Ficha nº5

Revisão: Funções e proporcionalidade direta

7.º ano – Matemática – Tema 3 (Funções)

📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil

5 fáceis6 médios4 difíceis

Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução.

🟢 Nível fácil

1Fácil Considere os conjuntos $A = {1, 2, 3}$ e $B = {2, 4, 6, 8}$ . Diga, justificando, quais das correspondências de $A$ em $B$ são funções.

1.1. $1 \mapsto 2$ , $2 \mapsto 4$ , $3 \mapsto 6$

1.2. $1 \mapsto 2$ , $1 \mapsto 4$ , $2 \mapsto 6$ , $3 \mapsto 8$

1.3. $1 \mapsto 4$ , $2 \mapsto 4$ , $3 \mapsto 4$

Resolução

1.1. É função: cada elemento de $A$ tem uma e uma só imagem.

1.2. Não é função: o objeto $1$ tem duas imagens ( $2$ e $4$ ).

1.3. É função: todos os objetos têm uma só imagem (podem ter a mesma).

2Fácil Seja $f$ a função de domínio ${0, 1, 2, 3}$ definida por $f (x) = 3 x - 1$ .

2.1. Calcule $f (0)$ e $f (2)$ .

2.2. Indique o contradomínio de $f$ .

2.3. Qual é o objeto cuja imagem é $5$ ?

Resolução

2.1. $f (0) = 3 \times 0 - 1 = - 1$ ; $f (2) = 3 \times 2 - 1 = 5$ .

2.2. $f (1) = 2$ e $f (3) = 8$ , logo o contradomínio é ${- 1, 2, 5, 8}$ .

2.3. É o $2$ , porque $f (2) = 5$ .

3Fácil A tabela relaciona o número de cadernos comprados com o preço a pagar.

Cadernos	$1$	$2$	$3$	$4$
Preço (€)	$3$	$6$	$9$	$12$

3.1. As grandezas são diretamente proporcionais? Justifique.

3.2. Indique a constante de proporcionalidade e o seu significado.

3.3. Escreva uma expressão para o preço $P$ de $x$ cadernos.

Resolução

3.1. Sim: $\frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{9}{3} = \frac{12}{4} = 3$ . O quociente é constante.

3.2. $k = 3$ : cada caderno custa $3$ €.

3.3. $P (x) = 3 x$ .

4Fácil Qual das tabelas representa uma situação de proporcionalidade direta? Justifique.

Tabela I: $x$	$2$	$4$	$5$
$y$	$5$	$10$	$12,5$
Tabela II: $x$	$1$	$2$	$3$
$y$	$4$	$6$	$8$

Resolução

Tabela I: $\frac{5}{2} = \frac{10}{4} = \frac{12,5}{5} = 2,5$ . É de proporcionalidade direta, com $k = 2,5$ .

Tabela II: $\frac{4}{1} = 4$ , mas $\frac{6}{2} = 3$ . Não é de proporcionalidade direta.

5Fácil Na figura está representado o gráfico de uma função $g$ .

5.1. Indique o domínio e o contradomínio de $g$ .

5.2. Indique $g (1)$ e $g (3)$ .

5.3. Qual é o objeto cuja imagem é $2$ ?

Resolução

5.1. Domínio: ${0, 1, 2, 3}$ . Contradomínio: ${1, 2, 3, 4}$ .

5.2. $g (1) = 3$ e $g (3) = 4$ .

5.3. É o $2$ , porque o ponto $(2, 2)$ pertence ao gráfico.

🟠 Nível médio

6Médio Num posto de abastecimento, cada litro de gasolina custa $1,80$ €.

6.1. Complete a tabela.

Litros	$1$	$5$	$10$	$25$	$40$
Preço (€)	$1,80$	…	…	…	…

6.2. Escreva uma expressão que dê o preço $P$ a pagar por $x$ litros.

6.3. Com $63$ €, quantos litros se podem comprar?

Resolução

6.1. $9$ ; $18$ ; $45$ ; $72$ .

6.2. $P (x) = 1,8 x$ .

6.3. $1,8 x = 63 \Leftrightarrow x = 35$ . Compram-se $35$ litros.

7Médio Qual dos gráficos pode representar uma função de proporcionalidade direta? Justifique.

Resolução

Apenas o gráfico A: é uma reta que passa na origem.

B é uma reta mas não passa na origem; C passa na origem mas não é uma reta; D é uma reta horizontal (a imagem é sempre a mesma).

8Médio Uma receita de bolo para $4$ pessoas leva $300$ g de farinha. Quantos gramas de farinha são precisos para $10$ pessoas?

Resolução

A farinha é diretamente proporcional ao número de pessoas: $k = \frac{300}{4} = 75$ g por pessoa.

$75 \times 10 = 750$ g de farinha.

9Médio O gráfico representa uma função $f$ de proporcionalidade direta.

9.1. Determine a constante de proporcionalidade.

9.2. Escreva a expressão algébrica de $f$ .

9.3. Calcule $f (10)$ .

9.4. Qual é o objeto cuja imagem é $21$ ?

Resolução

9.1. O ponto $(4, 6)$ pertence ao gráfico: $k = \frac{6}{4} = 1,5$ .

9.2. $f (x) = 1,5 x$ .

9.3. $f (10) = 1,5 \times 10 = 15$ .

9.4. $1,5 x = 21 \Leftrightarrow x = 14$ .

10Médio Num mapa, $1$ cm corresponde a $2,5$ km na realidade.

10.1. A distância no mapa entre duas aldeias é $6,4$ cm. Qual é a distância real?

10.2. Duas cidades estão a $40$ km uma da outra. Qual é a distância entre elas no mapa?

Resolução

10.1. $2,5 \times 6,4 = 16$ km.

10.2. $\frac{40}{2,5} = 16$ cm.

11Médio Uma função $h$ de proporcionalidade direta verifica $h (3) = 12$ .

11.1. Determine a constante de proporcionalidade e a expressão de $h$ .

11.2. Calcule $h (- 2)$ e $h (\frac{1}{2})$ .

11.3. Determine $x$ tal que $h (x) = 30$ .

Resolução

11.1. $k = \frac{12}{3} = 4$ ; $h (x) = 4 x$ .

11.2. $h (- 2) = - 8$ ; $h (\frac{1}{2}) = 2$ .

11.3. $4 x = 30 \Leftrightarrow x = 7,5$ .

🔴 Nível difícil

12Difícil Um automóvel desloca-se numa autoestrada à velocidade constante de $90$ km/h.

12.1. Escreva uma expressão para a distância $d$ percorrida (em km) em $t$ horas.

12.2. Quanto tempo demora a percorrer $225$ km?

12.3. A Rita diz: «Para percorrer sempre os mesmos $225$ km, o tempo gasto e a velocidade também são diretamente proporcionais.» Tem razão? Justifique.

Resolução

12.1. $d (t) = 90 t$ .

12.2. $90 t = 225 \Leftrightarrow t = 2,5$ . Demora $2,5$ h, ou seja, $2$ h e $30$ min.

12.3. Não tem razão. A $90$ km/h demora $2,5$ h e a $45$ km/h demora $5$ h: quando a velocidade passa para metade, o tempo passa para o dobro. O quociente $\frac{tempo}{velocidade}$ não é constante, por isso não há proporcionalidade direta.

13Difícil Um tarifário de telemóvel A custa $0,10$ € por minuto. O tarifário B custa $5$ € fixos por mês mais $0,05$ € por minuto.

13.1. Qual dos tarifários traduz uma situação de proporcionalidade direta? Justifique.

13.2. Escreva uma expressão para o custo mensal de $m$ minutos em cada tarifário.

13.3. Para quantos minutos os dois tarifários custam o mesmo?

13.4. A Joana fala cerca de $150$ minutos por mês. Que tarifário lhe aconselha?

Resolução

13.1. O A: $0$ minutos custam $0$ € e o custo por minuto é constante. O B não, porque com $0$ minutos já se pagam $5$ €.

13.2. $A (m) = 0,1 m$ ; $B (m) = 5 + 0,05 m$ .

13.3. $0,1 m = 5 + 0,05 m \Leftrightarrow 0,05 m = 5 \Leftrightarrow m = 100$ minutos.

13.4. $A (150) = 15$ € e $B (150) = 5 + 7,5 = 12,50$ €. Aconselha-se o tarifário B.

14Difícil Considere quadrados de lado $l$ cm.

14.1. Mostre que o perímetro é diretamente proporcional ao lado e indique a constante.

14.2. A área também é diretamente proporcional ao lado? Justifique com uma tabela.

Resolução

14.1. $P (l) = 4 l$ : é da forma $k x$ , com $k = 4$ .

Lado (cm)	$1$	$2$	$3$
Área (cm²)	$1$	$4$	$9$

14.2. $\frac{1}{1} = 1$ , $\frac{4}{2} = 2$ , $\frac{9}{3} = 3$ . O quociente não é constante, logo a área não é diretamente proporcional ao lado.

15Difícil A tabela representa uma situação de proporcionalidade direta.

$x$	$2$	$5$	$a$	$12$
$y$	$7$	$b$	$28$	$c$

15.1. Determine $a$ , $b$ e $c$ .

15.2. O ponto $(20, 70)$ pertence ao gráfico desta função? Justifique.

Resolução

15.1. $k = \frac{7}{2} = 3,5$ . $b = 3,5 \times 5 = 17,5$ ; $a = \frac{28}{3,5} = 8$ ; $c = 3,5 \times 12 = 42$ .

15.2. $3,5 \times 20 = 70$ . Pertence.

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