Resumo nº4 – Poliedros e fórmula de Euler

💡 Ideia principal

Um poliedro é um sólido limitado só por polígonos, as faces. Os lados das faces são as arestas e os pontos onde as arestas se encontram são os vértices. Prismas e pirâmides são poliedros; o cilindro, o cone e a esfera não são.

📌 Em qualquer poliedro convexo

$$F+V=A+2$$

Cubo: $6+8=14=12+2$. ✔

✏️ Exemplo resolvido

Um poliedro tem $12$ faces e $30$ arestas. Quantos vértices tem?

$12+V=30+2\iff V=20$.

📌 Porque só existem cinco?

Num vértice concorrem pelo menos $3$ faces e a soma dos seus ângulos tem de ser menor do que $360°$ (com $360°$, ficava plano).

Triângulos ($60°$): $3$, $4$ ou $5$ faces ($180°$, $240°$, $300°$). Quadrados ($90°$): só $3$ ($270°$). Pentágonos ($108°$): só $3$ ($324°$).

Hexágonos ($120°$): $3\times 120°=360°$, não dá. Polígonos com mais lados também não.

⚠️ Erros frequentes

✗ «Um prisma triangular é regular porque a base é um triângulo equilátero.» ✔ As faces não são todas iguais (tem triângulos e retângulos).

✗ Contar duas vezes a mesma aresta ao contar face a face.

🌟 Sabias que… Os cinco poliedros regulares chamam-se «sólidos platónicos» porque Platão (século IV a.C.) os associou ao fogo, à terra, ao ar, ao universo e à água. Leonhard Euler publicou a sua fórmula em 1758, mais de $2000$ anos depois!