erros frequentes
- ❌ «3x + 2x² = 5x³.»
✅ 3x e 2x² não são semelhantes (partes literais diferentes): não se podem somar. Fica 2x² + 3x. - ❌ «O coeficiente de −x é 0.»
✅ O coeficiente de −x é −1; o de x é 1. - ❌ «O grau de 3xy é 1.»
✅ Somam-se os expoentes de todas as letras: 1 + 1 = 2. - ❌ «Para x = −2, x² = −4.»
✅ Com parênteses: (−2)² = 4. Substitui sempre com parênteses os números negativos.
🔑 Palavras-chave
✅ Verifica se percebeste
Clica na opção que achas correta. Vês logo se acertaste e porquê.
➡️ A seguir
No Resumo nº2 vais aprender a adicionar, subtrair e multiplicar polinómios, com a ajuda de modelos de áreas.
