Resumo nº1 – Teorema de Pitágoras
Voltar a: Matemática
Resumo nº1
Teorema de Pitágoras
🎯 No fim deste resumo deves ser capaz de
- explicar, por palavras tuas, o Teorema de Pitágoras e compreender uma demonstração;
- calcular a hipotenusa ou um cateto de um triângulo retângulo;
- usar o recíproco para verificar se um triângulo é retângulo e reconhecer ternos pitagóricos;
- resolver problemas no plano e no espaço com o Teorema de Pitágoras.
💡 Ideia principal
Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: c² = a² + b². E, ao contrário, se num triângulo c² = a² + b², então o triângulo é retângulo.
1O teorema e a sua demonstração
Num triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo reto são os catetos; o lado oposto ao ângulo reto, o maior, é a hipotenusa.
📏 Teorema de Pitágoras
c² = a² + b²
Em palavras: «num triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos».
Porque é que a² + b² = c²?
Dentro de um quadrado de lado a + b estão quatro triângulos retângulos iguais, de catetos a e b e hipotenusa c. Só mudam de lugar (por translações), por isso a área que fica livre é sempre a mesma: primeiro é um quadrado de lado c; depois, dois quadrados de lados a e b.
Os quadrados sobre os lados
Muda os catetos a e b. Sobre cada lado do triângulo retângulo está desenhado um quadrado. A área do quadrado da hipotenusa é sempre igual à soma das áreas dos outros dois.
2Calcular um lado
| Queremos… | Fazemos | Exemplo |
|---|---|---|
| a hipotenusa | c = √(a² + b²) | catetos 5 e 12: c = √(25 + 144) = √169 = 13 |
| um cateto | a = √(c² − b²) | hipotenusa 10, cateto 6: a = √(100 − 36) = √64 = 8 |
🧮 Valores aproximados
Muitas vezes o resultado não é um número inteiro: catetos 2 e 3 dão c = √13. Esse é o valor exato; com a calculadora, c ≈ 3,61 (arredondado às centésimas).
Calcula e arruma
Em cada situação, calcula o comprimento pedido e arrasta o cartão para o resultado certo.
8
10
12
13
15
2,4
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
3O recíproco e os ternos pitagóricos
O recíproco permite decidir se um triângulo é retângulo só a partir das medidas dos lados: compara-se o quadrado do lado maior com a soma dos quadrados dos outros dois.
É um triângulo retângulo?
Escolhe os comprimentos dos três lados. Pelo recíproco do Teorema de Pitágoras: se o quadrado do lado maior for igual à soma dos quadrados dos outros dois, o triângulo é retângulo.
Retângulo ou não?
Cada cartão tem os comprimentos dos três lados de um triângulo. Usa o recíproco do Teorema de Pitágoras e arrasta-o para a caixa certa.
📐 É retângulo
🔺 Não é retângulo
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
🪢 A corda dos 12 nós
No Antigo Egito, para marcar ângulos retos no terreno, usava-se uma corda com 12 nós igualmente espaçados. Formando um triângulo com lados de 3, 4 e 5 intervalos, o ângulo entre os lados 3 e 4 é reto, porque 3² + 4² = 5².
4Pitágoras no dia a dia e no espaço
Escadas
A escada é a hipotenusa; a parede e o chão formam o ângulo reto.
Ecrãs
As «polegadas» de um ecrã medem a diagonal do retângulo.
Caixas
A diagonal espacial de um paralelepípedo calcula-se com Pitágoras duas vezes.
Triângulo equilátero
A altura divide-o em dois triângulos retângulos.
🧪 Pequena experiência — a corda dos 12 nós (para fazer na aula, em grupos)
Pergunta de partida: Será que uma corda com 12 nós igualmente espaçados permite marcar um ângulo reto?
Material
- corda ou fio com cerca de 1,2 m
- marcador ou fita-cola para os nós
- régua
- esquadro para confirmar
Variáveis
Lados: 3, 4 e 5 intervalos de 10 cm
Verificação: esquadro
Comparação: medida e cálculo da diagonal
Procedimento
- Marca 13 pontos na corda, a 10 cm uns dos outros (12 intervalos), e une as pontas.
- Três alunos seguram a corda esticada, formando um triângulo com 3, 4 e 5 intervalos.
- Com o esquadro, verifica o ângulo entre os lados de 3 e de 4 intervalos.
- Experimenta outros triângulos (por exemplo 2, 5 e 5 intervalos) e verifica se são retângulos.
- Mede a diagonal da tua mesa e compara com o valor calculado pelo Teorema de Pitágoras.
Resultados esperados e explicação
O ângulo entre os lados de 30 cm e de 40 cm é reto; com 2, 5 e 5 intervalos não é.
Como 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500 = 50², pelo recíproco do Teorema de Pitágoras o triângulo é retângulo. Com 20, 50 e 50: 400 + 2500 = 2900 ≠ 2500, não é. Na mesa, a diferença entre a diagonal medida e a calculada deve ser de poucos milímetros (erros de medição).
✍️ Exemplo resolvido 1
Os catetos de um triângulo retângulo medem 7 cm e 24 cm. Calcula a hipotenusa.
Resolução
c² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625, logo c = √625 = 25 cm.
✍️ Exemplo resolvido 2
Uma escada com 5 m está encostada a uma parede, com o pé a 1,4 m da parede. A que altura chega?
Resolução
A escada é a hipotenusa: h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04, logo h = √23,04 = 4,8 m.
✍️ Exemplo resolvido 3
Calcula a altura de um triângulo equilátero com 6 cm de lado (valor exato e valor aproximado às décimas).
Resolução
A altura divide o triângulo em dois triângulos retângulos de hipotenusa 6 e cateto 3: h² = 36 − 9 = 27, h = √27 ≈ 5,2 cm.
✍️ Exemplo resolvido 4
Um triângulo tem lados 9, 40 e 41. É retângulo?
Resolução
9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41². Sim, é retângulo (o ângulo reto opõe-se ao lado 41).
⚠️ Erros frequentes
- ❌ «Catetos 3 e 4: hipotenusa = 3 + 4 = 7.»
✅ Somam-se os quadrados: √(9 + 16) = 5. - ❌ «Para calcular um cateto também se somam os quadrados.»
✅ Para um cateto subtrai-se: a² = c² − b². - ❌ «√(9 + 16) = √9 + √16 = 7.»
✅ A raiz de uma soma não é a soma das raízes: √25 = 5. - ❌ «O teorema serve para qualquer triângulo.»
✅ Só para triângulos retângulos.
🔑 Palavras-chave
✅ Verifica se percebeste
Clica na opção que achas correta. Vês logo se acertaste e porquê.
➡️ A seguir
No Resumo nº2 vais usar o Teorema de Pitágoras para calcular a área de polígonos regulares.
