🔹 Determinar, experimentalmente, o módulo da aceleração da gravidade num movimento de queda livre.
🔹 Verificar se essa aceleração depende da massa dos corpos e da altura de queda.
🌟 Sabias que…
Em 1971, na Lua, o astronauta David Scott (Apollo 15) largou ao mesmo tempo um martelo e uma pena. Sem ar, não há resistência do ar: os dois chegaram ao chão ao mesmo tempo. Galileu tinha razão: em queda livre, todos os corpos caem com a mesma aceleração.
Um corpo está em queda livre quando a única força que nele atua é a força gravítica. Na prática, isto acontece quando a resistência do ar é desprezável: corpos pequenos, compactos e densos (como uma esfera de aço), largados de pequenas alturas.
1Aspetos teóricos
🔹 Em queda livre, a resultante das forças é a força gravítica. Pela 2.ª Lei de Newton:
FR = Fg ⇔ m a = m g ⇔ a = g
🔹 A massa do corpo «simplifica-se»: a aceleração de queda livre não depende da massa. Junto à superfície da Terra, g ≈ 9,8 m s−2.
🔹 Perto da superfície, a força gravítica é constante, logo a aceleração também é: o movimento é retilíneo uniformemente acelerado. Com o sentido positivo para baixo, a velocidade e a aceleração são positivas e o módulo da velocidade aumenta linearmente com o tempo.
🔹 Para medir g, mede-se a velocidade da esfera numa posição B e o tempo que ela demorou a chegar lá, partindo do repouso numa posição A:
g = Δv / Δtqueda = (vB − vA) / Δtqueda e, como vA = 0, g = vB / Δtqueda
💡 Ideia principal: como se mede a velocidade em B?
Usa-se uma célula fotoelétrica ligada a um cronómetro digital. Quando a esfera atravessa o feixe de luz, o cronómetro mede o tempo, ΔtB, durante o qual o feixe esteve interrompido. Nesse intervalo, a esfera percorre uma distância igual ao seu diâmetro, D:
vB = D / ΔtB
Esta expressão é a de um movimento uniforme. Pode usar-se porque ΔtB é muito pequeno (alguns milissegundos): nesse intervalo, a velocidade quase não varia, por isso a velocidade média na passagem é praticamente igual à velocidade no instante em que a esfera está em frente da célula.
🔹 D é uma medição direta (feita com a craveira); vB e g são medições indiretas (calculadas a partir de outras).
2Material
Este é o material de que vais precisar. Arrasta cada peça da prateleira para a bancada (ou toca nela) para descobrires para que serve, em que passo se usa e um cuidado a ter.
(function(){
var M = [{“al”:[“Passo 2″],”cat”:”Montagem”,”clara”:”#eaf3fb”,”cor”:”#1e73be”,”dica”:”Verifica com um fio de prumo que as células ficam alinhadas na vertical.”,”est”:null,”k”:0,”nome”:”Suporte universal e garras”,”s”:0.9,”serve”:”Seguram as duas células fotoelétricas na vertical, uma por cima da outra.”,”x”:220,”y”:262},{“al”:[“Passos 2 e 4″],”cat”:”Medir”,”clara”:”#eaf7ef”,”cor”:”#2e9e5b”,”dica”:”O feixe deve ser cortado pelo diâmetro da esfera.”,”est”:null,”k”:1,”nome”:”Células fotoelétricas”,”s”:1,”serve”:”Quando a esfera corta o feixe de luz, a célula liga ou desliga o cronómetro. Permitem medir ΔtB e Δtqueda.”,”x”:600,”y”:262},{“al”:[“Passo 4″],”cat”:”Medir”,”clara”:”#eaf7ef”,”cor”:”#2e9e5b”,”dica”:”Antes de cada ensaio, põe o cronómetro a zero.”,”est”:null,”k”:2,”nome”:”Cronómetro digital”,”s”:0.9,”serve”:”Ligado às células, mede intervalos de tempo muito curtos (milissegundos) com pequena incerteza.”,”x”:980,”y”:262},{“al”:[“Passo 1″],”cat”:”Medir”,”clara”:”#eaf7ef”,”cor”:”#2e9e5b”,”dica”:”Aperta a esfera entre as pontas sem forçar e lê a escala com atenção.”,”est”:null,”k”:3,”nome”:”Craveira”,”s”:0.95,”serve”:”Mede o diâmetro, D, de cada esfera, necessário para calcular vB = D / ΔtB.”,”x”:220,”y”:552},{“al”:[“Passos 3 e 5″],”cat”:”Objetos em estudo”,”clara”:”#fdf2e6″,”cor”:”#e67e22″,”dica”:”Larga a esfera imediatamente acima da célula A, sem a empurrar.”,”est”:null,”k”:4,”nome”:”Esferas de massas diferentes”,”s”:1,”serve”:”Esferas pequenas e densas (por exemplo, de aço): a resistência do ar é desprezável e o movimento é de queda livre.”,”x”:600,”y”:552},{“al”:[“Passos 2 e 5″],”cat”:”Medir”,”clara”:”#eaf7ef”,”cor”:”#2e9e5b”,”dica”:”Mede entre os feixes das duas células.”,”est”:null,”k”:5,”nome”:”Fita métrica”,”s”:1,”serve”:”Mede a distância entre as células, dAB, para estudar se g depende da altura de queda.”,”x”:980,”y”:552},{“al”:[“Passo 5″],”cat”:”Medir”,”clara”:”#eaf7ef”,”cor”:”#2e9e5b”,”dica”:”Faz a tara antes de pesar.”,”est”:null,”k”:6,”nome”:”Balança”,”s”:0.52,”serve”:”Mede a massa de cada esfera, para verificar se g depende da massa.”,”x”:315,”y”:842},{“al”:[“Toda a atividade”],”cat”:”Montagem”,”clara”:”#eaf3fb”,”cor”:”#1e73be”,”dica”:”Assim, vA ≈ 0 e g = vB / Δtqueda.”,”est”:null,”k”:7,”nome”:”Montagem completa”,”s”:0.72,”serve”:”Células A e B no suporte, com a esfera presa por cima da célula A (por exemplo, num eletroíman).”,”x”:885,”y”:842}];
var sala = document.getElementById(‘lab-sala’); if (!sala || sala.getAttribute(‘data-ok’)) return; sala.setAttribute(‘data-ok’, ‘1’);
var svg = document.getElementById(‘lab-svg’), ficha = document.getElementById(‘lab-ficha’), cont = document.getElementById(‘lab-cont’), luz = document.getElementById(‘lab-luz’), dica = document.getElementById(‘lab-dica’);
var pecas = svg.querySelectorAll(‘.lab-peca’), atual = null, vistos = {}, nv = 0, arr = null;
function pos(g, x, y, s) { g.style.transform = ‘translate(‘ + x + ‘px,’ + y + ‘px) scale(‘ + s + ‘)’; }
function ponto(ev) { var p = svg.createSVGPoint(); p.x = ev.clientX; p.y = ev.clientY; return p.matrixTransform(svg.getScreenCTM().inverse()); }
function estrelas(n) { if (n === null) return ”; var s = ”; for (var i = 0; i < 5; i++) s += i < n ? '★' : '☆'; return '
Rigor a medir volumes:‘ + s + ‘
‘; }
function mostra(k) {
var m = M[k];
ficha.innerHTML = ‘
‘;
ficha.style.opacity = 1;
if (!vistos[k]) { vistos[k] = 1; nv++; var e = document.getElementById(‘lab-etq-‘ + k); e.querySelector(‘text’).textContent = m.nome.length > 17 ? m.nome.slice(0, 16) + ‘…’ : m.nome; e.querySelector(‘rect’).setAttribute(‘fill’, m.clara); e.querySelector(‘rect’).setAttribute(‘stroke’, m.cor); e.querySelector(‘text’).setAttribute(‘fill’, m.cor); }
cont.innerHTML = nv < M.length ? 'Descobriste ‘ + nv + ‘ de ‘ + M.length + ‘ materiais’ : ‘🎉 Parabéns! Descobriste os ‘ + M.length + ‘ materiais do laboratório.’;
}
function devolve(g) { var m = M[+g.getAttribute(‘data-k’)]; pos(g, m.x, m.y, m.s); }
function escolhe(g) {
if (atual) { if (atual !== g) devolve(atual); }
atual = g; var m = M[+g.getAttribute(‘data-k’)]; svg.appendChild(g); pos(g, 600, 1170, Math.min(m.s * 1.2, 1.2));
luz.setAttribute(‘opacity’, ‘0.35’); dica.setAttribute(‘opacity’, ‘0’); document.getElementById(‘lab-banc’).setAttribute(‘opacity’, ‘0’); mostra(m.k);
}
for (var i = 0; i 8) arr.mov = true; if (arr.mov) { var m = M[+g.getAttribute(‘data-k’)]; pos(g, p.x, p.y + 100 * m.s, m.s * 1.1); } });
g.addEventListener(‘pointerup’, function(ev) { if (!arr || arr.g !== g) return; var p = ponto(ev), mov = arr.mov; arr = null; g.classList.remove(‘lab-arrasta’);
if (!mov || p.y > 900) escolhe(g); else if (atual === g) escolhe(g); else devolve(g); });
})(pecas[i]);
})();
▶ A craveira mede o diâmetro da esfera (incerteza de leitura de ± 0,05 mm ou ± 0,1 mm, conforme a craveira)
3Atividade experimental
▶ Montagem: duas células fotoelétricas (A e B) num suporte, ligadas a um cronómetro digital
🧪 Medir o diâmetro
Mede-se o diâmetro, D, de cada esfera com a craveira.
🧪 Montar as células
Fixam-se as células A e B no suporte, alinhadas na vertical, e mede-se a distância entre elas, dAB, com uma fita métrica.
🧪 Largar a esfera
Larga-se a esfera (sem a empurrar) imediatamente acima da célula A, para se poder considerar vA = 0.
🧪 Registar os tempos
O cronómetro mede o tempo de queda entre as células, Δtqueda, e o tempo de passagem em frente da célula B, ΔtB. Fazem-se pelo menos três ensaios nas mesmas condições.
🧪 Variar as condições
Para ver se g depende da altura de queda, repete-se com a mesma esfera, mudando a posição da célula B. Para ver se g depende da massa, repete-se com esferas de massas diferentes, mantendo as células no mesmo sítio.
▶ A experiência da queda livre com células fotoelétricas
🧪 Agora és tu: faz a experiência. Na bancada virtual, mede o diâmetro da esfera, larga-a de várias alturas e calcula g.
‘;
}
tab.innerHTML = h;
}
function calcular() {
E.txt = P4; passo(4, P4);
pergunta(‘No ensaio com d(AB) = 0,20 m, ΔtB = 10,08 ms. Qual é o valor de vB = D / ΔtB?’, [‘0,198 m s⁻¹’, ‘1,98 m s⁻¹’, ‘19,8 m s⁻¹’, ‘2,02 m s⁻¹’], 1,
‘vB = 2,000 × 10−2 / 10,08 × 10−3 = 1,98 m s−1. Depois, g = vB / Δtqueda = 1,98 / 0,202 = 9,82 m s−2 (vA = 0). A tabela foi completada para todos os ensaios.’,
‘Converte para unidades SI: D = 2,000 × 10−2 m e ΔtB = 10,08 × 10−3 s.’,
function () { E.calc = true; tabela(); grafico(); });
}
function grafico() {
E.txt = P5; passo(5, P5);
var sxy = 0, sxx = 0;
ENS.forEach(function (en, i) { sxy += en.tq * vb(i); sxx += en.tq * en.tq; el(‘circle’, { cx: gx(en.tq), cy: gy(vb(i)), r: 5, fill: ‘#c0392b’, stroke: INK, ‘stroke-width’: 1.5 }, E.pts); });
var m = sxy / sxx; E.m = m;
E.reta.setAttribute(‘x1’, gx(0)); E.reta.setAttribute(‘y1’, gy(0)); E.reta.setAttribute(‘x2’, gx(0.44)); E.reta.setAttribute(‘y2’, gy(m * 0.44)); E.reta.setAttribute(‘opacity’, 1);
E.eqr.textContent = ‘v(B) = ‘ + vg(m, 2) + ‘ Δt’;
pergunta(‘A reta de ajuste é vB = ‘ + vg(m, 2) + ‘ Δtqueda. O que representa o declive?’, [‘A velocidade média da esfera’, ‘A aceleração da gravidade, g’, ‘O diâmetro da esfera’, ‘O inverso de g’], 1,
‘Como vA = 0, vB = g Δtqueda: o declive é g = ‘ + vg(m, 2) + ‘ m s−2. Erro relativo: |’ + vg(m, 2) + ‘ − 9,80| / 9,80 × 100 = ‘ + vg(Math.abs(m – 9.8) / 9.8 * 100, 1) + ‘ %.’,
‘Compara vB = vA + g Δt com y = m x.’,
function () {
pergunta(‘Se a esfera tivesse cortado o feixe da célula B por uma dimensão menor do que o diâmetro, o valor de g obtido seria…’, [‘maior do que o verdadeiro (erro por excesso)’, ‘menor do que o verdadeiro (erro por defeito)’, ‘igual’], 0,
‘ΔtB medido seria menor; usando o diâmetro nos cálculos, vB = D / ΔtB ficaria maior e g = vB / Δtqueda também.’,
‘Pensa no que acontece a ΔtB e, depois, a vB = D / ΔtB.’,
function () {
E.txt = ‘🎉 Experiência concluída!‘; passo(6, E.txt);
conclusao(‘Os valores de g obtidos para alturas de queda diferentes são praticamente iguais (cerca de 9,8 m s−2): a aceleração de queda livre não depende da altura de queda. Repetindo com esferas de massas diferentes, verifica-se também que não depende da massa.’);
});
});
}
function inicio() {
E = { ocup: false, e: 0, regs: [], calc: false };
desenha(); fb.innerHTML = ”; ctl.innerHTML = ”; E.txt = P1; passo(1, P1); tabela();
}
document.getElementById(P + ‘-rec’).addEventListener(‘click’, inicio);
inicio();
})();
4Tratamento dos resultados
Exemplo: esfera de diâmetro D = 2,00 cm; três ensaios com as células à mesma distância.
Ensaio
ΔtB / ms
Δtqueda / s
1
6,41
0,313
2
6,38
0,315
3
6,44
0,314
🔹 O valor mais provável é a média: ΔtB = 6,41 ms e Δtqueda = 0,314 s.
🔹 A incerteza absoluta é o maior dos desvios em relação à média: para ΔtB, |6,41 − 6,38| = |6,41 − 6,44| = 0,03 ms. Resultado: ΔtB = (6,41 ± 0,03) ms, ou seja, 6,41 ms ± 0,5 % (incerteza relativa = 0,03 / 6,41 × 100).
vB = D / ΔtB = 2,00 × 10−2 / 6,41 × 10−3 = 3,12 m s−1
g = vB / Δtqueda = 3,12 / 0,314 = 9,94 m s−2
🔹 A exatidão avalia-se pelo erro relativo, em percentagem, em relação ao valor de referência (9,80 m s−2):
Com vA = 0, a distância entre as células é dAB = ½ g Δtqueda2. Por isso, o gráfico de Δtqueda2 em função de dAB é uma reta que passa na origem, com declive 2/g.
▶ Δt² em função de d: reta de ajuste com declive = 2/g
Do mesmo modo, vB = g Δtqueda: o gráfico de vB em função de Δtqueda é uma reta com declive = g.
▶ v_B em função de Δt_queda: o declive da reta de ajuste é g
Por exemplo, se a reta de ajuste for Δtqueda2 = 0,2033 dAB (SI), então 2/g = 0,2033 e g = 9,84 m s−2 (erro de 0,4 %).
Esfera
m / g
g / m s−2
pequena
8,4
9,77
média
16,3
9,84
grande
28,2
9,79
🔹 Os valores de g são aproximadamente iguais para esferas de massas diferentes (e para alturas diferentes): g não depende da massa nem da altura de queda.
5Erros experimentais
⚠️ Erros frequentes (saem muitas vezes no exame)
🔹 A esfera não parte do repouso em A (é largada acima da célula, ou empurrada): passa em A com vA ≠ 0 e demora menos tempo a chegar a B. Se nos cálculos se continuar a usar vA = 0, o valor de g obtido é maior do que o verdadeiro (erro por excesso).
▶ Largar a esfera imediatamente acima da célula A garante v_A ≈ 0
⚠️ O feixe não é cortado pelo diâmetro
🔹 O cálculo vB = D / ΔtB pressupõe que a esfera interrompe o feixe pelo seu diâmetro. Se a esfera passar desalinhada, corta o feixe por uma dimensão menor do que D: ΔtB medido é menor.
🔹 Ao usar D nos cálculos, o vB calculado é superior ao verdadeiro e o g obtido tem um erro por excesso.
▶ À esquerda, o feixe é cortado pelo diâmetro; à direita, por uma dimensão menor
🔹 Erros aleatórios (pequenas variações de ensaio para ensaio) diminuem-se repetindo as medições e usando a média.
🔹 A resistência do ar faz baixar o valor de g medido, sobretudo para esferas leves e grandes.
6Conclusão
✅ Conclusão
O módulo da aceleração de queda livre obtido experimentalmente é aproximadamente igual ao valor de referência (9,8 m s−2) e não depende da massa das esferas, nem da altura de queda, nem do diâmetro. Todos os corpos em queda livre, no mesmo local, têm a mesma aceleração: a aceleração da gravidade.
7Um pouco de história
🔹 Aristóteles (séc. IV a.C.) defendia que os corpos mais pesados caíam mais depressa do que os mais leves.
🔹 Galileu Galilei (séc. XVII) mostrou, com experiências em planos inclinados, que, desprezando a resistência do ar, todos os corpos caem com a mesma aceleração, qualquer que seja a sua massa.
🔹 Isaac Newton explicou porquê: a força gravítica é proporcional à massa (Fg = m g) e, pela 2.ª Lei, a = Fg / m = g, igual para todos os corpos.
