Ficha de exames nº1

Provas de 2007–2010

10.º ano – Matemática A – Tema 5 (Geometria analítica)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 6 fáceis7 médios2 difíceis

1Difícil

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática A – 11.º ano, 10 de maio de 2007, itens 2.2.1 e 2.2.2 do grupo II

Num referencial ortonormado $O x y z$ , considere o ponto $T (0; 4; 3)$ . Para cada número real positivo $z$ , seja $U$ o ponto do semieixo positivo $O z$ de cota $z$ (o ponto $U$ nunca coincide com a origem). Considere o triângulo $[O T U]$ e seja $f (z)$ o seu perímetro.

a) Mostre que $f (z) = z + 5 + \sqrt{z^{2} - 6 z + 25}$ .

b) Sem recorrer à calculadora, determine a cota do ponto $U$ para a qual o perímetro do triângulo $[O T U]$ é igual a $16$ .

Resolução

a) Como $U (0; 0; z)$ com $z > 0$ , tem-se $\overset{―}{O U} = z$ .

$\overset{―}{O T} = \sqrt{0^{2} + 4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5$ .

$\overset{―}{T U} = \sqrt{(0 - 0)^{2} + (0 - 4)^{2} + (z - 3)^{2}} = \sqrt{16 + z^{2} - 6 z + 9} = \sqrt{z^{2} - 6 z + 25}$ .

Logo, $f (z) = \overset{―}{O U} + \overset{―}{O T} + \overset{―}{T U} = < s t r o n g > z + 5 + \sqrt{z^{2} - 6 z + 25} < / s t r o n g >$ .

b) $f (z) = 16 \Leftrightarrow \sqrt{z^{2} - 6 z + 25} = 11 - z$ . Elevando ambos os membros ao quadrado: $z^{2} - 6 z + 25 = 121 - 22 z + z^{2} \Leftrightarrow 16 z = 96 \Leftrightarrow z = 6$ .

Verificação: para $z = 6$ , $\sqrt{36 - 36 + 25} = 5$ e $11 - 6 = 5$ ; a igualdade verifica-se (e $6 > 0$ ).

A cota de $U$ é $6$ .

2Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática A – 11.º ano, 24 de janeiro de 2008, itens 1.1.1, 1.1.2 e 1.1.3 do grupo II

Num referencial ortonormado $O x y$ , considere a circunferência de centro na origem e raio $5$ e a reta $E F$ , de declive $\frac{1}{2}$ . Os pontos $E$ e $F$ pertencem à circunferência e o ponto $E$ pertence também ao semieixo negativo das abcissas. O ponto $F$ situa-se no 1.º quadrante.

a) Mostre que uma equação da reta $E F$ é $x - 2 y + 5 = 0$ .

b) Mostre que o ponto $F$ tem coordenadas $(3; 4)$ .

c) Seja $G$ o ponto de coordenadas $(- 3; 16)$ . Verifique que o triângulo $[E F G]$ é retângulo em $F$ .

Resolução

a) A circunferência tem centro $O (0; 0)$ e raio $5$ ; o ponto do semieixo negativo $O x$ que lhe pertence é $E (- 5; 0)$ .

A reta tem declive $\frac{1}{2}$ e passa em $E$ : $y - 0 = \frac{1}{2} (x + 5) \Leftrightarrow y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} \Leftrightarrow 2 y = x + 5 \Leftrightarrow < s t r o n g > x - 2 y + 5 = 0 < / s t r o n g >$ .

b) A circunferência tem equação $x^{2} + y^{2} = 25$ . Para $(3; 4)$ : $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ , logo o ponto pertence à circunferência.

Na reta: $3 - 2 \times 4 + 5 = 0$ , logo o ponto também pertence à reta. Como é um ponto da interseção diferente de $E$ e está no 1.º quadrante, $F (3; 4)$ .

c) ${\overset{―}{E F}}^{2} = (3 + 5)^{2} + (4 - 0)^{2} = 64 + 16 = 80$ ; ${\overset{―}{F G}}^{2} = (- 3 - 3)^{2} + (16 - 4)^{2} = 36 + 144 = 180$ ; ${\overset{―}{E G}}^{2} = (- 3 + 5)^{2} + (16 - 0)^{2} = 4 + 256 = 260$ .

Como $80 + 180 = 260$ , isto é, ${\overset{―}{E F}}^{2} + {\overset{―}{F G}}^{2} = {\overset{―}{E G}}^{2}$ , pelo recíproco do teorema de Pitágoras o triângulo $[E F G]$ é retângulo em $F$ .

3Fácil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 28 de maio de 2008 (versão 1) – Grupo I, item 2

Resolução

4Fácil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 28 de maio de 2008 (versão 1) – Grupo I, item 3

Resolução

5Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 28 de maio de 2008 (versão 1) – Grupo II, itens 3.1 e 3.2

Resolução

3.1.

3.2.

6Fácil

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática A – 11.º ano, 29 de janeiro de 2009, item 1 do grupo I

Num referencial ortonormado $O x y z$ , considere a superfície esférica de equação $x^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = 4$ .
Qual é a interseção desta superfície esférica com o plano $x O y$ ?

(A) O conjunto vazio

(B) Um ponto

(C) Uma circunferência

(D) Um círculo

Resolução

A superfície esférica tem centro $C (0; 0; 2)$ e raio $r = \sqrt{4} = 2$ .

O plano $x O y$ tem equação $z = 0$ . Substituindo na equação: $x^{2} + y^{2} + (0 - 2)^{2} = 4 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \land y = 0$ .

Logo, a interseção é apenas o ponto $(0; 0; 0)$ (a distância do centro ao plano, $2$ , é igual ao raio: o plano é tangente à superfície esférica).

Resposta: (B).

7Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática A – 11.º ano, 29 de janeiro de 2009, item 2.3 do grupo II

Num referencial ortonormado $O x y z$ , o ponto $V (1; 2; 6)$ é o vértice de um cone de revolução. Seja $V^{'}$ o ponto simétrico do ponto $V$ em relação ao plano $x O y$ .
Indique as coordenadas do ponto $V^{'}$ e escreva uma condição que defina o segmento de reta $[V V^{'}]$ .

Resolução

O simétrico de um ponto em relação ao plano $x O y$ mantém a abcissa e a ordenada e tem cota simétrica: $V^{'} (1; 2; - 6)$ .

Os pontos $V$ e $V^{'}$ têm ambos abcissa $1$ e ordenada $2$ , pelo que o segmento $[V V^{'}]$ está contido na reta $x = 1 \land y = 2$ (paralela ao eixo $O z$ ).

Os pontos do segmento têm cota entre $- 6$ e $6$ .

Uma condição que define o segmento é $x = 1 \land y = 2 \land - 6 \leq z \leq 6$ .

Em alternativa, usando o vetor $\vec{V^{'} V} = (0; 0; 12)$ : $(x, y, z) = (1; 2; - 6) + λ (0; 0; 12), λ \in [0; 1]$ .

8Fácil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 28 de janeiro de 2009 – Grupo I, item 2

Resolução

9Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 28 de janeiro de 2009 – Grupo I, item 3

Resolução

10Difícil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 28 de janeiro de 2009 – Grupo II, itens 2.1, 2.2 e 2.3

Resolução

2.1.

2.2.

2.3.

11Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 28 de janeiro de 2009 – Grupo II, itens 3.1 e 3.2

Resolução

3.1.

3.2.

12Fácil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 6 de maio de 2009 – Grupo I, item 1

Resolução

13Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2009, época especial, Grupo II, item 5 (adaptado)

Num referencial ortonormado $x O y$ , considere o ponto $A (1; 1)$ .
Admita que um ponto $P$ parte da origem $O$ do referencial e se desloca ao longo do semieixo positivo $O x$ . Para cada posição do ponto $P$ , seja $x$ a abcissa de $P$ ( $x \geq 0$ ).
Seja $f$ a função que, a cada valor de $x$ , faz corresponder a distância do ponto $P$ ao ponto $A$ .

a) Mostre que $f (x) = \sqrt{(x - 1)^{2} + 1}$ .

b) Determine $f (0)$ e $f (1)$ e interprete esses valores no contexto do problema.

c) Indique o mínimo de $f$ , os intervalos de monotonia e explique por que razão o gráfico de $f$ não pode intersetar o eixo $O x$ .

Resolução

a) O ponto $P$ está no eixo $O x$ , logo $P (x; 0)$ . Pela fórmula da distância entre dois pontos: $\overset{―}{P A} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (0 - 1)^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + 1}$ . Logo $f (x) = \sqrt{(x - 1)^{2} + 1}$ .

b) $f (0) = \sqrt{(0 - 1)^{2} + 1} = \sqrt{2} \approx 1,41$ : no instante inicial ( $P = O$ ), a distância de $P$ a $A$ é $\sqrt{2}$ , que é a diagonal de um quadrado de lado $1$ .

$f (1) = \sqrt{0 + 1} = 1$ : quando $P$ está no ponto $(1; 0)$ , isto é, na projeção ortogonal de $A$ sobre o eixo $O x$ , a distância é $1$ . Logo $f (0) = \sqrt{2}$ e $f (1) = 1$ .

c) Como $(x - 1)^{2} \geq 0$ , temos $(x - 1)^{2} + 1 \geq 1$ e, portanto, $f (x) \geq 1$ , com igualdade só para $x = 1$ . O mínimo de $f$ é $1$ (atingido em $x = 1$ ).

Para $0 \leq x \leq 1$ , à medida que $x$ aumenta, $(x - 1)^{2}$ diminui, logo $f$ é decrescente em $[0; 1]$ ; para $x \geq 1$ , $(x - 1)^{2}$ aumenta, logo $f$ é crescente em $[1; + \infty [$ .

Como $f (x) \geq 1 > 0$ para todo o $x$ , a função não tem zeros: o mínimo é $1$ , $f$ é decrescente em $[0; 1]$ e crescente em $[1; + \infty [$ e o gráfico nunca interseta $O x$ (a distância de $P$ a $A$ nunca é nula, porque $A$ não está no eixo $O x$ ).