Ficha nº2

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Função afim

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil

5 fáceis8 médios2 difíceis

Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução.

🟢 Nível fácil

1Fácil Para cada função afim, indique o declive, a ordenada na origem e o zero.

1.1. $f (x) = 3 x - 6$

1.2. $g (x) = - \frac{1}{2} x + 4$

1.3. $h (x) = 5 - 2 x$

Resolução

1.1. Declive $3$ ; ordenada na origem $- 6$ ; zero: $3 x - 6 = 0 ⟺ x = 2$ .

1.2. Declive $- \frac{1}{2}$ ; ordenada na origem $4$ ; zero: $- \frac{1}{2} x + 4 = 0 ⟺ x = 8$ .

1.3. $h (x) = - 2 x + 5$ : declive $- 2$ ; ordenada na origem $5$ ; zero: $x = \frac{5}{2}$ .

2Fácil Qual é o conjunto-solução da condição $- 3 x + 6 < 0$ ?

(A) $] - \infty, 2 [$

(B) $] - \infty, - 2 [$

(C) $] 2, + \infty [$

(D) $] - 2, + \infty [$

Resolução

$- 3 x + 6 < 0$ ⇔ $- 3 x < - 6$ ⇔ $x > 2$ (o sentido inverte-se ao dividir por $- 3$ ).

Opção (C)

3Fácil Indique se cada função é crescente, decrescente ou constante.

3.1. $f (x) = 4 - x$

3.2. $g (x) = 2 x$

3.3. $h (x) = - 3$

Resolução

3.1. Declive $- 1 < 0$ : decrescente.

3.2. Declive $2 > 0$ : crescente.

3.3. Declive $0$ : constante.

4Fácil Considere $f (x) = 5 x + 10$ . Calcule $f (- 2)$ e indique o zero de $f$ .

Resolução

$f (- 2) = - 10 + 10 = 0$ . Como $f (- 2) = 0$ , o zero de $f$ é $- 2$ .

5Fácil Determine a expressão da função linear cujo gráfico passa no ponto $(2, 6)$ .

Resolução

Uma função linear tem a forma $f (x) = m x$ . $f (2) = 6 ⟺ 2 m = 6 ⟺ m = 3$ .

$f (x) = 3 x$ .

🟠 Nível médio

6Médio Determine a expressão analítica da função afim $f$ cujo gráfico passa nos pontos $A (- 1, 5)$ e $B (3, - 3)$ .

Resolução

Declive: $m = \frac{- 3 - 5}{3 - (- 1)} = \frac{- 8}{4} = - 2$ .

Então $f (x) = - 2 x + b$ . Como $f (- 1) = 5$ : $2 + b = 5 ⟺ b = 3$ .

$f (x) = - 2 x + 3$ . (Verificação: $f (3) = - 6 + 3 = - 3$ .)

7Médio Na figura está representada a reta $r$ , gráfico de uma função afim $f$ , que passa nos pontos $(0, 2)$ e $(3, 0)$ .

7.1. Determine a expressão analítica de $f$ .

7.2. Resolva a inequação $f (x) \geq - 2$ .

Resolução

7.1. Ordenada na origem $b = 2$ . Declive $m = \frac{0 - 2}{3 - 0} = - \frac{2}{3}$ . Logo $f (x) = - \frac{2}{3} x + 2$ .

7.2. $- \frac{2}{3} x + 2 \geq - 2$ ⇔ $- \frac{2}{3} x \geq - 4$ ⇔ $x \leq 6$ (ao multiplicar por $- \frac{3}{2}$ o sentido inverte-se). Solução: $] - \infty, 6]$ .

8Médio Considere as funções $f (x) = (k - 2) x + 1$ e $g (x) = 4 x - k$ , com $k \in ℝ$ .

8.1. Determine $k$ de modo que $f$ seja decrescente.

8.2. Determine $k$ de modo que os gráficos de $f$ e $g$ sejam retas paralelas.

Resolução

8.1. $f$ é decrescente se o declive for negativo: $k - 2 < 0 ⟺ k < 2$ .

8.2. Retas paralelas têm o mesmo declive: $k - 2 = 4 ⟺ k = 6$ . As ordenadas na origem ( $1$ e $- 6$ ) são diferentes, por isso as retas são paralelas e não coincidentes.

9Médio Determine a função afim $f$ de declive $4$ tal que $f (1) = - 2$ .

Resolução

$f (x) = 4 x + b$ ; $f (1) = 4 + b = - 2 ⟺ b = - 6$ .

$f (x) = 4 x - 6$ .

10Médio Estude o sinal da função $f (x) = - 4 x + 2$ .

Resolução

Zero: $- 4 x + 2 = 0 ⟺ x = \frac{1}{2}$ . Como o declive é negativo, $f$ é decrescente.

$f$ é positiva em $] - \infty, \frac{1}{2} [$ e negativa em $] \frac{1}{2}, + \infty [$ .

11Médio Determine a equação reduzida da reta paralela a $y = - 3 x + 1$ que passa no ponto $(2, - 1)$ .

Resolução

Mesmo declive: $y = - 3 x + b$ . Substituindo $(2, - 1)$ : $- 1 = - 6 + b ⟺ b = 5$ .

$y = - 3 x + 5$ .

12Médio Resolva a inequação $2 (x - 1) \geq 5 x + 4$ .

Resolução

$2 x - 2 \geq 5 x + 4$ ⇔ $- 3 x \geq 6$ ⇔ $x \leq - 2$ .

Solução: $] - \infty, - 2]$ .

13Médio Um tarifário de telemóvel cobra $5$ € por mês mais $0,10$ € por minuto. Outro cobra $12$ € por mês, com chamadas ilimitadas.

13.1. Escreva a expressão do custo mensal $C_{1} (t)$ do primeiro tarifário, em função do número $t$ de minutos.

13.2. A partir de quantos minutos por mês compensa o segundo tarifário?

Resolução

13.1. $C_{1} (t) = 5 + 0,10 t$ .

13.2. $5 + 0,10 t > 12 ⟺ t > 70$ . Com $70$ minutos os custos são iguais ( $12$ €); com mais de $70$ minutos por mês compensa o segundo tarifário.

🔴 Nível difícil

14Difícil Considere $f (x) = 2 x - 1$ e $g (x) = - x + 5$ .

14.1. Determine as coordenadas do ponto de interseção dos gráficos.

14.2. Resolva a condição $f (x) > g (x)$ e interprete graficamente.

Resolução

14.1. $2 x - 1 = - x + 5 ⟺ 3 x = 6 ⟺ x = 2$ ; $f (2) = 3$ . Ponto $(2, 3)$ .

14.2. $2 x - 1 > - x + 5 ⟺ x > 2$ . Para $x > 2$ a reta de $f$ está acima da reta de $g$ .

15Difícil A temperatura em graus Fahrenheit ( $F$ ) relaciona-se com a temperatura em graus Celsius ( $C$ ) por $F = 1,8 C + 32$ .

15.1. Que temperatura em graus Celsius corresponde a $95$ °F?

15.2. Existe alguma temperatura com o mesmo valor nas duas escalas? Qual?

Resolução

15.1. $1,8 C + 32 = 95$ ⇔ $1,8 C = 63$ ⇔ $C = 35$ °C.

15.2. Procura-se $C = 1,8 C + 32$ ⇔ $- 0,8 C = 32$ ⇔ $C = - 40$ . Sim: $- 40$ °C $= - 40$ °F.

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