Resumo nº1 – Casos notáveis
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Resumo nº1
Casos notáveis
🎯 No fim deste resumo deves ser capaz de
- aplicar a propriedade distributiva da multiplicação a monómios e polinómios;
- generalizar e justificar os casos notáveis da multiplicação de binómios;
- interpretar geometricamente (com áreas) os casos notáveis e aplicá-los no cálculo.
💡 Ideia principal
(a + b)² = a² + 2ab + b² · (a − b)² = a² − 2ab + b² · (a + b)(a − b) = a² − b². O quadrado de uma soma não é a soma dos quadrados: falta o «dobro do produto», 2ab.
1Revisão: multiplicar polinómios
Para multiplicar dois polinómios, multiplica-se cada termo de um por cada termo do outro (propriedade distributiva) e somam-se os termos semelhantes: (x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10.
2Os três casos notáveis
Porque é que (a + b)² = a² + 2ab + b²?
Um quadrado de lado a + b decompõe-se em quatro partes: um quadrado a × a, um quadrado b × b e dois retângulos a × b. Somando as áreas obtém-se o caso notável. Não é a² + b²: faltariam os dois retângulos!
| Caso notável | Fórmula | Exemplo |
|---|---|---|
| Quadrado da soma | (a + b)² = a² + 2ab + b² | (x + 3)² = x² + 6x + 9 |
| Quadrado da diferença | (a − b)² = a² − 2ab + b² | (x − 4)² = x² − 8x + 16 |
| Diferença de quadrados | (a + b)(a − b) = a² − b² | (x + 5)(x − 5) = x² − 25 |
Os três casos notáveis, com números
Escolhe o caso e os valores de a e b. Confirma que as duas expressões dão sempre o mesmo, para quaisquer valores.
Desenvolver passo a passo
Escolhe uma expressão e vê o desenvolvimento, passo a passo. Repara no termo do meio (o «dobro do produto»), que é o que mais se esquece.
Cada expressão com o seu desenvolvimento
Desenvolve mentalmente e arrasta cada expressão para o polinómio equivalente.
x² + 6x + 9
x² − 6x + 9
x² − 9
4x² + 4x + 1
x² − 8x + 16
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
3Usar os casos notáveis
Os casos notáveis simplificam expressões e permitem calcular mentalmente: 21² = (20 + 1)² = 400 + 40 + 1 = 441; 49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499.
Verdadeiro ou falso?
Arrasta cada igualdade para a caixa certa. Uma igualdade só é verdadeira se o for para todos os valores de x.
✅ Verdadeira para qualquer x
❌ Falsa
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
🧠 Regras de ouro
- Identifica o a e o b (podem ser 2x, 3, x², √2…).
- Nos quadrados há sempre três termos; na diferença de quadrados, dois.
- (a − b)² = (b − a)²: o sinal do termo do meio é que muda com a soma ou a diferença.
🧪 Pequena experiência — o quadrado de papel (para fazer na aula, a pares)
Pergunta de partida: Como se vê, com papel e tesoura, que (a + b)² = a² + 2ab + b²?
Material
- papel quadriculado
- tesoura
- régua
- lápis de cor
Variáveis
Lado: a + b = 4 + 3
Peças: a², b² e dois retângulos ab
Generalização: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Procedimento
- Desenha um quadrado de lado 7 quadrículas e divide cada lado em 4 + 3.
- Traça as linhas para obter quatro peças e pinta cada peça de uma cor.
- Recorta as peças e calcula a área de cada uma.
- Confirma que 7² = 4² + 2 × 4 × 3 + 3² (49 = 16 + 24 + 9).
- Repete com outros números e escreve a regra geral com letras.
Resultados esperados e explicação
Áreas: 16, 9, 12 e 12 quadrículas, num total de 49.
As quatro peças preenchem exatamente o quadrado grande. Como os dois retângulos são iguais, a área total é a² + 2ab + b², para quaisquer a e b. Só com os dois quadrados (16 + 9 = 25) não se chega a 49.
✍️ Exemplo resolvido 1
Desenvolve e simplifica: (x − 1)² + (x + 1)(x − 1).
Resolução
x² − 2x + 1 + x² − 1 = 2x² − 2x.
✍️ Exemplo resolvido 2
Escreve (x − 2)(1 + 3x) + (x − 1)² na forma reduzida.
Resolução
x + 3x² − 2 − 6x + x² − 2x + 1 = 4x² − 7x − 1.
✍️ Exemplo resolvido 3
Para que valores de m e n é (x − 4)² = x² + mx + n, para qualquer x?
Resolução
(x − 4)² = x² − 8x + 16: m = −8 e n = 16.
✍️ Exemplo resolvido 4
Mostra que (n + 1)² − n² é sempre ímpar, para n natural.
Resolução
(n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1: um número par mais 1 é sempre ímpar.
⚠️ Erros frequentes
- ❌ «(x + 3)² = x² + 9.»
✅ Falta 2 × x × 3: (x + 3)² = x² + 6x + 9. - ❌ «(x − 5)² = x² − 10x − 25.»
✅ b² é sempre positivo: + 25. - ❌ «(2x)² = 2x².»
✅ (2x)² = 4x². - ❌ «(x + 4)(x − 4) = x² − 8x − 16.»
✅ Os termos do meio anulam-se: x² − 16.
🔑 Palavras-chave
✅ Verifica se percebeste
Clica na opção que achas correta. Vês logo se acertaste e porquê.
➡️ A seguir
No Resumo nº2 vais fazer o caminho contrário: fatorizar polinómios, pondo em evidência ou usando os casos notáveis.
