Ficha de exames nº2

Provas de 2009–2013

7.º ano – Matemática – Tema 5 (Geometria e Medida)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de provas nacionais portuguesas (provas finais e exames do 9.º ano, testes intermédios e provas de aferição) que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema do 7.º ano, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Alguns itens foram adaptados (linguagem atual e, quando necessário, só as alíneas desta matéria, sempre com o enunciado completo).

📝 15 itens 6 fáceis8 médios1 difícil

1Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 8.º ano, 30 de abril de 2009, item 11.2

Na figura sabe-se que:

$[A C D F]$ é um quadrado de lado 4;
$B$ é o ponto médio do segmento de reta $[A C]$ ;
$\overline{E F} = 1$ .

Qual é a área da região sombreada? Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolução

Área do quadrado: $4 \times 4 = 16$ .

O triângulo branco $[A B E]$ tem base $\overline{A B} = 2$ (metade do lado) e altura igual à distância de $E$ a $[A C]$ , que é o lado do quadrado, 4: área $= \frac{2 \times 4}{2} = 4$ .

Área sombreada: $16 - 4 = 12$ .

2Fácil

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 9.º ano, 3 de fevereiro de 2010, item 13.2

Na figura, está representado o quadrado $[A B C D]$ , de lado 10. $E$ , $F$ , $G$ e $H$ são os pontos médios dos lados $[A B]$ , $[B C]$ , $[C D]$ e $[D A]$ , respetivamente.

Qual é a área da região sombreada $[A E F C G H]$ ?

(A) 100

(B) 75

(C) 50

(D) 45

Resolução

Os triângulos brancos $[E B F]$ e $[G D H]$ têm os catetos iguais a 5: cada um tem área $\frac{5 \times 5}{2} = 12,5$ .

Área sombreada: $100 - 2 \times 12,5 = 75$ .

(B)

3Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 8.º ano, 27 de abril de 2010, item 14

Na figura, estão representados dois hexágonos regulares. Sabe-se que:

o comprimento do lado do hexágono exterior é cinco vezes maior do que o comprimento do lado do hexágono interior;
a área do hexágono interior é 23 cm².

Determina a área, em cm², da parte sombreada a cinzento. Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolução

Os hexágonos são semelhantes, com razão 5. A razão das áreas é $5^{2} = 25$ : área do hexágono exterior $= 25 \times 23 = 575$ cm².

Parte sombreada: $575 - 23 = 552$ .

552 cm²

4Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 9.º ano, 11 de maio de 2010, item 10

Para determinar a altura da plataforma de uma torre de vigia, imaginaram-se dois triângulos retângulos semelhantes. A figura representa um esquema desses dois triângulos (não está desenhado à escala). Sabe-se que $\overline{D C} = 2,5$ m, $\overline{E C} = 1,6$ m e $\overline{A B} = 4,8$ m.

Qual é o comprimento, em metros, de $[C B]$ ? Apresenta os cálculos que efetuares.

Resolução

Os triângulos $[D E C]$ e $[D A B]$ são semelhantes: $\frac{\overline{D B}}{\overline{D C}} = \frac{\overline{A B}}{\overline{E C}} = \frac{4,8}{1,6} = 3$ .

$\overline{D B} = 3 \times 2,5 = 7,5$ m; $\overline{C B} = 7,5 - 2,5 = 5$ m.

5 metros.

5Fácil

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 9.º ano, 11 de maio de 2010, item 11.1

Na figura, está representada uma circunferência de centro $O$ , na qual está inscrito um hexágono regular $[A B C D E F]$ . Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $D O C$ ?

Resolução

Os seis ângulos ao centro do hexágono regular são iguais: $360 ° : 6 = 60 °$ .

60°

6Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 9.º ano, 7 de fevereiro de 2011, item 13

Na figura, está representado o trapézio retângulo $[A B C D]$ . O ponto $E$ pertence ao lado $[A B]$ . Sabe-se que $\overline{A E} = \frac{1}{3} \overline{A B}$ , $\overline{E B} = \overline{D C}$ e que a área do trapézio $[A B C D]$ é 20 cm².

Qual é a área da região representada a sombreado?

(A) 10 cm²

(B) 12 cm²

(C) 14 cm²

(D) 16 cm²

Resolução

Seja $\overline{A E} = k$ ; então $\overline{A B} = 3 k$ e $\overline{E B} = \overline{D C} = 2 k$ . Seja $h$ a altura.

Área do trapézio: $\frac{3 k + 2 k}{2} \times h = 2,5 k h = 20$ , logo $k h = 8$ .

Triângulo $[A E D]$ : $\frac{k h}{2} = 4$ . Triângulo $[E B C]$ : $\frac{2 k \times h}{2} = k h = 8$ . Total: $4 + 8 = 12$ .

(B)

7Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 8.º ano, 11 de maio de 2011, item 12

Na figura, está representado um retângulo $[A B C D]$ (não está desenhado à escala). Sabe-se que:

os pontos $E$ e $G$ pertencem aos lados $[A D]$ e $[B C]$ , respetivamente;
o segmento $[E G]$ é paralelo ao segmento $[A B]$ ;
o segmento $[B D]$ interseta o segmento $[E G]$ no ponto $F$ ;
$\overline{E F} = 5$ , $\overline{F G} = 3$ e $\overline{E D} = 3,5$ .

7.1. Admite que $D \hat{F} E = 35 °$ . Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $F B G$ ? Mostra como chegaste à tua resposta.

7.2. Os triângulos $[E F D]$ e $[G F B]$ são semelhantes. Determina $\overline{B G}$ . Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolução

7.1. $B \hat{F} G = D \hat{F} E = 35 °$ (verticalmente opostos). O triângulo $[F G B]$ é retângulo em $G$ , logo $F \hat{B} G = 180 ° - 90 ° - 35 ° = 55 °$ .

7.1. 55°

7.2. $\frac{\overline{B G}}{\overline{E D}} = \frac{\overline{F G}}{\overline{E F}} = \frac{3}{5}$ , logo $\overline{B G} = \frac{3}{5} \times 3,5 = 2,1$ .

7.2. 2,1

8Fácil

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 9.º ano, 17 de maio de 2011, item 9

Na figura, estão representados dois triângulos semelhantes. O triângulo $[A B C]$ é uma ampliação do triângulo $[D E F]$ (a figura não está desenhada à escala). Sabe-se ainda que $A \hat{C} B = D \hat{F} E$ , $\overline{D E} = 2$ e $\overline{A B} = 5$ .

Qual é a razão de semelhança dessa ampliação?

(A) $\frac{2}{5}$

(B) $\frac{5}{2}$

(C) $\frac{12}{5}$

(D) $\frac{5}{12}$

Resolução

$[A B]$ e $[D E]$ são lados correspondentes (opostos aos ângulos iguais em $C$ e $F$ ). Razão da ampliação: $\frac{5}{2}$ (numa ampliação, a razão é maior do que 1).

(B)

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática do 9.º ano, 2011, 2.ª chamada, item 11.2

Na figura, estão representados os triângulos $[A B P]$ e $[D C P]$ , que são semelhantes. Admite que $\overline{D P} = 2 \overline{A P}$ e que a área do triângulo $[A B P]$ é 6 cm².

Qual é a área, em cm², do triângulo $[D C P]$ ?

(A) 12

(B) 18

(C) 24

(D) 30

Resolução

A razão de semelhança de $[A B P]$ para $[D C P]$ é 2, por isso a razão das áreas é $2^{2} = 4$ : $4 \times 6 = 24$ .

(C)

10Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 8.º ano, 29 de fevereiro de 2012, item 5

Considera os triângulos $[A B C]$ e $[P Q R]$ , que são semelhantes. Sabe-se que:

$A \hat{C} B = 59 °$ e $C \hat{B} A = 48 °$ ;
$[R Q]$ é o lado maior do triângulo $[P Q R]$ ;
a ampliação que transforma o triângulo $[P Q R]$ no triângulo $[A B C]$ tem razão igual a 2.

10.1. Determina, sem efetuar medições, a amplitude do ângulo $Q P R$ . Mostra como chegaste à tua resposta.

10.2. Admite que o triângulo $[A B C]$ tem área igual a 18 cm². Qual é a área, em cm², do triângulo $[P Q R]$ ?

(A) 3,5

(B) 7

(C) 4,5

(D) 9

Resolução

10.1. $B \hat{A} C = 180 ° - 59 ° - 48 ° = 73 °$ . O maior lado de um triângulo opõe-se ao maior ângulo; em $[P Q R]$ , o maior lado é $[R Q]$ , oposto ao vértice $P$ . Por isso $Q \hat{P} R$ é o maior ângulo, que corresponde a $\hat{A}$ .

10.1. 73°

10.2. De $[P Q R]$ para $[A B C]$ os comprimentos ficam ao dobro e as áreas ficam multiplicadas por $2^{2} = 4$ : $18 : 4 = 4,5$ .

10.2. (C)

11Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 8.º ano, 29 de fevereiro de 2012, item 7

Na figura, está representada uma planificação de um cubo. No cubo que se pode construir com esta planificação, considera o triângulo $[A B C]$ , formado por diagonais de três faces.

Qual é a amplitude do ângulo $A C B$ desse triângulo? Justifica a tua resposta.

Resolução

Os três lados do triângulo são diagonais de faces do cubo, que são quadrados iguais; por isso os três lados são iguais e o triângulo é equilátero.

60°, porque o triângulo [ABC] é equilátero.

12Fácil

📄 Adaptado de: Prova Final de Matemática do 9.º ano, 2012, 1.ª chamada, item 14

Na figura 1, está representado um recipiente com tinta. Nesse recipiente mergulhou-se um cubo branco, tal como se ilustra na figura 2. Desta forma, a parte do cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta.

Em qual das opções seguintes pode estar uma planificação desse cubo depois de retirado do recipiente?

Resolução

Ficou pintada toda a face de baixo e, nas quatro faces laterais, a mesma faixa junto à face de baixo; a face de cima ficou branca. Na planificação C, as faixas pintadas das faces laterais ficam todas junto da face pintada.

Planificação C

13Fácil

📄 Adaptado de: Prova Final de Matemática do 9.º ano, 2012, 2.ª chamada, item 13.1

Na figura, $[A B C]$ e $[A F C]$ são triângulos retângulos em $A$ , o ponto $E$ pertence a $[B C]$ , o ponto $D$ pertence a $[A B]$ e os segmentos de reta $[A C]$ e $[D E]$ são paralelos. Sabe-se que $\overline{A C} = 12$ cm, que o perímetro do triângulo $[A B C]$ é 48 cm e que o perímetro do triângulo $[D B E]$ é 16 cm (a figura não está desenhada à escala).

Qual dos valores seguintes é a medida, em centímetros, do comprimento do segmento de reta $[D E]$ ?

(A) 3

(B) 3,5

(C) 4

(D) 4,5

Resolução

Como $[D E]$ é paralelo a $[A C]$ , os triângulos $[D B E]$ e $[A B C]$ são semelhantes, com razão $\frac{16}{48} = \frac{1}{3}$ (razão dos perímetros).

$\overline{D E} = \frac{1}{3} \times 12 = 4$

(C)

14Difícil

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática do 9.º ano, 12 de abril de 2013, item 4.1

A figura representa um modelo geométrico de um envelope. Sabe-se que:

$[A B C D]$ é um trapézio isósceles, com $[A D]$ e $[B C]$ paralelos;
o ponto $F$ é o ponto de interseção das diagonais do trapézio;
os pontos $E$ e $G$ são os pontos médios das bases do trapézio ( $E$ em $[A D]$ e $G$ em $[B C]$ , com $F$ em $[E G]$ );
$\overline{E F} = 3,75$ cm, $\overline{F G} = 2,5$ cm e $\overline{B C} = 8$ cm.

Determina a área, em cm², do trapézio $[A B C D]$ . Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolução

Os triângulos $[A F D]$ e $[C F B]$ são semelhantes (ângulos verticalmente opostos em $F$ e ângulos alternos internos iguais), e $\overline{E F}$ e $\overline{F G}$ são as suas alturas.

$\frac{\overline{A D}}{\overline{B C}} = \frac{\overline{E F}}{\overline{F G}} = \frac{3,75}{2,5} = 1,5$ , logo $\overline{A D} = 1,5 \times 8 = 12$ cm.

Altura do trapézio: $3,75 + 2,5 = 6,25$ cm. Área $= \frac{12 + 8}{2} \times 6,25 = 10 \times 6,25 = 62,5$ .

62,5 cm²

15Fácil

📄 Adaptado de: Prova Final de Matemática do 9.º ano, 2013, 1.ª chamada, item 8.2

Na figura, estão representados os triângulos $[A B C]$ e $[C D E]$ , que são semelhantes.

Admite que $\frac{\overline{C D}}{\overline{B C}} = 0,5$ . Qual é o valor do quociente $\frac{área do triângulo [C D E]}{área do triângulo [A B C]}$ ?

(A) 0,125

(B) 0,25

(C) 0,5

(D) 1

Resolução

A razão de semelhança é 0,5, logo a razão das áreas é ${0,5}^{2} = 0,25$ .

(B)

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