Teste nº2

Figuras planas, semelhança e poliedros

7.º ano – Matemática – Tema 5 (Geometria e Medida)

Grau de dificuldade do teste: Médio

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 100 pontos🧮 Calculadora permitida📋 17 itens cotados (4 de escolha múltipla, 13 de resposta aberta)

Fácil 15

Médio 43

Difícil 42

Distribuição dos 100 pontos por grau de dificuldade

Instruções: nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Fácil (5 pontos) A soma das amplitudes dos ângulos internos de um pentágono convexo é:

(A) $360 °$

(B) $540 °$

(C) $720 °$

(D) $900 °$

Resolução

$(5 - 2) \times 180 ° = 540 °$ .

Opção (B)

2Fácil (5 pontos) Qual das afirmações é falsa?

(A) Todo o quadrado é um losango.

(B) As diagonais de um retângulo são iguais.

(C) Todo o paralelogramo é um retângulo.

(D) As diagonais de um losango são perpendiculares.

Resolução

Um paralelogramo pode não ter ângulos retos.

Opção (C)

3Fácil (5 pontos) A área de um losango com diagonais de $10$ cm e $7$ cm é:

(A) $17$ cm²

(B) $70$ cm²

(C) $34$ cm²

(D) $35$ cm²

Resolução

$\frac{10 \times 7}{2} = 35$ cm².

Opção (D)

4Médio (5 pontos) Dois quadrados são semelhantes, com razão de semelhança $3$ . A área do maior é igual à área do menor multiplicada por:

(A) $3$

(B) $6$

(C) $9$

(D) $27$

Resolução

A razão das áreas é $r^{2} = 9$ .

Opção (C)

5Na figura, as retas $r$ e $s$ são paralelas e a reta $t$ é uma secante.

5.1. Médio (3 pontos) Determine $x$ , justificando.

5.2. Médio (6 pontos) Determine $y$ , justificando.

5.3. Médio (3 pontos) Determine $z$ .

Resolução

5.1. $x = 48 °$ (ângulos verticalmente opostos).

5.2. $y = x = 48 °$ (ângulos alternos internos, porque $r ∥ s$ ).

5.3. $z = 180 ° - 48 ° = 132 °$ (ângulos suplementares).

6Polígonos regulares.

6.1. Médio (6 pontos) Determine a amplitude de cada ângulo interno de um octógono regular.

6.2. Médio (8 pontos) Cada ângulo interno de um polígono regular mede $150 °$ . Quantos lados tem o polígono?

Resolução

6.1. $\frac{(8 - 2) \times 180 °}{8} = \frac{1080 °}{8} = 135 °$ .

6.2. Cada ângulo externo mede $180 ° - 150 ° = 30 °$ , logo o polígono tem $\frac{360 °}{30 °} = 12$ lados.

7Um canteiro tem a forma de um trapézio com bases de $8$ m e $5$ m e altura de $4$ m.

7.1. Médio (6 pontos) Calcule a área do canteiro.

7.2. Médio (6 pontos) A relva custa $3,50$ € por metro quadrado. Quanto custa relvar o canteiro?

Resolução

7.1. $\frac{8 + 5}{2} \times 4 = 6,5 \times 4 = 26$ m².

7.2. $26 \times 3,50 = 91$ €.

8Ao mesmo tempo, um prédio faz uma sombra de $15$ m e a Rita, com $1,60$ m de altura, faz uma sombra de $2$ m.

8.1. Difícil (4 pontos) Justifique que os triângulos formados são semelhantes.

8.2. Difícil (10 pontos) Determine a altura do prédio.

Resolução

8.1. Os dois têm um ângulo reto e o mesmo ângulo de inclinação dos raios solares (critério AA).

8.2. $r = \frac{15}{2} = 7,5$ , logo a altura é $7,5 \times 1,60 = 12$ m.

9Poliedros.

9.1. Difícil (6 pontos) Um poliedro convexo tem $8$ vértices e $12$ arestas. Quantas faces tem?

9.2. Difícil (8 pontos) Um prisma tem como base um polígono com $n$ lados. Escreva, em função de $n$ , o número de faces, de vértices e de arestas, e mostre que verifica a fórmula de Euler.

Resolução

9.1. $F + 8 = 12 + 2 \Leftrightarrow F = 6$ faces.

9.2. $F = n + 2$ ; $V = 2 n$ ; $A = 3 n$ . $F + V = n + 2 + 2 n = 3 n + 2 = A + 2$ . ✔

10O quadrado $[A B C D]$ tem $4$ cm de lado. Por uma homotetia de razão $1,5$ obtém-se o quadrado $[A' B' C' D']$ .

10.1. Difícil (6 pontos) Calcule o perímetro de $[A' B' C' D']$ .

10.2. Difícil (8 pontos) Calcule a área de $[A' B' C' D']$ e indique quantas vezes é maior do que a área de $[A B C D]$ .

Resolução

10.1. Lado: $1,5 \times 4 = 6$ cm. Perímetro: $4 \times 6 = 24$ cm.

10.2. Área: $6^{2} = 36$ cm². $\frac{36}{16} = 2,25 = {1,5}^{2}$ vezes maior.

Cotações

Item	1	2	3	4	5.1	5.2	5.3	6.1
Cotação (pontos)	5	5	5	5	3	6	3	6
Dificuldade
Tipo	EM	EM	EM	EM	RA	RA	RA	RA

Item	6.2	7.1	7.2	8.1	8.2	9.1	9.2	10.1
Cotação (pontos)	8	6	6	4	10	6	8	6
Dificuldade
Tipo	RA	RA	RA	RA	RA	RA	RA	RA

Item	10.2	Total
Cotação (pontos)	8	100
Dificuldade
Tipo	RA

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 4 itens – 20 pontos

Resposta aberta: 13 itens – 80 pontos

Por grau de dificuldade

Fácil 3 itens – 15 pontos

Médio 8 itens – 43 pontos

Difícil 6 itens – 42 pontos

Teste original elaborado de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática do 7.º ano.

Teste nº2 – Figuras planas, semelhança e poliedros

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