Resumo nº1 – Referencial no plano, ponto médio e distância

💡 Ideia principal

Num referencial cartesiano ortogonal e monométrico (o.m.) os eixos são perpendiculares e têm a mesma unidade. Cada ponto $P$ fica identificado pelas suas coordenadas $(x,y)$: abcissa e ordenada.

📌 Reflexões e meia-volta do ponto $P(x,y)$

Reflexão de eixo $Ox$ (horizontal): $(x,y)\mapsto (x,-y)$.

Reflexão de eixo $Oy$ (vertical): $(x,y)\mapsto (-x,y)$.

Meia-volta de centro $O$ (rotação de $180°$): $(x,y)\mapsto (-x,-y)$.

📌 Ponto médio e distância

Ponto médio de $[AB]$, com $A(x_1,y_1)$ e $B(x_2,y_2)$: $M({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}},{\displaystyle \frac{y_1+y_2}{2}})$.

Distância entre $A$ e $B$ (resulta do Teorema de Pitágoras): $\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$.

✏️ Exemplo

Para $A(-1,2)$ e $B(5,-6)$: $M({\displaystyle \frac{-1+5}{2}},{\displaystyle \frac{2-6}{2}})=(2,-2)$ e $\overline{AB}=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{100}=10$.

✅ Se conhecer $A$ e o ponto médio $M$, obtém $B$ fazendo $B=(2x_M-x_A,2y_M-y_A)$.