Resumo nº1

Conceito de função: objetos, imagens, domínio e contradomínio

💡 Ideia principal

Uma função $f$ de um conjunto $A$ num conjunto $B$ é uma correspondência que a cada elemento de $A$ associa um e um só elemento de $B$ .

Termo	Significado	Exemplo com $f (x) = 2 x + 3$
Objeto	Elemento do conjunto de partida	$1$
Imagem	Elemento que corresponde ao objeto	$f (1) = 5$
Domínio	Conjunto de todos os objetos	${- 1, 0, 1, 2}$
Contradomínio	Conjunto de todas as imagens	${1, 3, 5, 7}$
Variável independente	O objeto, $x$	—
Variável dependente	A imagem, $y = f (x)$	—

Lê-se $f (1) = 5$ como « $f$ de $1$ é igual a $5$ » ou «a imagem de $1$ por $f$ é $5$ ».

📌 Duas condições

1. Todos os objetos do conjunto de partida têm imagem.

2. Nenhum objeto tem mais do que uma imagem.

Correspondência de ${1, 2, 3}$ em ${2, 4, 6, 8}$	É função?	Porquê
$1 \mapsto 2$ , $2 \mapsto 4$ , $3 \mapsto 6$	Sim	Cada objeto tem uma só imagem
$1 \mapsto 4$ , $2 \mapsto 4$ , $3 \mapsto 4$	Sim	Objetos diferentes podem ter a mesma imagem
$1 \mapsto 2$ , $1 \mapsto 4$ , $2 \mapsto 6$ , $3 \mapsto 8$	Não	O objeto $1$ tem duas imagens
$1 \mapsto 2$ , $2 \mapsto 6$	Não	O objeto $3$ não tem imagem

A cada aluno, a sua data de nascimento: é função (cada aluno nasceu num só dia).
A cada número natural, os seus divisores: não é função ( $6$ tem vários divisores).
A cada pessoa, o número do cartão de cidadão: é função.

✏️ Exemplo resolvido

Seja $h (x) = 10 - 3 x$ com domínio ${0, 1, 2, 3, 4}$ .

Imagens: $h (0) = 10$ ; $h (1) = 7$ ; $h (2) = 4$ ; $h (3) = 1$ ; $h (4) = - 2$ . Contradomínio: ${- 2, 1, 4, 7, 10}$ .

Objeto cuja imagem é $- 2$ : $10 - 3 x = - 2 \Leftrightarrow x = 4$ .

⚠️ Erros frequentes

✗ «Não é função porque $2$ e $3$ têm a mesma imagem.» ✔ Pode haver objetos diferentes com a mesma imagem.

✗ Confundir domínio com contradomínio: o domínio é o dos objetos; o contradomínio é o das imagens.

🌟 Sabias que… A notação $f (x)$ foi introduzida pelo matemático suíço Leonhard Euler em 1734. Ainda hoje é usada em todo o mundo.

Resumo nº1 – Conceito de função: objetos, imagens, domínio e contradomínio