Teste nº5

Funções: composição, parâmetros e otimização

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

Grau de dificuldade do teste: Difícil

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 14 itens cotados (6 de escolha múltipla, 8 de resposta aberta)

Médio 44

Difícil 156

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Difícil (12 pontos) Seja $f$ uma função de domínio $ℝ$ , estritamente decrescente.
Qual das funções seguintes, de domínio $ℝ$ , é necessariamente estritamente crescente?

(A) $y = f (x) + 3$

(B) $y = 2 f (x)$

(C) $y = f (- 2 x)$

(D) $y = - f (- x)$

Resolução

Somar uma constante ou multiplicar por um número positivo não altera a monotonia: (A) e (B) são decrescentes.

Se $x_{1} < x_{2}$ , então $- 2 x_{1} > - 2 x_{2}$ ; como $f$ é decrescente, $f (- 2 x_{1}) < f (- 2 x_{2})$ : $y = f (- 2 x)$ é crescente.

Para (D): $f (- x)$ é crescente (simetria em relação a $O y$ ), e $- f (- x)$ volta a ser decrescente (simetria em relação a $O x$ ).

Exemplo: com $f (x) = - x$ , (C) dá $y = 2 x$ (crescente) e (D) dá $y = - x$ (decrescente).

$y = f (- 2 x)$

Opção (C)

2Difícil (12 pontos) Seja $f$ uma função de domínio $[- 2, 4]$ e contradomínio $[- 1, 3]$ .
Seja $g$ a função definida por $g (x) = 1 - 2 f (x + 1)$ . Qual é o contradomínio de $g$ ?

(A) $[- 5, 3]$

(B) $[- 1, 7]$

(C) $[- 6, 2]$

(D) $[- 3, 3]$

Resolução

A translação horizontal $x \mapsto x + 1$ altera o domínio (passa a $[- 3, 3]$ ) mas não o contradomínio.

Se $- 1 \leq f (x + 1) \leq 3$ , multiplicando por $- 2$ (inverte as desigualdades): $- 6 \leq - 2 f (x + 1) \leq 2$ .

Somando $1$ : $- 5 \leq 1 - 2 f (x + 1) \leq 3$ .

(B) corresponde a $1 + 2 f$ ; (C) esquece a translação vertical; (D) é o domínio de $g$ .

$D_{g}^{'} = [- 5, 3]$

Opção (A)

3Médio (12 pontos) Seja $f$ uma função afim tal que $f (2) = 5$ e $f^{- 1} (1) = 4$ .
Qual é o valor de $f^{- 1} (- 3)$ ?

(A) $6$

(B) $15$

(C) $- 6$

(D) $3$

Resolução

$f^{- 1} (1) = 4$ significa que $f (4) = 1$ .

Declive: $m = \frac{1 - 5}{4 - 2} = - 2$ ; $f (x) = - 2 (x - 2) + 5 = - 2 x + 9$ .

$f^{- 1} (- 3)$ é o objeto cuja imagem por $f$ é $- 3$ : $- 2 x + 9 = - 3 \Leftrightarrow x = 6$ .

A opção (B) é $f (- 3) = 15$ (confusão entre $f$ e $f^{- 1}$ ).

$6$

Opção (A)

4Difícil (12 pontos) Considere as funções $f$ e $g$ , de domínio $ℝ$ , definidas por $f (x) = x^{2} - 4 x$ e $g (x) = 2 x + k$ , com $k \in ℝ$ .
Para que valor de $k$ a função $f \circ g$ atinge o mínimo em $x = 0$ ?

(A) $- 2$

(B) $2$

(C) $4$

(D) $0$

Resolução

$f (x) = (x - 2)^{2} - 4$ tem mínimo quando o seu argumento é igual a $2$ .

$(f \circ g) (x) = f (2 x + k)$ atinge o mínimo quando $2 x + k = 2$ , ou seja, $x = \frac{2 - k}{2}$ .

$\frac{2 - k}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 2$ .

Confirmação: $(f \circ g) (x) = (2 x + 2)^{2} - 4 (2 x + 2) = 4 x^{2} - 4$ , com mínimo em $x = 0$ .

$k = 2$

Opção (B)

5Difícil (16 pontos) Seja $f$ uma função ímpar de domínio $ℝ$ .
a) Mostre que $f (0) = 0$ .
b) Mostre que, se $g$ é também uma função ímpar de domínio $ℝ$ , então $f \circ g$ é ímpar.

Resolução

a) Como $f$ é ímpar, $f (- x) = - f (x)$ para todo o $x \in ℝ$ ; em particular, para $x = 0$ : $f (- 0) = - f (0)$ .

Como $- 0 = 0$ , vem $f (0) = - f (0) \Leftrightarrow 2 f (0) = 0 \Leftrightarrow f (0) = 0$ .

b) O domínio de $f \circ g$ é $ℝ$ (simétrico). Para todo o $x \in ℝ$ : $(f \circ g) (- x) = f (g (- x))$ .

Como $g$ é ímpar, $g (- x) = - g (x)$ , logo $f (g (- x)) = f (- g (x))$ .

Como $f$ é ímpar, $f (- g (x)) = - f (g (x)) = - (f \circ g) (x)$ .

Logo $(f \circ g) (- x) = - (f \circ g) (x)$ para todo o $x$ : $f \circ g$ é ímpar.

6Difícil (12 pontos) Considere a função $f$ , de domínio $ℝ$ , definida por $f (x) = x | x | - 4 x$ .
Quantos zeros tem a função $f$ ?

(A) $1$

(B) $2$

(C) $3$

(D) $4$

Resolução

Se $x \geq 0$ : $x^{2} - 4 x = 0 \Leftrightarrow x (x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x = 4$ (ambos $\geq 0$ ).

Se $x < 0$ : $- x^{2} - 4 x = 0 \Leftrightarrow - x (x + 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x = - 4$ ; só $x = - 4$ verifica $x < 0$ .

Zeros: $- 4$ , $0$ e $4$ (como $f$ é ímpar, era de esperar a simetria dos zeros).

$3$ zeros

Opção (C)

7Difícil (16 pontos) Resolva, em $ℝ$ , a inequação $| x - 1 | + | x + 2 | \leq 5$ .
Apresente o conjunto-solução na forma de intervalo de números reais.

Resolução

Os pontos críticos são $x = - 2$ e $x = 1$ (onde as expressões dentro dos módulos se anulam).

Se $x < - 2$ : $- (x - 1) - (x + 2) = - 2 x - 1 \leq 5 \Leftrightarrow x \geq - 3$ ; logo $x \in [- 3, - 2 [$ .

Se $- 2 \leq x < 1$ : $- (x - 1) + (x + 2) = 3 \leq 5$ , condição universal; logo $x \in [- 2, 1 [$ .

Se $x \geq 1$ : $(x - 1) + (x + 2) = 2 x + 1 \leq 5 \Leftrightarrow x \leq 2$ ; logo $x \in [1, 2]$ .

Reunindo os três casos: $[- 3, - 2 [\cup [- 2, 1 [\cup [1, 2]$ .

$S = [- 3, 2]$

8Difícil (12 pontos) Para cada número real $k$ , seja $f_{k}$ a função, de domínio $ℝ$ , definida por $f_{k} (x) = k x^{2} + 4 x + 1$ .
Para quantos valores de $k$ a função $f_{k}$ tem exatamente um zero?

(A) Nenhum

(B) Um

(C) Dois

(D) Uma infinidade

Resolução

Se $k = 0$ : $f_{0} (x) = 4 x + 1$ é afim não constante e tem exatamente um zero ( $x = - \frac{1}{4}$ ).

Se $k \neq 0$ : $f_{k}$ é quadrática e tem exatamente um zero se e só se $Δ = 16 - 4 k = 0 \Leftrightarrow k = 4$ .

Para $k = 4$ : $4 x^{2} + 4 x + 1 = (2 x + 1)^{2}$ , com zero duplo $x = - \frac{1}{2}$ .

A opção (B) esquece o caso $k = 0$ .

Dois valores: $k = 0$ e $k = 4$

Opção (C)

9Difícil Na figura estão representados, num referencial o.n. $x O y$ , os gráficos das funções $f$ e $g$ , de domínio $ℝ$ , definidas por $f (x) = - x^{2} + 2 x + 8$ e $g (x) = x + 2$ .
Os pontos $A$ e $B$ são os pontos de interseção dos dois gráficos, sendo $A$ o de menor abcissa.

9.1. Médio (16 pontos) Determine, analiticamente, as coordenadas dos pontos $A$ e $B$ .

9.2. Difícil (16 pontos) Resolva, em $ℝ$ , a inequação $f (x) \times g (x) \leq 0$ .

9.3. Difícil (16 pontos) Para cada $x \in] - 2, 3 [$ , seja $P$ o ponto do gráfico de $f$ de abcissa $x$ e seja $Q$ o ponto do segmento $[A B]$ com a mesma abcissa.
Determine a abcissa de $P$ para a qual o comprimento do segmento $[P Q]$ é máximo e indique esse comprimento.

Resolução

9.1.

$f (x) = g (x) \Leftrightarrow - x^{2} + 2 x + 8 = x + 2 \Leftrightarrow - x^{2} + x + 6 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - x - 6 = 0$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$ , ou seja, $x = - 2$ ou $x = 3$ .

$g (- 2) = 0$ e $g (3) = 5$ .

$A (- 2, 0)$ e $B (3, 5)$

9.2.

Zeros de $f$ : $- x^{2} + 2 x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \lor x = 4$ ; como $a = - 1 < 0$ , $f (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in [- 2, 4]$ .

Zero de $g$ : $x = - 2$ ; $g (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 2$ .

Quadro de sinal: para $x < - 2$ , $f < 0$ e $g < 0$ (produto positivo); em $] - 2, 4 [$ , $f > 0$ e $g > 0$ (produto positivo); para $x > 4$ , $f < 0$ e $g > 0$ (produto negativo).

O produto anula-se em $x = - 2$ e em $x = 4$ .

$S = {- 2} \cup [4, + \infty [$

9.3.

Em $] - 2, 3 [$ o gráfico de $f$ está acima de $[A B]$ , logo $\overset{―}{P Q} = f (x) - g (x)$ .

$d (x) = - x^{2} + 2 x + 8 - (x + 2) = - x^{2} + x + 6$ .

$d$ é quadrática com $a = - 1 < 0$ , logo o máximo é no vértice: $x_{V} = - \frac{1}{2 \times (- 1)} = \frac{1}{2} \in] - 2, 3 [$ .

$d (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 6 = \frac{25}{4}$ .

Para $x = \frac{1}{2}$ , isto é, $P (\frac{1}{2}, \frac{35}{4})$ , o comprimento máximo de $[P Q]$ é $\frac{25}{4} = 6,25$ .

10Médio Uma loja vende, por mês, $300$ unidades de um artigo ao preço unitário de $20$ euros. Um estudo de mercado indica que, por cada aumento de $1$ euro no preço unitário, se vendem menos $10$ unidades por mês.
Seja $x$ o número de aumentos de $1$ euro ( $0 \leq x \leq 30$ ) e $R (x)$ a receita mensal, em euros.

10.1. Médio (16 pontos) Mostre que $R (x) = - 10 x^{2} + 100 x + 6000$ .

10.2. Difícil (16 pontos) Determine o preço unitário que maximiza a receita mensal e o valor dessa receita. Determine também os preços unitários para os quais a receita mensal é superior a $6160$ euros.

Resolução

10.1.

Com $x$ aumentos, o preço unitário é $20 + x$ euros.

O número de unidades vendidas é $300 - 10 x$ .

$R (x) = (20 + x) (300 - 10 x) = 6000 - 200 x + 300 x - 10 x^{2}$ .

$R (x) = - 10 x^{2} + 100 x + 6000$

10.2.

$R$ é quadrática com $a = - 10 < 0$ : o máximo ocorre em $x_{V} = - \frac{100}{2 \times (- 10)} = 5$ .

Preço: $20 + 5 = 25$ euros; $R (5) = - 250 + 500 + 6000 = 6250$ euros.

$R (x) > 6160 \Leftrightarrow - 10 x^{2} + 100 x - 160 > 0 \Leftrightarrow x^{2} - 10 x + 16 < 0$ .

Zeros de $x^{2} - 10 x + 16$ : $x = 2$ e $x = 8$ ; como $a > 0$ , a expressão é negativa em $] 2, 8 [$ .

Preços: $20 + x \in] 22, 28 [$ .

Receita máxima de $6250$ € ao preço de $25$ €; receita superior a $6160$ € para preços entre $22$ € e $28$ € (exclusive).

11Difícil (16 pontos) Considere as funções $f$ e $g$ , de domínio $ℝ$ , definidas por $f (x) = x^{2} - 4 | x | + 3$ e $g (x) = \frac{1}{2} x + 2$ , cujos gráficos estão representados na figura.
Sejam $A$ e $B$ , respetivamente, o ponto de menor abcissa e o ponto de maior abcissa em que os gráficos de $f$ e $g$ se intersetam, e seja $O$ a origem do referencial.
Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine a área do triângulo $[O A B]$ .
Reproduza o(s) gráfico(s) visualizado(s), devidamente identificado(s), apresente as coordenadas de $A$ e $B$ arredondadas às milésimas e o resultado final arredondado às centésimas.

Resolução

Introduzem-se $y_{1} = x^{2} - 4 | x | + 3$ e $y_{2} = 0,5 x + 2$ , numa janela como $[- 5, 5] \times [- 2, 8]$ ; os gráficos intersetam-se em quatro pontos.

Ponto de menor abcissa: $A (- 3,186; 0,407)$ ; ponto de maior abcissa: $B (4,266; 4,133)$ .

Os pontos $A$ e $B$ pertencem à reta $y = 0,5 x + 2$ , que interseta o eixo $O y$ em $C (0, 2)$ ; o segmento $[O C]$ divide o triângulo em dois triângulos de base $\overset{―}{O C} = 2$ .

Alturas (relativas a $[O C]$ ): $| x_{A} | \approx 3,186$ e $x_{B} \approx 4,266$ .

Área $= \frac{2 \times 3,186}{2} + \frac{2 \times 4,266}{2} = 7,452$ .

A área do triângulo $[O A B]$ é aproximadamente $7,45$ .

Cotações

Item	1	2	3	4	5	6	7	8
Cotação (pontos)	12	12	12	12	16	12	16	12
Dificuldade
Tipo	EM	EM	EM	EM	RA	EM	RA	EM

Item	9.1	9.2	9.3	10.1	10.2	11	Total
Cotação (pontos)	16	16	16	16	16	16	200
Dificuldade
Tipo	RA	RA	RA	RA	RA	RA

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 6 itens – 72 pontos

Resposta aberta: 8 itens – 128 pontos

Por grau de dificuldade

Médio 3 itens – 44 pontos

Difícil 11 itens – 156 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº5 – Funções: composição, parâmetros e otimização

Teste nº5

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

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