Resumo nº1 – Números irracionais e números reais
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Resumo nº1
Números irracionais e números reais
🎯 No fim deste resumo deves ser capaz de
- reconhecer que há pontos da reta que não correspondem a números racionais;
- conhecer um número irracional como um número representado por uma dízima infinita não periódica;
- reconhecer ℝ como o conjunto dos números racionais e irracionais e que ℚ ⊂ ℝ;
- distinguir as frações que dão dízimas finitas das que dão dízimas infinitas periódicas.
💡 Ideia principal
Os números racionais (frações) são as dízimas finitas e as infinitas periódicas. As dízimas infinitas não periódicas, como √2 e π, são números irracionais. Juntos, racionais e irracionais formam os números reais, ℝ.
1Há números que não são frações
Onde fica √2 na reta?
Desenha-se um quadrado de lado 1 sobre a reta. Pelo Teorema de Pitágoras, a diagonal mede √(1² + 1²) = √2. Com o compasso, transporta-se a diagonal para a reta: o ponto obtido corresponde a √2, um número que não é racional.
📏 Números irracionais
Um número é irracional se não puder ser escrito como uma fração de números inteiros. A sua representação decimal é uma dízima infinita não periódica. Exemplos: √2, √3, √5, π, 2 + √7, 0,1010010001…
Se n é um número natural que não é um quadrado perfeito, √n é irracional.
Enquadrar uma raiz quadrada
Escolhe n. Se n não for um quadrado perfeito, √n é irracional. Vê como se enquadra √n entre números com cada vez mais casas decimais, comparando os quadrados.
2Dízimas finitas, periódicas e não periódicas
| Tipo de dízima | Exemplos | O número é… |
|---|---|---|
| finita | 3/8 = 0,375; 7/20 = 0,35 | racional |
| infinita periódica | 1/3 = 0,(3); 9/11 = 0,(81); 1/7 = 0,(142857) | racional |
| infinita não periódica | √2 = 1,41421356…; π = 3,14159265… | irracional |
Que dízima é?
Escolhe um número e vê muitas casas decimais. As frações dão sempre dízimas finitas ou infinitas periódicas (o período está a amarelo, às vezes muito comprido!). Os irracionais dão dízimas infinitas não periódicas.
Finita, periódica ou não periódica?
Arrasta cada número para o tipo de dízima que o representa.
Dízima finita
Dízima infinita periódica
Dízima infinita não periódica
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
3O conjunto dos números reais
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Os números reais correspondem a todos os pontos da reta: a cada ponto corresponde um número real e a cada número real corresponde um ponto. Entre dois números reais quaisquer há sempre outro número real (e até um número racional).
Em que conjunto «mora» cada número?
Arrasta cada número para o menor conjunto a que pertence (lembra-te: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ).
ℕ — naturais
ℤ — inteiros, não naturais
ℚ — racionais, não inteiros
ℝ \ ℚ — irracionais
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
🧪 Pequena experiência — à procura de π (para fazer na aula, em grupos)
Pergunta de partida: Qual é a razão entre o perímetro e o diâmetro de objetos circulares?
Material
- objetos circulares (latas, pratos, CD, tampas)
- fita métrica ou fio e régua
- calculadora
- tabela de registo
Variáveis
Medições: perímetro e diâmetro
Cálculo: perímetro ÷ diâmetro
Comparação: com π
Procedimento
- Mede o perímetro de cada objeto (com a fita métrica ou com um fio à volta).
- Mede o diâmetro de cada objeto.
- Calcula perímetro ÷ diâmetro para cada objeto e regista com duas casas decimais.
- Calcula a média da turma e compara com π ≈ 3,14159…
- Discutam: porque é que os resultados não dão exatamente π?
Resultados esperados e explicação
Os resultados ficam entre 3,0 e 3,3; a média da turma fica perto de 3,14.
Em qualquer círculo, perímetro ÷ diâmetro = π, um número irracional (dízima infinita não periódica). As medições têm sempre erros (da fita, da leitura, da espessura do fio), por isso obtêm-se valores aproximados, e nunca o valor exato de π.
✍️ Exemplo resolvido 1
Classifica como racional ou irracional: √36; √20; 4/9; 3π; √(9/4).
Resolução
√36 = 6, racional. √20: 20 não é quadrado perfeito, irracional. 4/9 = 0,(4), racional. 3π: irracional. √(9/4) = 3/2, racional.
✍️ Exemplo resolvido 2
Sem fazer a divisão, diz se 7/40 e 5/12 dão dízimas finitas ou infinitas periódicas.
Resolução
40 = 2³ × 5: só fatores 2 e 5, logo 7/40 é dízima finita (0,175). 12 = 2² × 3: tem o fator 3, logo 5/12 é dízima infinita periódica (0,41(6)).
✍️ Exemplo resolvido 3
Indica um número racional e um número irracional entre 2,64 e 2,65.
Resolução
Racional: 2,645 (ou 2,641…). Irracional: √7 ≈ 2,6458 (porque 2,64² = 6,9696 < 7 < 7,0225 = 2,65²).
⚠️ Erros frequentes
- ❌ «√9 é irracional, porque tem raiz.»
✅ √9 = 3, racional. Só é irracional se n não for um quadrado perfeito. - ❌ «0,(75) é irracional, porque é infinita.»
✅ É infinita mas periódica: é racional (75/99). - ❌ «π = 3,14.»
✅ 3,14 é só um valor aproximado; π é irracional. - ❌ «Os números reais são só os decimais.»
✅ São todos os números da reta: racionais e irracionais.
🔑 Palavras-chave
✅ Verifica se percebeste
Clica na opção que achas correta. Vês logo se acertaste e porquê.
➡️ A seguir
No Resumo nº2 vais representar números reais na reta real e estudar intervalos.
