Ficha de exames nº4 – Modelos matemáticos para a cidadania (2018–2020)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

1Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2018, 2.ª fase, item 1.2

Uma peça de teatro terá 7 sessões, distribuídas pelas cidades A, B e C em função do número de habitantes, usando o método seguinte (método de Sainte-Laguë): divide-se o número de habitantes de cada cidade, sucessivamente, por 1, 3, 5, 7, 9, …; os quocientes, arredondados às unidades, ordenam-se por ordem decrescente e atribuem-se as sessões aos 7 maiores. Em caso de empate na última sessão, esta é atribuída à cidade com menor número de habitantes.

Quantas sessões serão apresentadas em cada cidade?

2Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2018, 2.ª fase, item 4

Para alugar um espaço durante 10 dias, um diretor tinha duas propostas:
• Proposta A: 420€ por dia de aluguer, mais um valor fixo de 4800€; despesas de água e eletricidade incluídas.
• Proposta B: valor do aluguer $V=3000\times 1,{14}^n-3000$ euros, sendo $n$ o número de dias; despesas de água e eletricidade não incluídas, estimadas em 71€ por dia.
O diretor escolheu a proposta B. Terá sido a decisão mais económica? (Nos cálculos intermédios conserve quatro casas decimais.)

3Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2018, época especial, item 5

A família Silva tem cinco pessoas, duas das quais com carta de condução. Vai alugar automóvel(eis) para 6 dias e percorrer, no total, 1300 km (se alugar dois automóveis, cada um percorre os 1300 km). O preço do litro de combustível é 1,3€.

Que tipo(s) de automóvel alugou a família, sabendo que optou pela proposta mais económica? Apresente os custos associados ao aluguer do Tipo 1 e do Tipo 2.

4Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2019, 1.ª fase, item 1

Uma empresa de publicidade pretende inserir 15 anúncios em três vídeos (A, B e C), de acordo com a média do número de visualizações por hora de cada vídeo.

Método:
1.º passo: determina-se a quota $Q={\displaystyle \frac{\text{soma das médias de visualizações por hora}}{\text{número total de anúncios}}}$;
2.º passo: divide-se por $Q$ a média de visualizações por hora de cada vídeo;
3.º passo: atribui-se a cada vídeo a parte inteira do quociente obtido;
4.º passo: se faltar distribuir algum anúncio, divide-se a média de cada vídeo pelo número de anúncios que já lhe foram atribuídos mais um e atribui-se mais um anúncio ao vídeo com maior quociente; repete-se até distribuir todos.
Determine a distribuição dos 15 anúncios (nos cálculos intermédios conserve uma casa decimal).

5Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2019, 1.ª fase, item 3.2

O Nuno quer comprar um equipamento informático com 3,4 kg e entrega em, no máximo, 48 horas. Compara duas lojas online:
Loja «Paga Menos»: preço-base 258,22€ (acresce IVA a 23%); portes de envio para uma encomenda de 3,4 kg: 10,80€; prazo normal até 72 horas; para entregas até 48 horas acresce uma Tarifa Expresso (tabela).

Loja «Sempre a Poupar»: preço 347,88€ (IVA incluído); portes 12€; entrega até 48 horas; cada conjunto de 10 pontos de fidelização dá um desconto de 2€. O Nuno tem 46 pontos.
Qual das propostas é a mais vantajosa? Apresente todos os cálculos (duas casas decimais nos cálculos intermédios).

6Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2019, 2.ª fase, item 1

Num clube, o número de votos de cada sócio depende da categoria e da antiguidade (anos ininterruptos como sócio):
• Titular: ao fim do 1.º ano tem 2 votos; por cada 5 anos tem direito a mais 1 voto.
• Efetivo: ao fim do 1.º ano tem 1 voto; por cada 10 anos tem direito a mais 1 voto.
Na eleição para presidente, a Teresa obteve 210 votos, de 71 sócios. A tabela indica os sócios que votaram no Ricardo.

Verifique se é verdadeira a afirmação: «Apesar de o número de sócios que votaram no Ricardo ser menor do que o número de sócios que votaram na Teresa, o Ricardo venceu as eleições.»

7Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2019, 2.ª fase, item 5.2

O Daniel quer completar uma coleção de 485 cromos. Comprou 131 carteiras de cromos, a 90 cêntimos cada, e reuniu 750 cromos; destes, 46% eram cromos repetidos (não dourados). Conseguiu trocar cada 5 cromos repetidos por um cromo dourado (todos diferentes e em falta). Os cromos que ainda faltavam encomendou-os online, pagando 25 cêntimos por cromo e 2 euros de portes de envio.
Quanto gastou o Daniel, no total, para completar a coleção?

8Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2019, época especial, item 1.1

Vão ser distribuídos 150 convites por três grupos de investimento, de forma diretamente proporcional ao número de acionistas de cada grupo.

Quantos convites serão atribuídos ao grupo C?

(A) 23 (B) 25 (C) 27 (D) 29

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2020, 1.ª fase, item 1.2

Um grupo de amigos vai escolher um de três festivais de música, A, B e C, através de um método de pontuação: cada voto dá $5$ pontos ao festival colocado em 1.ª preferência, $3$ pontos ao colocado em 2.ª preferência e $1$ ponto ao colocado em 3.ª preferência. Ganha o festival com mais pontos (um empate seria resolvido por sorteio). A tabela mostra os votos de todos os amigos, exceto o do Filipe.

Depois de contado o voto do Filipe, o festival B ficou em primeiro lugar e o festival C ficou em último, sem empates. Determine a lista de preferências do Filipe e a pontuação de cada festival antes e depois do seu voto.

10Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2020, 1.ª fase, item 5

O Filipe juntou uma poupança de $240$ euros ao longo de $16$ meses. Começou com um depósito inicial e, depois, depositou todos os meses uma quantia fixa, igual a uma certa percentagem do depósito inicial. O valor final da poupança é o dobro do depósito inicial (não há juros). Determine essa percentagem.

11Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2020, 2.ª fase, item 1

Um grupo de $23$ amigos, de visita a Roma, vai escolher a cidade italiana seguinte. Cada um ordenou quatro cidades por preferência (tabela). Usa-se o método de eliminação: conta-se o número de primeiras preferências; se uma cidade tiver maioria absoluta, ganha; caso contrário, elimina-se a cidade menos votada (em primeira preferência), as listas sobem e repete-se o processo.

Determine a cidade escolhida, apresentando todos os cálculos.

12Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2020, 2.ª fase, item 4

Um grupo de $5$ amigos vai passar $2$ noites numa cidade e quer gastar o mínimo. O hotel H1 fica no centro (zona 1), onde podem andar a pé; o hotel H2 fica na zona 3, pelo que teriam de comprar, cada um, um passe de $3$ dias para as zonas 1 a 3. Os preços por noite (para o grupo) em quatro plataformas de reserva, A, B, C e D, são os da tabela 1; a plataforma B oferece $10\%$ de desconto no hotel H1. Os passes por pessoa estão na tabela 2.

Que hotel devem escolher? Apresente o custo total mínimo em cada hotel.

13Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2020, 2.ª fase, item 5

Num hotel, o número de quartos ocupados variou, em relação ao mês anterior, como indica a tabela.

Em abril foram ocupados $198$ quartos. Quantos quartos foram ocupados em março?

(A) $228$ (B) $264$ (C) $267$ (D) $792$

14Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2020, época especial, item 1

A direção de uma associação ambientalista tem $7$ elementos, eleitos pelo método de Sainte-Laguë: dividem-se os votos de cada lista por $1,3,5,7,9,\dots$, arredondam-se os quocientes às unidades e atribuem-se os mandatos aos $7$ maiores quocientes (se o último mandato couber a quocientes iguais de listas diferentes, vai para a lista com menos votos). Os votos foram:

Determine quantos elementos tem cada lista na direção.

15Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2020, época especial, item 6

Um serviço de aluguer de bicicletas elétricas tem o tarifário seguinte: $5$ cêntimos por quilómetro nos primeiros $100$ km de cada mês; em cada bloco de $100$ km seguinte, o preço por quilómetro tem uma redução de $20\%$ em relação ao bloco anterior. (Por exemplo, em $250$ km: $100$ km a $5$ cêntimos, $100$ km com uma redução de $20\%$ e $50$ km com nova redução de $20\%$.)
O Xavier vai e volta da escola durante $22$ dias do mês; a distância entre a casa e a escola é $\mathrm{6,5}$ km. Determine quanto paga, em euros, arredondado às centésimas.