Teste nº1 – Organizar e resumir dados

Uma variável quantitativa contínua pode tomar, pelo menos em teoria, qualquer valor de um intervalo de números reais (resulta de uma medição).

O número de irmãos resulta de uma contagem: é quantitativa discreta; o número do calçado só toma valores isolados ($38$, $\mathrm{38,5}$, $39$, …): também é discreta.

A cor dos olhos não é um número: é uma variável qualitativa.

O tempo de deslocação é medido e pode tomar qualquer valor de um intervalo (por exemplo, $\mathrm{12,35}$ min).

Opção (C) – o tempo é uma variável quantitativa contínua.

Problema estatístico: «Qual é o grau de satisfação dos alunos desta escola com o funcionamento da cantina?»

A população é o conjunto de todos os alunos da escola; a sua dimensão é $840$.

A amostra é o conjunto dos alunos escolhidos aleatoriamente e inquiridos; a sua dimensão é $120$.

«Meio de transporte»: variável qualitativa (as respostas são categorias: a pé, autocarro, carro, …).

«Número de refeições na cantina na última semana»: variável quantitativa discreta (resulta de uma contagem: $0,1,2,\dots ,5$).

«Grau de satisfação»: variável qualitativa (ordinal, pois as categorias podem ser ordenadas).

Problema: grau de satisfação dos alunos com a cantina; população: os 840 alunos da escola; amostra: os 120 alunos inquiridos; meio de transporte e grau de satisfação – qualitativas; número de refeições – quantitativa discreta.

A dimensão da amostra é $n=6+10+5+3+1=25$.

«No máximo um irmão» significa $0$ ou $1$ irmão: frequência absoluta acumulada $6+10=16$.

Frequência relativa acumulada: ${\displaystyle \frac{16}{25}}=\mathrm{0,64}$, ou seja, $64\%$.

Os valores $40\%$ e $24\%$ correspondem apenas a «exatamente 1» e «nenhum» irmão; $84\%$ corresponde a «no máximo dois».

Opção (C) – $64\%$ dos alunos têm no máximo um irmão.

4.1.

Lendo o gráfico: $0$ livros – $2$ alunos; $1$ – $5$; $2$ – $6$; $3$ – $4$; $4$ – $2$; $5$ – $1$ (total $20$).

A frequência relativa obtém-se dividindo cada frequência absoluta por $20$; as frequências acumuladas obtêm-se somando sucessivamente.

Tabela de frequências:

$$\begin{array}{ccccc}\hfill \text{Livros}\hfill & \hfill n_i\hfill & \hfill f_i\hfill & \hfill N_i\hfill & \hfill F_i\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill \mathrm{0,1}\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill \mathrm{0,1}\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill \mathrm{0,25}\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill \mathrm{0,35}\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill \mathrm{0,3}\hfill & \hfill 13\hfill & \hfill \mathrm{0,65}\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill \mathrm{0,2}\hfill & \hfill 17\hfill & \hfill \mathrm{0,85}\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill \mathrm{0,1}\hfill & \hfill 19\hfill & \hfill \mathrm{0,95}\hfill \\ \hfill 5\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \mathrm{0,05}\hfill & \hfill 20\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}$$

Pelo menos três livros: $4+2+1=7$ alunos, ou seja, ${\displaystyle \frac{7}{20}}=\mathrm{0,35}$ (também $1-\mathrm{0,65}=\mathrm{0,35}$, usando a frequência relativa acumulada de $2$).

Leram pelo menos três livros $35\%$ dos alunos.

4.2.

Média: $\overline{x}={\displaystyle \frac{0\times 2+1\times 5+2\times 6+3\times 4+4\times 2+5\times 1}{20}}={\displaystyle \frac{42}{20}}=\mathrm{2,1}$.

Como $n=20$ é par, a mediana é a média dos dados de ordem $10$ e $11$ (dados ordenados).

Pelas frequências acumuladas ($2$, $7$, $13$, …), os dados de ordem $8$ a $13$ são iguais a $2$; logo $x_{(10)}=x_{(11)}=2$ e $\tilde{x}=2$.

A moda é o valor com maior frequência absoluta: $2$ livros (6 alunos).

$\overline{x}=\mathrm{2,1}$ livros; mediana $=2$; moda $=2$.

Dados ordenados: 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 25. Amplitude: $25-9=16$.

Como $n=11$ é ímpar, a mediana é o $6{.}^{\circ }$ dado: $Q_2=15$.

A metade inferior (sem a mediana) é $9,11,12,13,14$, cuja mediana é $Q_1=12$; a metade superior é $16,17,18,20,25$, logo $Q_3=18$.

$\text{AIQ}=Q_3-Q_1=18-12=6$.

Limites: $Q_1-\mathrm{1,5}\times 6=3$ e $Q_3+\mathrm{1,5}\times 6=27$. Todos os dados estão em $[3,27]$.

Amplitude $=16$; $Q_1=12$, $Q_2=15$, $Q_3=18$; $\text{AIQ}=6$; não há outliers.

Leitura: turma A – mín. $4$, $Q_1=8$, $\tilde{x}=11$, $Q_3=14$, máx. $18$; turma B – mín. $6$, $Q_1=10$, $\tilde{x}=12$, $Q_3=13$, máx. $16$.

(A) Falsa: ${\text{AIQ}}_A=14-8=6$ e ${\text{AIQ}}_B=13-10=3$.

(C) Falsa: $11<12$. (D) Falsa: $4$ é o mínimo, nenhum aluno teve menos de $4$ (cerca de $25\%$ teve menos de $8$).

(B) Verdadeira: a mediana da turma B é $12$, logo pelo menos $50\%$ dos dados são maiores ou iguais a $12$.

Opção (B) – a mediana da turma B é 12.

7.1.

$\overline{x}={\displaystyle \frac{14+16+15+18+20+17+19}{7}}={\displaystyle \frac{119}{7}}=17$ °C.

Desvios em relação à média: $-3,-1,-2,1,3,0,2$ (a soma é $0$).

Soma dos quadrados dos desvios: $9+1+4+1+9+0+4=28$.

Variância (amostral): $s^2={\displaystyle \frac{28}{7-1}}\approx \mathrm{4,667}$.

$s=\sqrt{28/6}\approx \mathrm{2,16}$.

$\overline{x}=17$ °C e $s\approx \mathrm{2,16}$ °C.

7.2.

Se $y_i=a{x}_i+b$, então $\overline{y}=a\overline{x}+b$, porque somar uma constante a todos os dados soma essa constante à média e multiplicar multiplica a média.

Para o desvio-padrão, somar $b$ não altera os desvios em relação à média, e multiplicar por $a$ multiplica os desvios por $a$; logo $s_y=|a|s_x$.

Média: $\overline{F}=\mathrm{1,8}\times 17+32=\mathrm{62,6}$ °F.

Desvio-padrão: $s_F=\mathrm{1,8}\times s_C\approx \mathrm{1,8}\times \mathrm{2,16}\approx \mathrm{3,89}$ °F.

$\overline{F}=\mathrm{62,6}$ °F e $s_F\approx \mathrm{3,89}$ °F.

Se a média de $8$ dados é $15$, a soma dos dados é $8\times 15=120$.

Retirando o dado $22$, a soma das idades dos restantes passa a ser $120-22=98$.

O número de elementos passa a ser $8-1=7$.

Nova média: ${\displaystyle \frac{98}{7}}=14$.

A média das idades dos restantes elementos é $14$ anos, como se queria mostrar.

A nuvem de pontos é «descendente» (quando $x$ aumenta, $y$ tende a diminuir): a associação é negativa, logo $r<0$. Exclui-se (A).

O coeficiente de correlação verifica sempre $-1\le r\le 1$; exclui-se (D).

Os pontos estão muito próximos de uma reta, logo a associação é forte e $r$ está próximo de $-1$; exclui-se (C) (associação fraca).

De facto, com a calculadora obtém-se $r\approx -\mathrm{0,98}$.

Opção (B) – associação linear negativa e forte.

Na calculadora, introduzem-se os valores de $x$ numa lista e os de $y$ noutra e pede-se a regressão linear ($y=ax+b$).

Obtém-se $a\approx \mathrm{1,31}$ e $b\approx \mathrm{7,14}$, ou seja, $y=\mathrm{1,31}x+\mathrm{7,14}$; e $r\approx \mathrm{0,99}$.

Como $r$ é muito próximo de $1$, existe uma associação linear positiva e forte, pelo que o modelo linear é adequado.

Para $x=5$: $y=\mathrm{1,31}\times 5+\mathrm{7,14}=\mathrm{13,69}$.

Como $5\in [1,7]$ (intervalo dos valores observados de $x$), trata-se de uma interpolação, o que, aliado a $r$ próximo de $1$, torna a estimativa fiável.

$y=\mathrm{1,31}x+\mathrm{7,14}$; $r\approx \mathrm{0,99}$; classificação estimada $\approx \mathrm{13,7}$ valores.

A variável «cor preferida» é qualitativa (nominal): os dados são categorias, não números.

Não se podem somar categorias, logo não existe média nem desvio-padrão.

As cores não têm uma ordem natural, pelo que também não faz sentido a mediana.

A moda (categoria mais frequente) é a única destas medidas que faz sentido.

Opção (C) – a moda é a medida adequada a uma variável qualitativa nominal.

Frequências lidas no histograma: $[150,155[$ – $4$; $[155,160[$ – $10$; $[160,165[$ – $14$; $[165,170[$ – $8$; $[170,175[$ – $4$ (total $40$).

Classe modal (maior frequência): $[160,165[$.

Altura igual ou superior a $165$ cm: $8+4=12$ alunos, ou seja, ${\displaystyle \frac{12}{40}}=\mathrm{0,3}=30\%$.

Marcas das classes: 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5.

$\overline{x}\approx {\displaystyle \frac{\mathrm{152,5}\times 4+\mathrm{157,5}\times 10+\mathrm{162,5}\times 14+\mathrm{167,5}\times 8+\mathrm{172,5}\times 4}{40}}={\displaystyle \frac{6490}{40}}=\mathrm{162,25}$.

Classe modal $[160,165[$; $30\%$ dos alunos; altura média $\approx \mathrm{162,2}$ cm.