Ficha nº4 – Poliedros e fórmula de Euler
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Ficha nº4
Poliedros e fórmula de Euler
7.º ano – Matemática – Tema 5 (Geometria e Medida)
📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil
5 fáceis6 médios4 difíceis
Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução.
1Fácil Indique o número de faces, vértices e arestas de:
1.1. um cubo;
1.2. um prisma triangular;
1.3. uma pirâmide quadrangular.
1.1. , , .
1.2. , , .
1.3. , , .
2Fácil Verifique a fórmula de Euler () para os três sólidos do exercício anterior.
Cubo: . ✔ Prisma: . ✔ Pirâmide: . ✔
3Fácil Indique os nomes dos cinco poliedros regulares e a forma das suas faces.
Tetraedro (4 triângulos), cubo ou hexaedro (6 quadrados), octaedro (8 triângulos), dodecaedro (12 pentágonos) e icosaedro (20 triângulos).
4Fácil Um poliedro tem faces e vértices. Quantas arestas tem?
.
5Fácil Porque é que um prisma triangular não é um poliedro regular?
Porque as faces não são todas iguais (tem triângulos e retângulos).
6Médio Complete a tabela para prismas e pirâmides cuja base tem lados.
7Médio Um prisma tem arestas. Qual é o polígono da base? Quantas faces e quantos vértices tem?
: base octogonal. ; . (Euler: ✔)
8Médio Uma pirâmide tem vértices. Quantas faces e arestas tem? Qual é o polígono da base?
: base decagonal. ; .
9Médio Pode existir um prisma com arestas? E uma pirâmide com arestas? Justifique.
Prisma: não tem solução natural. Pirâmide: também não. Nenhum dos dois existe.
10Médio O dodecaedro regular tem faces pentagonais. Quantas arestas e quantos vértices tem? (Cada aresta pertence a faces e em cada vértice concorrem faces.)
Arestas: . Vértices: . Euler: . ✔
11Médio Desenhe (ou descreva) uma planificação de um cubo. Quantos quadrados tem? Há mais do que uma planificação possível?
Tem quadrados (por exemplo, uma cruz: quadrados em fila e de cada lado do segundo). Há planificações diferentes do cubo.
12Difícil O icosaedro regular tem faces triangulares. Calcule o número de arestas e use a fórmula de Euler para calcular o número de vértices.
Arestas: . .
13Difícil Corta-se um canto de um cubo (um vértice), obtendo um novo poliedro com uma face triangular nova. Quantas faces, vértices e arestas tem o novo poliedro? Verifique a fórmula de Euler.
Faces: . Vértices: perde e ganha : . Arestas: ganha : .
. ✔
14Difícil Explique porque é que não existe um poliedro regular com faces hexagonais.
Num vértice concorrem pelo menos faces e a soma dos ângulos das faces num vértice tem de ser menor do que . Três hexágonos regulares dão : ficam planos, não formam um «bico».
15Difícil Mostre que só existem poliedros regulares, analisando os polígonos regulares possíveis para as faces (triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos…).
Triângulos (): , ou por vértice (, , ) dão tetraedro, octaedro e icosaedro; dariam .
Quadrados (): só por vértice (): cubo. Pentágonos (): só (): dodecaedro.
Hexágonos ou polígonos com mais lados: faces já dão ou mais. Logo, há exatamente .
