Ficha de exames nº1

Provas de 2002–2009

7.º ano – Matemática – Tema 5 (Geometria e Medida)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de provas nacionais portuguesas (provas finais e exames do 9.º ano, testes intermédios e provas de aferição) que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema do 7.º ano, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Alguns itens foram adaptados (linguagem atual e, quando necessário, só as alíneas desta matéria, sempre com o enunciado completo).

📝 15 itens 9 fáceis6 médios

1Fácil

📄 Adaptado de: Prova de Aferição de Matemática do 9.º ano, 2002, item 14

Explica por que é que a seguinte afirmação é verdadeira: «Um triângulo retângulo não pode ser equilátero.»

Resolução

Num triângulo equilátero os três ângulos são iguais e, como somam 180°, cada um mede $180 ° : 3 = 60 °$ .

Um triângulo retângulo tem um ângulo de 90°, que é diferente de 60°. Por isso não pode ter os três ângulos iguais.

Um triângulo equilátero tem todos os ângulos de 60°; logo não tem nenhum ângulo reto.

2Fácil

📄 Adaptado de: Prova de Aferição de Matemática do 9.º ano, 2002, item 17

Em 2002 comemoraram-se os 500 anos do nascimento de Pedro Nunes. Há alguns anos, os correios editaram o seguinte selo, alusivo a este matemático português.

De entre as figuras seguintes, qual é uma redução da figura dada acima?

Resolução

Numa redução, a figura fica mais pequena mas mantém a forma: todos os comprimentos são multiplicados pelo mesmo número (menor do que 1). As figuras 1 e 4 estão «esticadas» numa só direção e a figura 3 está deformada.

Figura 2

3Fácil

📄 Adaptado de: Prova de Aferição de Matemática do 9.º ano, 2003, item 5.2

A face $[A B C D]$ de uma torre tem a forma de um paralelogramo. Indica a amplitude do ângulo $α$ .

Resolução

O ângulo interno em $D$ é $180 ° - 75 ° = 105 °$ . Num paralelogramo, ângulos consecutivos são suplementares, logo o ângulo interno em $C$ mede $180 ° - 105 ° = 75 °$ .

$α$ é suplementar do ângulo interno em $C$ : $α = 180 ° - 75 ° = 105 °$ . (Também: $[A D]$ e $[B C]$ são paralelos, por isso $α$ e o ângulo de 75° são suplementares.)

α = 105°

4Fácil

📄 Adaptado de: Prova de Aferição de Matemática do 9.º ano, 2003, item 8

O triângulo $[P Q R]$ é uma redução do triângulo equilátero $[A B C]$ , de razão 0,5. Sabendo que $\overline{Q R} = 5$ , calcula o perímetro do triângulo $[A B C]$ . Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolução

Numa redução de razão 0,5, os comprimentos ficam a metade; logo os lados de $[A B C]$ medem o dobro: $5 : 0,5 = 10$ .

O triângulo $[A B C]$ é equilátero: perímetro $= 3 \times 10 = 30$ .

5Médio

📄 Adaptado de: Prova de Aferição de Matemática do 9.º ano, 2004, item 4

Explica por que é que a seguinte afirmação é verdadeira: «A soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°.»

Resolução

Uma diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos. Os ângulos dos dois triângulos formam, juntos, os quatro ângulos do quadrilátero.

Em cada triângulo, a soma dos ângulos é 180°, logo no quadrilátero a soma é $2 \times 180 ° = 360 °$ .

6Médio

📄 Adaptado de: Prova de Aferição de Matemática do 9.º ano, 2004, item 8

A roda gigante de uma feira de diversões tem 12 cadeiras, igualmente espaçadas ao longo do seu perímetro, e move-se no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

6.1. A Rita entra na roda gigante e senta-se na cadeira que está na posição A. Indica a letra correspondente à posição da cadeira da Rita ao fim de a roda gigante ter dado duas voltas e $\frac{3}{4}$ .

6.2. Qual é a amplitude do ângulo $D O F$ ?

Resolução

6.1. Duas voltas completas trazem a cadeira de volta a A. Três quartos de volta correspondem a $\frac{3}{4} \times 12 = 9$ posições, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio: A → B → … → J.

6.1. J

6.2. Entre duas cadeiras seguidas há $360 ° : 12 = 30 °$ . De D a F há duas posições: $2 \times 30 ° = 60 °$ .

6.2. 60°

7Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática do 9.º ano, 2006, 1.ª chamada, item 3

Na figura, estão representados três retângulos, $A$ , $B$ e $C$ , cujas dimensões estão indicadas em centímetros.

7.1. Apenas dois dos retângulos representados são semelhantes. Indica a razão dessa semelhança, considerando-a uma redução.

7.2. Existe um quadrado que tem o mesmo perímetro do que o retângulo $A$ . Determina, em centímetros quadrados, a área desse quadrado. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolução

7.1. Comparamos o lado maior com o lado menor: $A$ : $\frac{3}{2} = 1,5$ ; $B$ : $\frac{6}{2} = 3$ ; $C$ : $\frac{3}{1} = 3$ . São semelhantes $B$ e $C$ , e $C$ é uma redução de $B$ : $\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = 0,5$ .

7.1. 1/2 (de B para C)

7.2. Perímetro de $A$ : $2 + 3 + 2 + 3 = 10$ cm. Lado do quadrado: $10 : 4 = 2,5$ cm. Área: $2,5 \times 2,5 = 6,25$ .

7.2. 6,25 cm²

8Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática do 9.º ano, 2007, 2.ª chamada, item 2.1

Considera um segmento de reta $[A B]$ com 4 cm de comprimento. Efetuou-se uma redução do segmento de reta $[A B]$ . O segmento de reta obtido tem 0,8 cm de comprimento. Qual dos valores seguintes é igual à razão de semelhança desta redução?

(A) $0,2$

(B) $0,3$

(C) $0,4$

(D) $0,5$

Resolução

Razão $= \frac{comprimento da imagem}{comprimento inicial} = \frac{0,8}{4} = 0,2$

(A)

9Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 9.º ano, 31 de janeiro de 2008, item 11.1

Na figura, $[A B F G]$ é um quadrado de área 36, $[B C D E]$ é um quadrado de área 64 e $F$ é um ponto do segmento de reta $[B E]$ . Em cada quadrado estão traçadas as duas diagonais.

Qual é a área total das zonas sombreadas da figura?

(A) 64

(B) 66

(C) 68

(D) 70

Resolução

As diagonais dividem cada quadrado em 4 triângulos iguais.

Quadrado pequeno: 2 triângulos sombreados $= \frac{2}{4} \times 36 = 18$ . Quadrado grande: 3 triângulos sombreados $= \frac{3}{4} \times 64 = 48$ .

$18 + 48 = 66$

(B)

10Fácil

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 8.º ano, 30 de abril de 2008, item 6

Num triângulo $[P Q R]$ , a amplitude do ângulo com vértice no ponto $P$ é 70°. A amplitude do ângulo com vértice no ponto $Q$ é igual à amplitude do ângulo com vértice no ponto $R$ . Qual é a amplitude do ângulo com vértice no ponto $Q$ ?

(A) 45°

(B) 50°

(C) 55°

(D) 60°

Resolução

$180 ° - 70 ° = 110 °$ para os outros dois ângulos, que são iguais: $110 ° : 2 = 55 °$ .

(C)

11Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 8.º ano, 30 de abril de 2008, item 8

Considera a figura, onde:

$G$ é um ponto do segmento de reta $[B F]$ ;
$[A B G H]$ é um quadrado;
$[B C E F]$ é um quadrado;
$\overline{A H} = 6$ e $\overline{F G} = 2$ .

11.1. Determina a área do quadrilátero $[A C D G]$ , sombreado na figura. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

11.2. Como se designa o quadrilátero $[A C D G]$ ?

Resolução

11.1. O lado do quadrado $[A B G H]$ é 6 e o do quadrado $[B C E F]$ é $\overline{B F} = 6 + 2 = 8$ .

$[A C D G]$ tem os lados $[A C]$ e $[G D]$ paralelos (bases): $\overline{A C} = 6 + 8 = 14$ , $\overline{G D} = 8$ , e a altura é $\overline{C D} = 6$ .

Área $= \frac{14 + 8}{2} \times 6 = 11 \times 6 = 66$

11.1. 66

11.2. Trapézio retângulo.

12Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 8.º ano, 30 de abril de 2008, item 9

Para determinar a altura de uma torre de vigia de incêndios, imaginaram-se dois triângulos retângulos semelhantes, representados nas fotografias.

A figura seguinte é um esquema desses dois triângulos. O esquema não está desenhado à escala.

Qual é a altura, $a$ , da torre de vigia? Apresenta todos os cálculos que efetuares e indica a unidade de comprimento.

Resolução

Nos triângulos semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais: $\frac{a}{2} = \frac{4,5}{1,5} = 3$ .

$a = 3 \times 2 = 6$

6 metros.

13Fácil

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 9.º ano, 7 de maio de 2008, item 11.1

Na figura está representada uma circunferência de centro $O$ , em que está inscrito um pentágono regular $[P Q R S T]$ .

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $T P Q$ ? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolução

A soma dos ângulos internos de um polígono com $n$ lados é $(n - 2) \times 180 °$ ; para o pentágono: $3 \times 180 ° = 540 °$ .

No pentágono regular os ângulos são iguais: $540 ° : 5 = 108 °$ .

108°

14Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática do 9.º ano, 2008, 1.ª chamada, item 11

Na figura, os vértices do quadrado $[I J K L]$ são os pontos médios das semidiagonais do quadrado $[A B E F]$ . A interseção das diagonais dos dois quadrados é o ponto $O$ . Os lados $[C D]$ e $[H G]$ do retângulo $[H C D G]$ são paralelos aos lados $[B E]$ e $[A F]$ do quadrado $[A B E F]$ , e $[C D]$ mede o triplo de $[B C]$ .

14.1. Qual é a amplitude do ângulo $E A B$ ?

14.2. Em relação à figura, qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) O triângulo $[A O B]$ é escaleno.

(B) O triângulo $[A O B]$ é acutângulo.

(C) O trapézio $[A C D E]$ é isósceles.

(D) O trapézio $[A C D E]$ é retângulo.

Resolução

14.1. A diagonal de um quadrado divide o ângulo reto em dois ângulos iguais: $90 ° : 2 = 45 °$ .

14.1. 45°

14.2. As diagonais do quadrado são iguais, perpendiculares e bissetam-se, por isso $[A O B]$ é isósceles e retângulo em $O$ . O trapézio $[A C D E]$ tem as bases $[A C]$ e $[E D]$ e o lado $[C D]$ perpendicular a elas.

14.2. (D)

15Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 8.º ano, 30 de abril de 2009, item 7

Considera os triângulos $[A B C]$ e $[D E F]$ da figura e as medidas neles inscritas. Os triângulos não estão desenhados à escala.

15.1. Justifica que os dois triângulos são semelhantes.

15.2. Admite que o triângulo $[D E F]$ é uma redução do triângulo $[A B C]$ de razão 0,8. Qual é o perímetro do triângulo $[A B C]$ , sabendo que o perímetro do triângulo $[D E F]$ é 40?

(A) 50

(B) 40,8

(C) 39,2

(D) 32

Resolução

15.1. Em $[A B C]$ : $\hat{A} = 180 ° - 110 ° - 20 ° = 50 °$ . Em $[D E F]$ : $\hat{F} = 180 ° - 110 ° - 50 ° = 20 °$ . Os dois triângulos têm os ângulos iguais (110°, 50° e 20°), logo são semelhantes (critério AA).

15.2. Os perímetros também estão na razão 0,8: perímetro de $[A B C] = 40 : 0,8 = 50$ .

15.2. (A)

Ficha de exames nº1 – Geometria e medida (2002–2009)

Ficha de exames nº1

7.º ano – Matemática – Tema 5 (Geometria e Medida)

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