Ficha de exames nº5

Provas de 2023–2024

7.º ano – Matemática – Tema 2 (Álgebra)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de provas nacionais portuguesas (provas finais e exames do 9.º ano, testes intermédios e provas de aferição) que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema do 7.º ano, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Alguns itens foram adaptados (linguagem atual e, quando necessário, só as alíneas desta matéria, sempre com o enunciado completo).

📝 5 itens 3 médios2 difíceis

1Difícil

📄 Adaptado de: Prova Final de Matemática do 9.º ano, 2023, 1.ª fase, item 6

Na figura, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de figuras constituídas por quadrados geometricamente iguais. Sabe-se que:

o número de quadrados cinzentos do termo de ordem $n$ é $n^{2}$ ;
cada termo da sequência, com exceção do primeiro, tem mais quatro quadrados brancos do que o termo anterior.

Quantos quadrados brancos tem o termo desta sequência que tem um total de 529 quadrados? Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolução

O 1.º termo é um quadrado $3 \times 3$ com 1 cinzento e 8 brancos. O termo $n$ é um quadrado de lado $n + 2$ : tem $(n + 2)^{2}$ quadrados, $n^{2}$ cinzentos e $4 n + 4$ brancos.

$529 = 23 \times 23$ , logo $n + 2 = 23$ e $n = 21$ .

Brancos: $4 \times 21 + 4 = 88$ (ou $529 - 21^{2} = 529 - 441 = 88$ ).

88 quadrados brancos.

2Difícil

📄 Adaptado de: Prova Final de Matemática do 9.º ano, 2023, 2.ª fase, item 13

Na figura, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de figuras constituídas por quadrados geometricamente iguais. Sabe-se que:

o número total de quadrados do termo de ordem $n$ é $n^{2}$ ;
cada termo da sequência, com exceção do primeiro, tem mais um quadrado cinzento do que o termo anterior.

Existe um termo desta sequência que tem exatamente 552 quadrados brancos. Quantos quadrados cinzentos tem esse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolução

O termo $n$ tem $n$ quadrados cinzentos e $n^{2} - n = n \times (n - 1)$ brancos.

Procuramos dois números consecutivos cujo produto seja 552: $23 \times 24 = 552$ , logo $n = 24$ .

24 quadrados cinzentos.

3Médio

📄 Adaptado de: Prova Final de Matemática do 9.º ano, 2023, época especial, item 8

Na figura, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de figuras constituídas por quadrados geometricamente iguais. Sabe-se que:

o número de quadrados cinzentos do termo de ordem $n$ é $n^{2}$ ;
cada termo da sequência, com exceção do primeiro, tem mais um quadrado branco do que o termo anterior.

Quantos quadrados cinzentos tem o termo desta sequência que tem um total de 306 quadrados? Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolução

O termo $n$ tem $n^{2}$ cinzentos e $n$ brancos: ao todo $n^{2} + n = n \times (n + 1)$ quadrados.

$17 \times 18 = 306$ , logo $n = 17$ . Cinzentos: $17^{2} = 289$ .

289 quadrados cinzentos.

4Médio

📄 Adaptado de: Prova Final de Matemática do 9.º ano, 2024, 1.ª fase, item 4

Na figura, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de figuras, cada uma constituída por um quadrado dividido em 100 quadrados iguais. Sabe-se que:

o primeiro termo da sequência é constituído apenas por quadrados brancos;
o segundo termo tem 2 quadrados cinzentos, e cada termo seguinte tem mais dois quadrados cinzentos do que o termo anterior.

Existe um termo desta sequência que tem exatamente 26 quadrados brancos. Qual é a ordem desse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolução

O termo $n$ tem $2 (n - 1)$ quadrados cinzentos (0, 2, 4, …).

Com 26 brancos há $100 - 26 = 74$ cinzentos: $2 (n - 1) = 74 \Leftrightarrow n - 1 = 37 \Leftrightarrow n = 38$ .

É o 38.º termo.

5Médio

📄 Adaptado de: Prova Final de Matemática do 9.º ano, 2024, 2.ª fase, item 4

Na figura, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de figuras formada por círculos construídos sobre os vértices de quadrados. Sabe-se que:

o primeiro termo da sequência é composto por doze círculos e cinco quadrados;
cada um dos restantes termos obtém-se acrescentando ao termo anterior quatro círculos e dois quadrados.

Existe um termo desta sequência que tem exatamente 644 círculos. Quantos quadrados tem esse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolução

O termo $n$ tem $12 + 4 (n - 1) = 4 n + 8$ círculos e $5 + 2 (n - 1) = 2 n + 3$ quadrados.

$4 n + 8 = 644 \Leftrightarrow 4 n = 636 \Leftrightarrow n = 159$ . Quadrados: $2 \times 159 + 3 = 321$ .

321 quadrados.

Ficha de exames nº5 – Sequências e equações (2023–2024)

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