Ficha de exames nº2

Provas de 2010–2019

10.º ano – Matemática A – Tema 5 (Geometria analítica)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 6 fáceis5 médios4 difíceis

1Difícil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 29 de janeiro de 2010 – Grupo II, itens 1.1, 1.2 e 1.3

Resolução

1.1.

1.2.

1.3.

2Difícil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 29 de janeiro de 2010 – Grupo II, itens 3.1 e 3.2

Resolução

3.1.

3.2.

3Fácil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 5 de maio de 2010 – Grupo I, item 1

Resolução

4Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 5 de maio de 2010 – Grupo II, itens 1.1 e 1.2

Resolução

1.1.

1.2.

5Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 6 de maio de 2011 (versão 1) – Grupo I, item 4

Resolução

6Fácil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 16 de março de 2012 (versão 1) – Grupo I, item 1

Resolução

7Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática A – 11.º ano, 6 de março de 2013, item 2.1.3 do grupo II

Num referencial ortonormado $O x y z$ , considere o cubo $[A B C D E F G H]$ . Sabe-se que:
• o ponto $F$ tem coordenadas $(1; 3; - 4)$ ;
• o vetor $\vec{F A}$ tem coordenadas $(2; 3; 6)$ .
Escreva uma equação da superfície esférica de centro no ponto $F$ à qual pertence o ponto $G$ (vértice do cubo adjacente a $F$ ).

Resolução

Os pontos $F$ e $G$ são extremos de uma aresta do cubo, tal como $F$ e $A$ . Logo, o raio da superfície esférica é igual ao comprimento da aresta: $r = \overset{―}{F G} = \overset{―}{F A} = ‖ \vec{F A} ‖$ .

$‖ \vec{F A} ‖ = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 6^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ , pelo que $r^{2} = 49$ .

A superfície esférica de centro $(x_{0}; y_{0}; z_{0})$ e raio $r$ tem equação $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = r^{2}$ .

Com centro $F (1; 3; - 4)$ : $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 4)^{2} = 49$ .

8Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2015, 1.ª fase, item 5.2 do Grupo II

Considere, num referencial ortonormado $O x y z$ , os pontos $A (0, 0, 2)$ e $B (4, 0, 0)$ .
Determine uma equação cartesiana da superfície esférica da qual $[A B]$ é um diâmetro.

Resolução

O centro da superfície esférica é o ponto médio de $[A B]$ : $M (\frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{2 + 0}{2}) = (2, 0, 1)$ .

Diâmetro: $\overset{―}{A B} = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (0 - 0)^{2} + (0 - 2)^{2}} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$ .

Raio: $r = \frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}$ , logo $r^{2} = 5$ .

Equação: $(x - 2)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 5$ .

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2015, 1.ª fase, item 7 do Grupo I

Na figura, está representado, num referencial ortonormado $x O y$ , o triângulo equilátero $[A B C]$ . Sabe-se que:
• o ponto $A$ tem ordenada positiva;
• os pontos $B$ e $C$ pertencem ao eixo $O x$ ;
• o ponto $B$ tem abcissa $1$ e o ponto $C$ tem abcissa maior do que $1$ .
Qual é a equação reduzida da reta $A B$ ?

(A) $y = \sqrt{2} x - \sqrt{2}$

(B) $y = \sqrt{2} x + \sqrt{2}$

(C) $y = \sqrt{3} x + \sqrt{3}$

(D) $y = \sqrt{3} x - \sqrt{3}$

Resolução

Seja $ℓ$ o comprimento do lado do triângulo (o resultado não depende de $ℓ$ ). Então $B (1, 0)$ e $C (1 + ℓ, 0)$ .

Num triângulo equilátero, o vértice $A$ projeta-se no ponto médio de $[B C]$ , logo a abcissa de $A$ é $1 + \frac{ℓ}{2}$ .

A altura do triângulo obtém-se pelo teorema de Pitágoras: $h = \sqrt{ℓ^{2} - {(\frac{ℓ}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ℓ$ . Logo $A (1 + \frac{ℓ}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} ℓ)$ .

Declive da reta $A B$ : $m = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} ℓ - 0}{1 + \frac{ℓ}{2} - 1} = \sqrt{3}$ .

A reta passa em $B (1, 0)$ : $0 = \sqrt{3} \times 1 + b \Leftrightarrow b = - \sqrt{3}$ .

Equação reduzida: $y = \sqrt{3} x - \sqrt{3}$ . Resposta: (D).

10Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2016, 1.ª fase, itens 3.1 e 3.2 do Grupo II

Na figura, está representada, num referencial ortonormado $O x y z$ , a pirâmide quadrangular regular $[A B C D V]$ . Sabe-se que:
• a base $[A B C D]$ é paralela ao plano $x O y$ ;
• o ponto $A$ tem coordenadas $(- 1, 1, 1)$ e o ponto $C$ tem coordenadas $(- 3, 3, 1)$ ;
• o plano $B C V$ é definido pela equação $3 y + z - 10 = 0$ .

a) Escreva uma condição que defina a superfície esférica de centro no ponto $A$ e que é tangente ao plano $x O y$ .

b) Determine as coordenadas do ponto $V$ .

Resolução

a) A distância do centro $A (- 1, 1, 1)$ ao plano $x O y$ (de equação $z = 0$ ) é o valor absoluto da cota de $A$ , ou seja, $1$ . Como a superfície esférica é tangente a $x O y$ , o raio é $r = 1$ .

Condição: $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$ .

b) Numa pirâmide regular, o vértice $V$ projeta-se no centro da base, que é o ponto médio da diagonal $[A C]$ : $M (\frac{- 1 - 3}{2}, \frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + 1}{2}) = (- 2, 2, 1)$ .

Como a base é paralela a $x O y$ , a altura da pirâmide é paralela a $O z$ ; logo $V$ tem a mesma abcissa e a mesma ordenada de $M$ : $V (- 2, 2, z)$ .

O ponto $V$ pertence ao plano $B C V$ , logo verifica a sua equação: $3 \times 2 + z - 10 = 0 \Leftrightarrow z = 4$ .

Portanto, $V (- 2, 2, 4)$ .

11Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2016, 2.ª fase, item 7 do Grupo I

Considere, num referencial ortonormado $x O y$ , o quadrado definido pela condição

$0 \leq x \leq 4 \land 1 \leq y \leq 5$

Qual das condições seguintes define a circunferência inscrita neste quadrado?

(A) $(x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 16$

(B) $(x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 4$

(C) $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$

(D) $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$

Resolução

O quadrado tem vértices $(0, 1)$ , $(4, 1)$ , $(4, 5)$ e $(0, 5)$ ; o lado mede $4 - 0 = 4$ .

O centro da circunferência inscrita é o centro do quadrado: $(\frac{0 + 4}{2}, \frac{1 + 5}{2}) = (2, 3)$ .

O raio é metade do lado: $r = \frac{4}{2} = 2$ , logo $r^{2} = 4$ .

Equação: $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ . Resposta: (C).

12Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2018, 1.ª fase, item 7

Num referencial ortonormado $x O y$ , considere a circunferência de centro na origem $O$ que passa nos pontos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ e $F$ . Sabe-se que:
• o ponto $A$ pertence ao semieixo positivo $O x$ e tem abcissa $2$ ;
• os pontos $B$ e $F$ têm abcissa $1$ ( $B$ no 1.º quadrante e $F$ no 4.º quadrante);
• os pontos $C$ , $D$ e $E$ são os simétricos de $B$ , $A$ e $F$ , respetivamente, relativamente ao eixo $O y$ .
Na figura, estão sombreadas as duas regiões do círculo limitadas, uma, pela corda $[B F]$ e pelo arco $B A F$ e, a outra, pela corda $[C E]$ e pelo arco $C D E$ (incluindo as fronteiras).
Qual das condições seguintes define o domínio plano representado a sombreado?

(A) $x^{2} + y^{2} \leq 2 \land | x | \geq 1$

(B) $x^{2} + y^{2} \leq 4 \land | x | \leq 1$

(C) $x^{2} + y^{2} \leq 4 \land | x | \geq 1$

(D) $x^{2} + y^{2} \leq 2 \land | x | \leq 1$

Resolução

O raio da circunferência é $\overset{―}{O A} = 2$ , logo a circunferência tem equação $x^{2} + y^{2} = 4$ e o círculo correspondente é definido por $x^{2} + y^{2} \leq 4$ . Excluem-se assim as opções (A) e (D), que correspondem a um círculo de raio $\sqrt{2}$ .

Os pontos $B$ e $F$ têm abcissa $1$ , pelo que a corda $[B F]$ está contida na reta vertical $x = 1$ ; a região sombreada da direita é a parte do círculo com $x \geq 1$ .

Por simetria relativamente a $O y$ , a corda $[C E]$ está contida na reta $x = - 1$ e a região sombreada da esquerda é a parte do círculo com $x \leq - 1$ .

$x \geq 1 \lor x \leq - 1 \Leftrightarrow | x | \geq 1$ . Os pontos sombreados são os que pertencem ao círculo e verificam esta condição (conjunção).

A condição é $x^{2} + y^{2} \leq 4 \land | x | \geq 1$ : opção (C).

13Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2018, época especial, item 16

Sejam $m$ um número real com $0 < m < 1$ e $a$ um número real positivo. Num referencial ortonormado $x O y$ , considere:
• a reta $r$ , que passa na origem e tem declive $m$ (equação $y = m x$ );
• a reta $s$ , que passa na origem e tem declive $\frac{1}{m}$ (equação $y = \frac{1}{m} x$ );
• o ponto $P$ , pertencente à reta $r$ e ao 1.º quadrante, com abcissa $a$ ;
• o ponto $Q$ , pertencente à reta $s$ e ao 1.º quadrante, tal que $\overset{―}{O Q} = \overset{―}{O P}$ .
Mostre que a área do triângulo $[O P Q]$ é dada por $\frac{a^{2} (1 - m^{2})}{2}$ .

Resolução

Como $P$ pertence a $r$ e tem abcissa $a$ : $P (a, a m)$ , e ${\overset{―}{O P}}^{2} = a^{2} + a^{2} m^{2} = a^{2} (1 + m^{2})$ .

$Q$ pertence a $s$ : $Q (x, \frac{x}{m})$ com $x > 0$ . De ${\overset{―}{O Q}}^{2} = {\overset{―}{O P}}^{2}$ : $x^{2} + \frac{x^{2}}{m^{2}} = a^{2} (1 + m^{2}) \Leftrightarrow \frac{x^{2} (m^{2} + 1)}{m^{2}} = a^{2} (1 + m^{2}) \Leftrightarrow x^{2} = a^{2} m^{2}$ , logo $x = a m$ e $Q (a m, a)$ .

Ponto médio de $[P Q]$ : $M (\frac{a + a m}{2}, \frac{a m + a}{2}) = (\frac{a (1 + m)}{2}, \frac{a (1 + m)}{2})$ . Como o triângulo $[O P Q]$ é isósceles ( $\overset{―}{O P} = \overset{―}{O Q}$ ), $[O M]$ é a altura relativa à base $[P Q]$ .

$\overset{―}{O M} = \sqrt{2 {(\frac{a (1 + m)}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2} a (1 + m)}{2}$ e $\overset{―}{P Q} = \sqrt{(a - a m)^{2} + (a m - a)^{2}} = \sqrt{2} a (1 - m)$ (note que $1 - m > 0$ ).

Área $= \frac{\overset{―}{P Q} \times \overset{―}{O M}}{2} = \frac{\sqrt{2} a (1 - m) \times \frac{\sqrt{2} a (1 + m)}{2}}{2} = \frac{2 a^{2} (1 - m) (1 + m)}{4}$ .

Logo, $A_{[O P Q]} = \frac{a^{2} (1 - m^{2})}{2}$ , como se queria mostrar.

14Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2019, 1.ª fase, item 15

Num referencial ortonormado $x O y$ , considere os pontos $A$ e $B$ , ambos de abcissa positiva, e a reta $r$ . Sabe-se que:
• o ponto $A$ pertence ao eixo $O x$ ;
• a reta $O B$ é definida pela equação $y = \frac{4}{3} x$ ;
• a reta $r$ contém a bissetriz do ângulo $A O B$ .
Determine, sem recorrer à calculadora, a equação reduzida da reta $r$ .

Resolução

Seja $C$ o ponto da reta $O B$ de abcissa $1$ : $C (1, \frac{4}{3})$ . Então $\overset{―}{O C} = \sqrt{1^{2} + {(\frac{4}{3})}^{2}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$ .

Seja $E$ o ponto do semieixo positivo $O x$ tal que $\overset{―}{O E} = \overset{―}{O C}$ : $E (\frac{5}{3}, 0)$ .

Seja $D = C + \vec{O E} = (1 + \frac{5}{3}, \frac{4}{3}) = (\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$ . O quadrilátero $[O C D E]$ é um paralelogramo com dois lados consecutivos iguais, ou seja, um losango.

Num losango, a diagonal $[O D]$ é bissetriz do ângulo $C O E$ , que é o ângulo $A O B$ . Logo a reta $r$ é a reta $O D$ .

Declive de $r$ : $m = \frac{\frac{4}{3} - 0}{\frac{8}{3} - 0} = \frac{1}{2}$ ; como passa na origem, a ordenada na origem é $0$ .

Equação reduzida: $y = \frac{1}{2} x$ .

15Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2019, 2.ª fase, item 10

Num referencial ortonormado $x O y$ , está representada, na figura, a reta $A B$ , de equação $y = 2 x + 4$ . O ponto $A$ pertence ao semieixo negativo $O x$ e o ponto $B$ pertence ao semieixo positivo $O y$ . Seja $M$ o ponto médio do segmento de reta $[A B]$ .
Quais são as coordenadas do ponto $M$ ?

(A) $(- \frac{1}{2}, 2)$ (B) $(- 1, 2)$ (C) $(- \frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ (D) $(- 2, 4)$

Resolução

$B$ pertence a $O y$ ( $x = 0$ ): $y = 2 \times 0 + 4 = 4$ , logo $B (0, 4)$ .

$A$ pertence a $O x$ ( $y = 0$ ): $0 = 2 x + 4 \Leftrightarrow x = - 2$ , logo $A (- 2, 0)$ .

$M = (\frac{- 2 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2}) = (- 1, 2)$ .

Resposta: opção (B).

Ficha de exames nº2 – Geometria analítica (2010–2019)

Ficha de exames nº2

10.º ano – Matemática A – Tema 5 (Geometria analítica)

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