Resumo nº1 – Função quadrática y = ax²
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Resumo nº1
A função quadrática f(x) = ax²
🎯 No fim deste resumo deves ser capaz de
- reconhecer que a expressão algébrica de uma função quadrática é um polinómio do 2.º grau;
- identificar as características do gráfico das funções f(x) = ax², com a ≠ 0 (parábola, vértice, eixo de simetria, concavidade);
- calcular imagens, objetos e o valor de a a partir de um ponto do gráfico.
💡 Ideia principal
O gráfico de f(x) = ax² (a ≠ 0) é uma parábola com vértice na origem e eixo de simetria Oy. Se a > 0, está voltada para cima; se a < 0, para baixo. Quanto maior |a|, mais «fechada».
1Da tabela ao gráfico
Da tabela à parábola
Calculam-se os valores de f(x) = x² e marcam-se os pontos (x, f(x)). Os pontos não ficam numa reta: ficam numa curva chamada parábola, simétrica em relação ao eixo Oy.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| g(x) = −2x² | −18 | −8 | −2 | 0 | −2 | −8 | −18 |
📏 Propriedades de f(x) = ax²
- f(0) = 0: o gráfico passa na origem, que é o vértice.
- f(−x) = f(x): simétrica em relação ao eixo Oy.
- a > 0: concavidade voltada para cima; o vértice é o ponto mais baixo (mínimo 0).
- a < 0: voltada para baixo; o vértice é o ponto mais alto (máximo 0).
2A família de parábolas
A família f(x) = ax²
Muda a. Compara com y = x² (a tracejado). Observa a concavidade (para cima ou para baixo) e a «abertura» da parábola.
Cada gráfico com a sua expressão
Os quatro gráficos estão no mesmo referencial (x de −3 a 3 e y de −5 a 5). Arrasta cada expressão para o seu gráfico.
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
É do tipo f(x) = ax²?
Arrasta cada função para a caixa certa. Uma função é do tipo f(x) = ax² se a sua expressão for o produto de um número diferente de zero por x².
📈 É do tipo ax²
❌ Não é do tipo ax²
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
3Imagens, objetos e o valor de a
Para f(x) = 3x²: a imagem de 2 é f(2) = 3 × 4 = 12. Os objetos com imagem 27 resolvem 3x² = 27 ⇔ x² = 9 ⇔ x = ±3. Se o gráfico de f(x) = ax² passa em (4, 8), então a × 16 = 8 ⇔ a = 1/2.
Descobre o a a partir de um ponto
O gráfico de f(x) = ax² passa no ponto P. Muda P e vê como se calcula a: a = y ÷ x².
🧪 Pequena experiência — a queda livre (para fazer na aula, em grupos; pode ligar-se a Físico-Química)
Pergunta de partida: Como varia a distância percorrida por um objeto em queda com o tempo de queda?
Material
- uma bola pequena
- cronómetro (ou a câmara lenta de um telemóvel)
- fita métrica
- tabela de registo
Variáveis
Variável independente: tempo de queda, t (s)
Variável dependente: distância, d (m)
Modelo: d = at²
Procedimento
- Larguem a bola de várias alturas (0,5 m, 1 m, 1,5 m, 2 m) e meçam o tempo de queda, 3 vezes cada.
- Registem os pares (tempo médio t, distância d).
- Representem os pontos num referencial (t no eixo horizontal).
- Calculem d ÷ t² para cada par: o que observam?
- Escrevam um modelo da forma d = at² e comparem com o valor teórico, d ≈ 4,9t².
Resultados esperados e explicação
Por exemplo: d = 1 m, t ≈ 0,45 s; d = 2 m, t ≈ 0,64 s; d ÷ t² ≈ 4,9.
Os pontos ficam sobre um ramo de parábola, porque a distância é proporcional ao quadrado do tempo. O quociente d ÷ t² é aproximadamente constante (cerca de 4,9, metade da aceleração da gravidade). Os erros de cronometragem são grandes para tempos tão curtos.
✍️ Exemplo resolvido 1
Considera f(x) = −2x². Calcula f(3), f(−3) e os objetos com imagem −8.
Resolução
f(3) = f(−3) = −18. −2x² = −8 ⇔ x² = 4 ⇔ x = ±2.
✍️ Exemplo resolvido 2
O gráfico de f(x) = ax² passa em (−3, 6). Determina a e calcula f(6).
Resolução
9a = 6 ⇔ a = 2/3. f(6) = (2/3) × 36 = 24.
✍️ Exemplo resolvido 3
Num referencial, A e B pertencem ao gráfico de f(x) = x² e têm a mesma ordenada; B tem abcissa 3. Qual é a área do triângulo [AOB]?
Resolução
B(3, 9) e, por simetria, A(−3, 9). Base AB = 6, altura 9. Área = 6 × 9 ÷ 2 = 27.
⚠️ Erros frequentes
- ❌ «O gráfico de f(x) = 2x² é uma reta.»
✅ É uma parábola: os pontos não estão alinhados. - ❌ «f(−3) = −9 para f(x) = x².»
✅ (−3)² = 9: f(−3) = 9. - ❌ «Se a é maior, a parábola é mais aberta.»
✅ É ao contrário: maior |a|, mais fechada. - ❌ «f(x) = x² + 1 é do tipo ax².»
✅ Não: f(0) = 1, o gráfico não passa na origem.
🔑 Palavras-chave
✅ Verifica se percebeste
Clica na opção que achas correta. Vês logo se acertaste e porquê.
➡️ A seguir
No Resumo nº2 vais comparar o gráfico de uma função quadrática com o de uma função afim e resolver problemas com gráficos.
