Resumo nº1 – Números inteiros: reta numérica, simétrico e valor absoluto
Voltar a: Matemática
Resumo nº1
Números inteiros: reta numérica, simétrico e valor absoluto
🎯 No fim deste resumo deves ser capaz de
- reconhecer números inteiros positivos e negativos em situações do dia a dia e representá-los na reta numérica;
- indicar o simétrico e o valor absoluto de um número inteiro;
- comparar e ordenar números inteiros;
- reconhecer ℤ, o conjunto dos números inteiros, e a sua relação com ℕ, o conjunto dos números naturais.
💡 Ideia principal
Os números inteiros são os números naturais (1, 2, 3, …), o zero e os simétricos dos naturais (−1, −2, −3, …). Na reta numérica, os negativos ficam à esquerda do zero. Dois números simétricos estão à mesma distância do zero, de lados opostos: essa distância é o valor absoluto.
1Números negativos no dia a dia
Já encontraste números negativos muitas vezes: a temperatura numa manhã de inverno (−3 °C), os pisos das caves de um parque de estacionamento (−1, −2), a profundidade de um mergulhador (−20 m) ou um saldo negativo numa conta (−15€). O sinal − indica o sentido contrário ao dos números positivos: abaixo de zero, abaixo do nível do mar, dinheiro que se deve…
Temperaturas
−5 °C é mais frio do que −2 °C: está mais abaixo de zero.
Pisos
O rés-do-chão é o piso 0; as caves são −1, −2, …
Altitudes
O topo da Serra da Estrela está a +1993 m; o fundo de um lago pode estar a −30 m.
Saldos
Depositar 20€ é +20; gastar 35€ é −35.
O elevador dos números inteiros
Num prédio com caves, o rés-do-chão é o piso 0. Os pisos acima são positivos e as caves são negativas. Carrega num botão e vê o elevador mover-se: em cada piso, vês o simétrico (o piso «ao espelho» do rés-do-chão) e o valor absoluto (quantos pisos o separam do 0).
2A reta numérica, o simétrico e o valor absoluto
Na reta numérica, escolhe-se um ponto para o zero e uma unidade de comprimento. Os números positivos ficam à direita do zero e os negativos à esquerda, à mesma distância que os positivos correspondentes.
📏 Definições
- O simétrico de um número é o número que está à mesma distância do zero, do outro lado: o simétrico de 4 é −4 e o simétrico de −7 é 7. Escreve-se −a; por isso, −(−7) = 7.
- O valor absoluto de um número é a sua distância ao zero: |−7| = 7, |4| = 4 e |0| = 0. O valor absoluto nunca é negativo.
- Dois números simétricos têm o mesmo valor absoluto.
Reta numérica: simétrico, valor absoluto e comparação
Move os pontos A e B. O simulador mostra o simétrico de cada número, o valor absoluto (a distância ao zero) e qual dos dois é maior.
Quem tem este valor absoluto?
Arrasta cada cartão para a caixa do seu valor absoluto. O valor absoluto é a distância ao zero: nunca é negativo.
valor absoluto 3
valor absoluto 5
valor absoluto 0
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
3Comparar e ordenar números inteiros
Na reta numérica (horizontal), de dois números o maior é o que está mais à direita. Daqui resultam três regras:
| Caso | Regra | Exemplo |
|---|---|---|
| Um positivo e um negativo | o positivo é maior | 3 > −8 |
| Zero e um negativo | o zero é maior | 0 > −2 |
| Dois negativos | o maior é o de menor valor absoluto (o mais perto do zero) | −2 > −9 |
Para ordenar vários números, imagina-os na reta: −10 < −7 < −2 < 0 < 3 < 5. Usa os sinais < (menor do que) e > (maior do que); a «boca» do sinal abre sempre para o número maior.
🧪 Pequena experiência — a reta numérica humana (para fazer na aula)
Pergunta de partida: Como se ordenam números negativos? Uma turma pode «ser» a reta numérica.
Material
- cartões com números inteiros de −10 a 10 (um por aluno)
- fita-cola no chão a marcar o zero
- cronómetro
Variáveis
O que muda: os números dos cartões
O que se observa: a posição de cada aluno na fila
O que fica igual: o zero no mesmo sítio
Procedimento
- Cada aluno recebe um cartão, sem o mostrar aos colegas.
- Sem falar, os alunos colocam-se em fila, do menor para o maior, de modo que o zero fique na marca.
- O professor lê os números da esquerda para a direita; a turma corrige as trocas.
- Os alunos com números simétricos dão as mãos por cima da marca do zero.
- Repetir com cartões de temperaturas (−12 °C, −3 °C, 4 °C, …) e cronometrar.
Resultados esperados e explicação
Os pares de simétricos ficam à mesma distância da marca do zero; o aluno com −10 fica na ponta esquerda e o com 10 na ponta direita.
A fila é uma reta numérica: os negativos com maior valor absoluto ficam mais longe do zero, à esquerda — por isso são os menores.
4Os conjuntos ℕ e ℤ
ℕ é o conjunto dos números naturais: {1, 2, 3, 4, …}. ℤ é o conjunto dos números inteiros: {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Todo o número natural é inteiro: diz-se que ℕ está contido em ℤ (ℕ ⊂ ℤ). Escreve-se 5 ∈ ℕ (5 pertence a ℕ), −2 ∈ ℤ e −2 ∉ ℕ (−2 não pertence a ℕ).
Naturais, inteiros… ou nenhum dos dois?
Arrasta cada número para o conjunto mais pequeno a que pertence. Lembra-te: ℕ = {1, 2, 3, …} e ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}.
ℕ · número natural
ℤ, mas não ℕ (o zero e os negativos)
não é número inteiro
📋 O meu registo
| Cartão | Onde o puseste | Porquê |
|---|
✍️ Exemplo resolvido 1
Ordena, por ordem crescente, as temperaturas registadas numa semana em Bragança: 3 °C, −2 °C, 0 °C, −5 °C, 1 °C, −1 °C e 4 °C.
Resolução
Na reta, da esquerda para a direita: −5 < −2 < −1 < 0 < 1 < 3 < 4 (°C). A temperatura mais baixa foi −5 °C.
✍️ Exemplo resolvido 2
Um mergulhador está a −18 m e um pássaro voa a 12 m acima da água. Qual está mais longe da superfície do mar?
Resolução
Comparam-se as distâncias ao zero (a superfície): |−18| = 18 e |12| = 12. O mergulhador está mais longe da superfície. (Repara: −18 < 12, mas |−18| > |12|.)
✍️ Exemplo resolvido 3
Indica todos os números inteiros com valor absoluto menor do que 3.
Resolução
São os inteiros a menos de 3 unidades do zero: −2, −1, 0, 1 e 2.
⚠️ Erros frequentes
- ❌ «−9 é maior do que −2, porque 9 é maior do que 2.»
✅ Com negativos é ao contrário: −9 está mais à esquerda, logo −9 < −2. - ❌ «|−6| = −6.»
✅ O valor absoluto é uma distância: |−6| = 6. - ❌ «O zero é positivo.»
✅ O zero não é positivo nem negativo. - ❌ «−(−4) = −4.»
✅ −(−4) é o simétrico de −4, ou seja, 4.
🔑 Palavras-chave
✅ Verifica se percebeste
Clica na opção que achas correta. Vês logo se acertaste e porquê.
➡️ A seguir
No Resumo nº2 vais aprender a adicionar e subtrair números inteiros e racionais, com a ajuda da reta numérica, e a calcular expressões numéricas com parênteses.
