Resumo nº1 – Ângulo ao centro e ângulo inscrito
Voltar a: Matemática
Resumo nº1
Ângulo ao centro e ângulo inscrito
🎯 No fim deste resumo deves ser capaz de
- reconhecer ângulos ao centro e ângulos inscritos numa circunferência;
- relacionar a amplitude de um ângulo ao centro com a do arco e com a corda correspondente;
- relacionar a amplitude de um ângulo inscrito com a do arco associado e com a do ângulo ao centro com o mesmo arco.
💡 Ideia principal
Um ângulo ao centro tem o vértice no centro O; a sua amplitude é igual à do arco correspondente. Um ângulo inscrito tem o vértice na circunferência e os lados contêm cordas; a sua amplitude é metade da amplitude do arco compreendido entre os lados — ou seja, metade do ângulo ao centro com o mesmo arco.
1Ângulos ao centro, arcos e cordas
À esquerda, o ângulo ao centro AOB = 120° = arco AB; a corda [AB] está a verde. À direita, o ângulo inscrito AVB = 60° (metade do arco).
| Vértice | Amplitude | |
|---|---|---|
| Ângulo ao centro | no centro O | = arco correspondente |
| Ângulo inscrito | na circunferência | = metade do arco compreendido |
| Inscrito numa semicircunferência | na circunferência | 90° |
Arco, ângulo ao centro, ângulo inscrito e corda
A circunferência tem raio 5 cm. Escolhe a amplitude do arco AB e a posição do vértice V. Vê o ângulo ao centro, o ângulo inscrito e o comprimento da corda [AB].
Calcula a amplitude
Em cada caso, O é o centro da circunferência. Calcula a amplitude pedida e arrasta o cartão para o valor certo.
35°
70°
90°
140°
110°
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
2A relação entre o ângulo inscrito e o ângulo ao centro
O ângulo inscrito não muda!
O arco AB (a vermelho) mede 100°. O vértice V percorre a circunferência, do lado de fora do arco. Repara: o ângulo inscrito AVB mantém-se sempre igual a 50°, metade do ângulo ao centro AOB.
🧠 Porque é metade?
Quando um dos lados do ângulo inscrito passa pelo centro: o triângulo [OVB] é isósceles (OV = OB, raios), logo ∠OVB = ∠OBV = x. O ângulo AOB é ângulo externo desse triângulo: ∠AOB = x + x = 2x. Portanto ∠AVB = x = ∠AOB ÷ 2. Os outros casos obtêm-se somando ou subtraindo dois casos destes.
Verdadeiro ou falso?
Arrasta cada afirmação para a caixa certa.
✅ Verdadeira
❌ Falsa
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
3Ângulo inscrito numa semicircunferência
Ângulo inscrito numa semicircunferência
[AB] é um diâmetro. Move o ponto C sobre a circunferência: o ângulo ACB é sempre reto, porque o arco AB mede 180° e 180° ÷ 2 = 90°.
🧪 Pequena experiência — medir para confirmar
Pergunta de partida: Será mesmo verdade que o ângulo inscrito é metade do ângulo ao centro?
Material
- compasso
- régua
- transferidor
- folha branca
Variáveis
Medida: ângulos com o transferidor
Comparação: inscrito e ao centro
Caso especial: diâmetro
Procedimento
- Desenhem uma circunferência de raio 6 cm e marquem o centro O.
- Marquem dois pontos A e B e meçam o ângulo ao centro AOB.
- Marquem três pontos V1, V2 e V3 no arco maior e desenhem os ângulos inscritos AV1B, AV2B e AV3B.
- Meçam os três ângulos inscritos e comparem com ∠AOB.
- Repitam com [AB] a ser um diâmetro.
Resultados esperados e explicação
Os três ângulos inscritos têm (quase) a mesma amplitude, cerca de metade de ∠AOB; com o diâmetro, medem cerca de 90°.
As pequenas diferenças vêm dos erros de medição. A propriedade é exata e demonstra-se usando triângulos isósceles formados por raios.
✍️ Exemplo resolvido 1
Numa circunferência de centro O, os pontos A, B e C são tais que o arco AB (que não contém C) mede 130°. Determina ∠AOB e ∠ACB.
Resolução
∠AOB = 130° (igual ao arco). ∠ACB = 130° ÷ 2 = 65°.
✍️ Exemplo resolvido 2
[AB] é um diâmetro e C é um ponto da circunferência com ∠CAB = 28°. Determina ∠ABC.
Resolução
∠ACB = 90° (inscrito numa semicircunferência). ∠ABC = 180° − 90° − 28° = 62°.
✍️ Exemplo resolvido 3
Numa circunferência de raio 5 cm, um ângulo ao centro de 60° define uma corda. Qual é o comprimento da corda?
Resolução
O triângulo [OAB] tem OA = OB = 5 e ∠AOB = 60°: é equilátero. A corda mede 5 cm.
⚠️ Erros frequentes
- ❌ «O ângulo inscrito é o dobro do arco.»
✅ É metade do arco. - ❌ «Um ângulo com o vértice na circunferência é sempre inscrito.»
✅ Os lados têm de conter cordas. - ❌ «Ângulos inscritos diferentes têm amplitudes diferentes.»
✅ Se abrangem o mesmo arco, são iguais. - ❌ «O arco mede-se em centímetros.»
✅ A amplitude do arco mede-se em graus; o comprimento, em cm.
🔑 Palavras-chave
✅ Verifica se percebeste
Clica na opção que achas correta. Vês logo se acertaste e porquê.
➡️ A seguir
No Resumo nº2 vais estudar a tangente à circunferência e os quadriláteros inscritos.
