Ficha nº3

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Função quadrática: estudo

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil

5 fáceis8 médios2 difíceis

Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução.

🟢 Nível fácil

1Fácil Sem calcular os zeros, indique quantos zeros tem cada função.

1.1. $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$

1.2. $g (x) = 3 x^{2} + x + 2$

1.3. $h (x) = - 2 x^{2} + 5 x + 1$

Resolução

1.1. $Δ = 36 - 36 = 0$ : um zero (duplo).

1.2. $Δ = 1 - 24 = - 23 < 0$ : não tem zeros.

1.3. $Δ = 25 + 8 = 33 > 0$ : dois zeros.

2Fácil A função $f (x) = - x^{2} + 4 x + 5$ tem…

(A) mínimo igual a $9$

(B) máximo igual a $9$

(C) mínimo igual a $2$

(D) máximo igual a $2$

Resolução

$a = - 1 < 0$ : concavidade para baixo, logo tem máximo. $h = 2$ e $f (2) = - 4 + 8 + 5 = 9$ .

Opção (B)

3Fácil Para $f (x) = 3 - 2 x + x^{2}$ , indique os valores de $a$ , $b$ e $c$ e o sentido da concavidade do gráfico.

Resolução

Ordenando: $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ , logo $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = 3$ .

Como $a = 1 > 0$ , a concavidade está voltada para cima.

4Fácil Indique o vértice, o eixo de simetria e o extremo da função $f (x) = (x + 4)^{2} - 1$ .

Resolução

Forma canónica $a (x - h)^{2} + k$ com $h = - 4$ e $k = - 1$ . Vértice $(- 4, - 1)$ ; eixo $x = - 4$ .

Como $a = 1 > 0$ , $f$ tem mínimo $- 1$ .

5Fácil Determine os zeros das funções $f (x) = x^{2} - 9$ e $g (x) = x^{2} + 4 x$ .

Resolução

$x^{2} - 9 = 0$ ⇔ $x^{2} = 9$ ⇔ $x = - 3 \lor x = 3$ .

$x^{2} + 4 x = 0$ ⇔ $x (x + 4) = 0$ ⇔ $x = 0 \lor x = - 4$ .

🟠 Nível médio

6Médio Considere a função $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 6$ .

6.1. Determine as coordenadas do vértice e a equação do eixo de simetria.

6.2. Indique o sentido da concavidade e o contradomínio.

6.3. Determine os zeros e estude o sinal de $f$ .

6.4. Indique os intervalos de monotonia.

Resolução

6.1. $h = - \frac{- 8}{2 \times 2} = 2$ e $k = f (2) = 8 - 16 + 6 = - 2$ . Vértice $V (2, - 2)$ ; eixo $x = 2$ .

6.2. $a = 2 > 0$ : concavidade voltada para cima. $D_{f}^{'} = [- 2, + \infty [$ .

6.3. $2 x^{2} - 8 x + 6 = 0$ ⇔ $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ⇔ $x = \frac{4 \pm 2}{2}$ ⇔ $x = 1 \lor x = 3$ . Positiva em $] - \infty, 1 [\cup] 3, + \infty [$ ; negativa em $] 1, 3 [$ .

6.4. Decrescente em $] - \infty, 2]$ e crescente em $[2, + \infty [$ .

7Médio Escreva na forma canónica $a (x - h)^{2} + k$ a expressão $g (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ e indique o máximo de $g$ .

Resolução

$h = - \frac{6}{2 \times (- 1)} = 3$ e $k = g (3) = - 9 + 18 - 5 = 4$ .

Logo $g (x) = - (x - 3)^{2} + 4$ .

Como $a = - 1 < 0$ , o máximo é $4$ , atingido em $x = 3$ .

8Médio Determine os valores de $k$ para os quais a função $f (x) = x^{2} - 4 x + k$ não tem zeros.

Resolução

$f$ não tem zeros se $Δ < 0$ : $16 - 4 k < 0 ⟺ k > 4$ .

9Médio O gráfico de uma função quadrática tem vértice $V (- 1, 3)$ e passa no ponto $(1, - 5)$ . Determine a sua expressão analítica.

Resolução

Forma canónica: $f (x) = a (x + 1)^{2} + 3$ .

$f (1) = - 5 ⟺ 4 a + 3 = - 5 ⟺ a = - 2$ .

$f (x) = - 2 (x + 1)^{2} + 3 = - 2 x^{2} - 4 x + 1$ .

10Médio Considere $f (x) = - x^{2} + 2 x + 8$ . Determine os zeros, o vértice, o contradomínio e o conjunto onde $f$ é positiva.

Resolução

Zeros: $- x^{2} + 2 x + 8 = 0$ ⇔ $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ ⇔ $x = \frac{2 \pm 6}{2}$ ⇔ $x = - 2 \lor x = 4$ .

Vértice: $h = 1$ , $f (1) = - 1 + 2 + 8 = 9$ , logo $V (1, 9)$ . Como $a < 0$ , $D_{f}^{'} =] - \infty, 9]$ .

$f$ é positiva entre os zeros: $] - 2, 4 [$ .

11Médio Indique os intervalos de monotonia de $g (x) = 2 (x - 3)^{2} + 1$ .

Resolução

Vértice $(3, 1)$ e $a = 2 > 0$ .

$g$ é decrescente em $] - \infty, 3]$ e crescente em $[3, + \infty [$ .

12Médio Determine $k$ de modo que o vértice da parábola $y = x^{2} + k x + 5$ tenha abcissa $3$ , e indique a ordenada desse vértice.

Resolução

$h = - \frac{k}{2} = 3 ⟺ k = - 6$ .

Ordenada: $f (3) = 9 - 18 + 5 = - 4$ .

13Médio Determine a expressão da função quadrática que tem zeros $2$ e $6$ e mínimo igual a $- 8$ .

Resolução

$f (x) = a (x - 2) (x - 6)$ . O vértice tem abcissa $\frac{2 + 6}{2} = 4$ .

$f (4) = a \times 2 \times (- 2) = - 4 a = - 8$ ⇔ $a = 2$ .

$f (x) = 2 (x - 2) (x - 6) = 2 x^{2} - 16 x + 24$ .

🔴 Nível difícil

14Difícil Determine $k \neq 0$ de modo que a função $f (x) = k x^{2} + 4 x + 1$ tenha um único zero e indique esse zero.

Resolução

Um único zero $⟺ Δ = 0$ : $16 - 4 k = 0 ⟺ k = 4$ .

Zero: $x = - \frac{4}{2 \times 4} = - \frac{1}{2}$ .

15Difícil Mostre que, para qualquer número real $m$ , a função $f (x) = x^{2} + m x - 1$ tem dois zeros distintos.

Resolução

$Δ = m^{2} - 4 \times 1 \times (- 1) = m^{2} + 4$ .

Como $m^{2} \geq 0$ , tem-se $Δ \geq 4 > 0$ para todo o $m$ . Logo há sempre dois zeros distintos.

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