Teste nº4 – Comparar distribuições e associar variáveis

Uma variável é qualitativa quando os seus valores são categorias (atributos) e não números resultantes de contagens ou medições.

A massa é quantitativa contínua; o número de livros e a idade em anos completos são quantitativas discretas.

O nível de satisfação toma valores que são categorias (embora ordenáveis): é qualitativa ordinal.

Opção (B) – o nível de satisfação é uma variável qualitativa.

Frequências absolutas lidas no gráfico: Futebol $18$, Basquetebol $9$, Natação $11$, Atletismo $7$, Ténis $5$ (total $50$).

Frequências relativas: ${\displaystyle \frac{18}{50}}=36\%$, ${\displaystyle \frac{9}{50}}=18\%$, ${\displaystyle \frac{11}{50}}=22\%$, ${\displaystyle \frac{7}{50}}=14\%$, ${\displaystyle \frac{5}{50}}=10\%$ (soma $100\%$).

A moda é a categoria com maior frequência: Futebol.

A variável «desporto preferido» é qualitativa nominal: as categorias não são números (não se podem somar, logo não há média) nem têm uma ordem natural (logo não há mediana).

Futebol $36\%$, Basquetebol $18\%$, Natação $22\%$, Atletismo $14\%$, Ténis $10\%$; moda: Futebol; média e mediana não fazem sentido (variável qualitativa nominal).

Calcula-se ${\displaystyle \frac{nk}{100}}={\displaystyle \frac{40\times 25}{100}}=10$.

Como $10$ é inteiro, $P_{25}$ é a média dos dados de ordens $10$ e $11$.

$P_{25}={\displaystyle \frac{17+20}{2}}=\mathrm{18,5}$. Os distratores correspondem a escolher só um dos dados ($17$ ou $20$) ou a ordem errada ($15$).

Opção (C) – $P_{25}=\mathrm{18,5}$.

4.1.

Leitura: A – mín. $5$, $Q_1=9$, $\tilde{x}=12$, $Q_3=15$, máx. $19$; B – mín. $3$, $Q_1=10$, $\tilde{x}=13$, $Q_3=14$, máx. $18$.

Localização: a mediana de B ($13$) é superior à de A ($12$).

Amplitude: A – $19-5=14$; B – $18-3=15$ (ligeiramente maior em B).

Amplitude interquartil: A – $15-9=6$; B – $14-10=4$: os $50\%$ centrais das classificações estão mais concentrados em B.

B tem mediana maior e menor AIQ (classificações centrais mais homogéneas), embora tenha amplitude ligeiramente maior ($15$ contra $14$).

4.2.

Turma B: $\text{AIQ}=4$, $\mathrm{1,5}\times 4=6$; limites $10-6=4$ e $14+6=20$.

O mínimo de B é $3<4$, logo é um outlier (o máximo $18\le 20$ não é).

Turma A: $\text{AIQ}=6$, $\mathrm{1,5}\times 6=9$; limites $9-9=0$ e $15+9=24$.

Como $0\le 5$ e $19\le 24$, todos os dados da turma A estão entre os limites: não há outliers.

A classificação $3$ da turma B é um outlier; a turma A não tem outliers.

O número total de respostas é $n=15+35+x+10=60+x$.

A frequência absoluta acumulada até à classe $[4,6[$ é $15+35+x=50+x$.

${\displaystyle \frac{50+x}{60+x}}=\mathrm{0,9}\iff 50+x=54+\mathrm{0,9}x\iff \mathrm{0,1}x=4\iff x=40$, e então $n=100$.

Marcas das classes: $1,3,5,7$. $\overline{x}\approx {\displaystyle \frac{1\times 15+3\times 35+5\times 40+7\times 10}{100}}={\displaystyle \frac{390}{100}}=\mathrm{3,9}$.

$x=40$ e o tempo médio diário é, aproximadamente, $\mathrm{3,9}$ horas.

Se $y_i=a{x}_i+b$, então $s_y=|a|s_x$, logo $s_y^2=a^2{s}_x^2$ (a constante $b$ não altera a dispersão).

$s_y^2=3^2\times 4=36$.

Os distratores resultam de erros típicos: $3\times 4-2=10$, $3\times 4=12$ e $9\times 4-2=34$.

Opção (D) – $s_y^2=9\times 4=36$.

${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x})={\sum }_{i=1}^n{x}_i-{\sum }_{i=1}^n\overline{x}={\sum }_{i=1}^n{x}_i-n\overline{x}}$.

Como $\overline{x}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{x}_i}$, tem-se ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{x}_i=n\overline{x}}$, e portanto a soma dos desvios é $n\overline{x}-n\overline{x}=0$.

Aplicação: $-3+5+d-1=0\iff d=-1$.

Cada dado é igual à média mais o seu desvio: $10-3=7$, $10+5=15$, $10-1=9$ e $10-1=9$.

A soma dos desvios é nula; $d=-1$ e os dados são $7$, $15$, $9$ e $9$.

$\overline{x}={\displaystyle \frac{0\times 3+1\times 5+2\times 6+3\times 4+4\times 2}{20}}={\displaystyle \frac{37}{20}}=\mathrm{1,85}$.

$\sum n_i(x_i-\overline{x}{)}^2=3(\mathrm{1,85}{)}^2+5(\mathrm{0,85}{)}^2+6(\mathrm{0,15}{)}^2+4(\mathrm{1,15}{)}^2+2(\mathrm{2,15}{)}^2=\mathrm{28,55}$.

$s^2={\displaystyle \frac{\mathrm{28,55}}{19}}\approx \mathrm{1,503}$ e $s\approx \mathrm{1,23}$.

Frequências absolutas acumuladas: $3,8,14,18,20$. Mediana: ${\displaystyle \frac{x_{(10)}+x_{(11)}}{2}}={\displaystyle \frac{2+2}{2}}=2$.

$Q_1$ é a mediana dos $10$ primeiros dados: ${\displaystyle \frac{x_{(5)}+x_{(6)}}{2}}={\displaystyle \frac{1+1}{2}}=1$; $Q_3$ é a mediana dos $10$ últimos: ${\displaystyle \frac{x_{(15)}+x_{(16)}}{2}}={\displaystyle \frac{3+3}{2}}=3$.

$\overline{x}=\mathrm{1,85}$; $s\approx \mathrm{1,23}$; $Q_1=1$, $Q_2=2$, $Q_3=3$; $\text{AIQ}=2$.

O declive $-\mathrm{2,5}$ indica a variação média estimada de $y$ quando $x$ aumenta uma unidade (ou seja, $100$ km): uma diminuição de $\mathrm{2,5}$ litros.

(B) Falsa: $r$ está sempre entre $-1$ e $1$ e não coincide com o declive. (C) Falsa: o declive é negativo.

(D) Falsa: o modelo prevê $y=0$ para $-\mathrm{2,5}x+80=0\iff x=32$, ou seja, $3200$ km.

Opção (A) – o declive é a variação média de $y$ por unidade de $x$.

10.1.

Introduzem-se os valores de $x$ e de $y$ em duas listas e efetua-se a regressão linear.

Obtém-se $a\approx \mathrm{3,43}$ e $b\approx -\mathrm{9,42}$: $y=\mathrm{3,43}x-\mathrm{9,42}$.

$r\approx \mathrm{0,999}$.

Como $r>0$ e muito próximo de $1$, a associação linear é positiva e muito forte: dias mais quentes estão associados a mais gelados vendidos.

$y=\mathrm{3,43}x-\mathrm{9,42}$; $r\approx \mathrm{0,999}$; associação linear positiva muito forte.

10.2.

Para $x=26$: $y=\mathrm{3,43}\times 26-\mathrm{9,42}\approx \mathrm{79,76}$, ou seja, cerca de $80$ gelados.

Para $x=40$: $y=\mathrm{3,43}\times 40-\mathrm{9,42}\approx \mathrm{127,78}$, ou seja, cerca de $128$ gelados.

$26\in [18,31]$ está dentro do intervalo das temperaturas observadas (interpolação); $40$ está fora (extrapolação).

Fora do intervalo observado não sabemos se a relação continua linear (por exemplo, a capacidade de produção da geladaria ou o calor excessivo podem limitar as vendas).

Cerca de $80$ gelados a $26$ °C (previsão mais fiável, interpolação) e cerca de $128$ a $40$ °C (extrapolação, pouco fiável).

Média antes: ${\displaystyle \frac{140}{10}}=14$. A soma aumenta $18-8=10$, logo a nova média é ${\displaystyle \frac{150}{10}}=15$.

Mediana antes: ${\displaystyle \frac{x_{(5)}+x_{(6)}}{2}}={\displaystyle \frac{14+15}{2}}=\mathrm{14,5}$. Dados corrigidos ordenados: $11,12,13,14,15,15,16,17,18,19$; nova mediana ${\displaystyle \frac{15+15}{2}}=15$.

Desvio-padrão (calculadora): antes $s\approx \mathrm{3,16}$; depois $s\approx \mathrm{2,58}$.

O valor $8$ estava muito afastado dos restantes (desvio de $-6$ em relação à média); o valor $18$ fica mais próximo do centro da distribuição, pelo que os dados ficam menos dispersos.

A média passa de $14$ para $15$, a mediana de $\mathrm{14,5}$ para $15$ e o desvio-padrão diminui de $\mathrm{3,16}$ para $\mathrm{2,58}$.

O novo conjunto tem $7$ dados; a mediana é o $4{.}^{\circ }$ dado depois de ordenar.

Se $k<8$, o $4{.}^{\circ }$ dado ordenado é $max(k,7)$, que é inferior a $8$: para $k=5$ ou $k=7$ a mediana é $7$; para $k=\mathrm{7,5}$ a mediana é $\mathrm{7,5}$.

Se $k\ge 8$, os dados ordenados começam por $3,7,7,8$, e a mediana é $8$. Das opções, só $k=11$ verifica esta condição.

Opção (D) – com $k=11$ a mediana é $8$.