Teste nº3 – Mediatriz, circunferências e retas no espaço

Reflexão de eixo $Ox$: $(x,y)\mapsto (x,-y)$, logo $P(-4,7)\mapsto (-4,-7)$.

Reflexão de eixo $Oy$: $(x,y)\mapsto (-x,y)$, logo $(-4,-7)\mapsto (4,-7)$.

A composição das duas reflexões é a meia-volta de centro $O$: $(x,y)\mapsto (-x,-y)$, o que confirma $Q(4,-7)$.

(A) e (B) correspondem a aplicar só uma das reflexões.

Opção (C)

2.1.

Um ponto $P(x,y)$ pertence à mediatriz de $[AB]$ se e só se $\overline{PA}=\overline{PB}$, ou seja, ${\overline{PA}}^2={\overline{PB}}^2$.

$(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=(x-4{)}^2+(y-5{)}^2$.

$x^2+4x+4+y^2-2y+1=x^2-8x+16+y^2-10y+25$.

$4x-2y+5=-8x-10y+41\iff 8y=-12x+36\iff y=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}$.

Verificação: o ponto médio de $[AB]$, $(1,3)$, satisfaz a equação, pois $-\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=3$.

$y=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}$

2.2.

Interseção com $Ox$ ($y=0$): $0=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}\iff x=3$, logo $C(3,0)$.

Seja $M(1,3)$ o ponto médio de $[AB]$. Como a mediatriz é perpendicular a $[AB]$ e passa em $M$, $[CM]$ é a altura do triângulo relativa à base $[AB]$.

$\overline{AB}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ e $\overline{CM}=\sqrt{(3-1{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{13}$.

Área $=\frac{\overline{AB}\times \overline{CM}}{2}=\frac{2\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{2}=\frac{2\times 13}{2}=13$.

A área do triângulo $[ABC]$ é $13$, como se pretendia mostrar.

Resolve-se a equação em ordem a $y$: $2x-3y+6=0\iff 3y=2x+6$.

$y=\frac{2}{3}x+2$.

O declive é $\frac{2}{3}$ e a ordenada na origem é $2$ (a reta passa em $(0,2)$).

(A) lê os coeficientes sem isolar $y$; (C) tem um erro de sinal; (D) inverte a fração.

Opção (B)

4.1.

Completa-se o quadrado em $x$ e em $y$: $(x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)=12+9+4$.

$(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=25$.

Trata-se da circunferência de centro $(3,-2)$ e raio $\sqrt{25}=5$.

Centro $(3,-2)$; raio $5$

4.2.

Os pontos do eixo $Oy$ têm abcissa $0$: substitui-se $x=0$ na equação.

$y^2+4y-12=0\iff y=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{2}=\frac{-4\pm 8}{2}$.

$y=2\vee y=-6$.

$(0,2)$ e $(0,-6)$

4.3.

Os pontos interiores verificam $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2<25$.

Para $P(k,1)$: $(k-3{)}^2+(1+2{)}^2<25\iff (k-3{)}^2<16$.

$(k-3{)}^2<16\iff -4<k-3<4\iff -1<k<7$.

$k\in ]-1,7[$

O ponto tem de pertencer ao círculo $x^2+y^2\le 9$ e verificar pelo menos uma das condições $y\ge 2$ ou $x\le -2$.

(A): $1+4=5\le 9$ e $y=2\ge 2$: verifica.

(B): $0+9=9\le 9$, mas $-3\ge 2$ e $0\le -2$ são ambas falsas. (C): $9+1=10>9$, fora do círculo.

(D): $4+1=5\le 9$, mas $1\ge 2$ e $2\le -2$ são falsas.

Opção (A)

6.1.

A região coberta pela antena $A$ é o círculo de centro $(0,0)$ e raio $6$: $x^2+y^2\le 36$.

A região coberta pela antena $B$ é o círculo de centro $(8,4)$ e raio $5$: $(x-8{)}^2+(y-4{)}^2\le 25$.

«Pelo menos uma» corresponde à reunião dos dois círculos, isto é, a uma disjunção.

$x^2+y^2\le 36\vee (x-8{)}^2+(y-4{)}^2\le 25$

6.2.

Antena $A$: $4^2+4^2=32\le 36$. Antena $B$: $(4-8{)}^2+(4-4{)}^2=16\le 25$. Logo, $L$ é coberta pelas duas antenas.

Na estrada, $y=0$. Antena $A$: $x^2\le 36\iff -6\le x\le 6$.

Antena $B$: $(x-8{)}^2+16\le 25\iff (x-8{)}^2\le 9\iff 5\le x\le 11$.

Cobertura simultânea (conjunção): $-6\le x\le 6\wedge 5\le x\le 11\iff 5\le x\le 6$.

O troço coberto pelas duas antenas mede $6-5=1$ km.

Numa reta paralela ao eixo $Oz$, só a cota varia; a abcissa e a ordenada são constantes.

Como a reta passa em $P(2,-3,1)$, tem-se $x=2$ e $y=-3$.

(A) define um plano; (B) e (C) definem retas paralelas a $Oy$ e a $Ox$, respetivamente.

Opção (D)

8.1.

Coordenadas: $B(0,3,0)$, $D(4,0,5)$ e $E(0,3,5)$.

$\overline{BE}=\sqrt{0^2+0^2+5^2}=5$ e $\overline{DE}=\sqrt{4^2+3^2+0^2}=5$.

$\overline{BD}=\sqrt{(4-0{)}^2+(0-3{)}^2+(5-0{)}^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.

$\overline{BE}=\overline{DE}$, logo é isósceles; ${\overline{BE}}^2+{\overline{DE}}^2=25+25=50={\overline{BD}}^2$, logo, pelo recíproco do teorema de Pitágoras, é retângulo em $E$.

Perímetro: $5+5+5\sqrt{2}=10+5\sqrt{2}$.

O triângulo $[BDE]$ é retângulo (em $E$) e isósceles; perímetro $=10+5\sqrt{2}$

8.2.

O raio é $\overline{DB}=\sqrt{50}$, logo a equação é $(x-4{)}^2+y^2+(z-5{)}^2=50$.

O plano $xOy$ tem equação $z=0$; substituindo: $(x-4{)}^2+y^2+25=50\iff (x-4{)}^2+y^2=25$.

No plano $z=0$, esta condição define a circunferência de centro $(4,0,0)$ (o ponto $A$) e raio $5$.

$(x-4{)}^2+y^2+(z-5{)}^2=50$; a interseção é a circunferência de centro $A(4,0,0)$ e raio $5$, contida no plano $xOy$: $(x-4{)}^2+y^2=25\wedge z=0$

Completa-se o quadrado em $z$: $z^2-4z=(z-2{)}^2-4$.

$x^2+y^2+(z-2{)}^2-4=5\iff x^2+y^2+(z-2{)}^2=9$.

O centro é $(0,0,2)$ e o raio é $\sqrt{9}=3$.

(A) esquece o termo $-4$; (C) é $r^2$; (D) resulta de um erro de sinal ($5-4$).

Opção (B)

O centro da superfície esférica é $(-1,2,0)$.

Os planos paralelos a $yOz$ têm equação da forma $x=a$.

Como o centro tem abcissa $-1$, o plano pedido é $x=-1$. A opção (B) resulta de um erro de sinal.

Opção (C)