Ficha de exames nº1

Provas de 2006–2010

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 8 fáceis6 médios1 difícil

1Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2006, 2.ª fase, itens 1.1.1 e 1.1.2

Numa escola, 50 alunos obtiveram classificação final superior a 15 valores tanto a Matemática como a Informática. As classificações desses alunos estão resumidas na tabela seguinte.

Classificação (valores)	16	17	18	19	20	Total
N.º de alunos – Matemática	6	11	17	9	7	50
N.º de alunos – Informática	13	11	3	9	14	50

A Ângela afirma que as médias das classificações nas duas disciplinas são iguais, mas os desvios-padrão são diferentes.

a) Mostre que a Ângela tem razão, calculando a média e o desvio-padrão das classificações em cada disciplina (considere os 50 alunos como a população).

b) O Pedro diz que, apenas observando a distribuição das classificações, já era possível perceber que os desvios-padrão eram diferentes. Sabendo que o desvio-padrão mede a dispersão dos dados em relação à média, explique como o Pedro pode ter chegado a essa conclusão.

Resolução

a) Matemática: ${\bar{x}}_{M} = \frac{6 \times 16 + 11 \times 17 + 17 \times 18 + 9 \times 19 + 7 \times 20}{50} = \frac{900}{50} = 18$ .

Informática: ${\bar{x}}_{I} = \frac{13 \times 16 + 11 \times 17 + 3 \times 18 + 9 \times 19 + 14 \times 20}{50} = \frac{900}{50} = 18$ . As médias são iguais.

Soma dos quadrados dos desvios em relação a 18 – Matemática: $6 \times 4 + 11 \times 1 + 17 \times 0 + 9 \times 1 + 7 \times 4 = 72$ ; variância $= \frac{72}{50} = 1,44$ ; $σ_{M} = \sqrt{1,44} = 1,2$ .

Informática: $13 \times 4 + 11 \times 1 + 3 \times 0 + 9 \times 1 + 14 \times 4 = 128$ ; variância $= \frac{128}{50} = 2,56$ ; $σ_{I} = \sqrt{2,56} = 1,6$ .

Médias iguais (18 valores) e desvios-padrão diferentes ( $1,2$ e $1,6$ ): a Ângela tem razão. (Na calculadora, introduzem-se as classificações numa lista e as frequências noutra.)

b) A Matemática, a maioria das classificações (17, 18 e 19 – 37 alunos) está próxima da média 18; a Informática, a maioria dos alunos (27) tem 16 ou 20, valores mais afastados da média.

Como as classificações de Informática estão mais dispersas em relação à média, o seu desvio-padrão tem de ser maior, logo os desvios-padrão são diferentes.

2Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2007, 1.ª fase, item 3.4

Um site de xadrez online registou, de 5 em 5 semanas, o número de jogadores inscritos (em milhares), $x$ representa o tempo em semanas e $y$ o número de jogadores, em milhares.

x (semanas)	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
y (milhares)	20	46	58	82	110	128	136	163	170	194	210	245

a) Represente o diagrama de dispersão destes dados.

b) Determine, com a calculadora, a equação da reta de regressão linear $y = a x + b$ , com $a$ e $b$ arredondados às centésimas.

c) Esboce, no mesmo referencial, o diagrama de dispersão e a reta de regressão.

Resolução

a) Introduzir na calculadora L1 = {5, 10, …, 60} e L2 = {20, 46, 58, 82, 110, 128, 136, 163, 170, 194, 210, 245} e representar os 12 pontos: a nuvem tem forma alongada e crescente.

b) Médias: $\bar{x} = 32,5$ e $\bar{y} \approx 130,17$ . A regressão linear da calculadora dá $a \approx 3,853$ e $b \approx 4,939$ (com $r \approx 0,996$ ).

b) Arredondando às centésimas: $y = 3,85 x + 4,94$ .

c) Usar uma janela com $x \in [0, 65]$ e $y \in [0, 260]$ ; a reta passa por $(\bar{x}, \bar{y}) = (32,5; 130,17)$ , por exemplo pelos pontos $(5; 24,19)$ e $(60; 235,94)$ , e acompanha muito de perto todos os pontos.

Interpretação: em cada semana o número de jogadores aumenta, em média, cerca de $3,85$ milhares (3 850 jogadores).

3Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2007, 2.ª fase, itens 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4

Numa fábrica mediu-se o comprimento (em cm) de uma amostra de 100 parafusos. Os resultados foram agrupados em classes de amplitude 0,1 cm, dando origem à seguinte tabela (base de um histograma):

Comprimento (cm)	Frequência absoluta
[5,0; 5,1[	3
[5,1; 5,2[	5
[5,2; 5,3[	9
[5,3; 5,4[	13
[5,4; 5,5[	18
[5,5; 5,6[	19
[5,6; 5,7[	17
[5,7; 5,8[	10
[5,8; 5,9[	3
[5,9; 6,0[	2
[6,0; 6,1[	1
Total	100

a) Indique a variável em estudo e classifique-a.

b) Determine a percentagem de parafusos da amostra com comprimento inferior a 5,5 cm.

c) Calcule um valor aproximado da média do comprimento dos parafusos. Nos cálculos intermédios use duas casas decimais e apresente o resultado arredondado às décimas.

d) Sabe-se que o menor comprimento registado foi 5,025 cm e o maior foi 6,070 cm. Explique como se construiria um histograma com 7 classes de igual amplitude para estes dados (amplitude e extremos das classes) e explique por que razão, a partir da tabela acima, não é possível obter as frequências absolutas dessas novas classes.

Resolução

a) A variável é o comprimento dos parafusos (em cm): quantitativa contínua.

b) Parafusos com menos de 5,5 cm: $3 + 5 + 9 + 13 + 18 = 48$ em 100, ou seja, $48 %$ .

c) Marcas das classes: $5,05; 5,15; \dots; 6,05$ . Soma dos produtos: $3 \times 5,05 + 5 \times 5,15 + 9 \times 5,25 + 13 \times 5,35 + 18 \times 5,45 + 19 \times 5,55 + 17 \times 5,65 + 10 \times 5,75 + 3 \times 5,85 + 2 \times 5,95 + 1 \times 6,05 = 550,30$ .

c) $\bar{x} \approx \frac{550,30}{100} = 5,503 \approx$ 5,5 cm.

d) Amplitude da amostra: $6,070 - 5,025 = 1,045$ cm; $1,045 : 7 \approx 0,149$ , pelo que se escolhe, por excesso, a amplitude de classe $0,15$ cm.

d) Classes: $[5,025; 5,175 [$ , $[5,175; 5,325 [$ , $[5,325; 5,475 [$ , $[5,475; 5,625 [$ , $[5,625; 5,775 [$ , $[5,775; 5,925 [$ , $[5,925; 6,075 [$ .

d) Os limites destas classes caem no meio das classes da tabela (por exemplo, $5,175$ está dentro de $[5,1; 5,2 [$ ); sem os dados originais não se sabe quantos parafusos de cada classe antiga ficam em cada classe nova, logo não é possível determinar as novas frequências.

4Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2007, 2.ª fase, item 1.1

A tabela seguinte apresenta o vencimento mensal, em euros, de um trabalhador A, entre 1998 e 2006.

Ano	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Vencimento (€)	900	918	942	953	955	978	1000	1015	1043

Recorrendo à calculadora, determine o coeficiente de correlação linear entre o ano e o vencimento do trabalhador A (apresente o valor arredondado às centésimas) e interprete o valor obtido, tendo em conta o diagrama de dispersão dos dados.

Resolução

Na calculadora, introduz-se em L1 os anos (1998, 1999, …, 2006 – ou, equivalentemente, 1, 2, …, 9) e em L2 os vencimentos (900, 918, 942, 953, 955, 978, 1000, 1015, 1043).

Com a regressão linear obtém-se a reta $y \approx 16,733 x + b$ e o coeficiente de correlação $r \approx 0,9899$ .

Arredondando às centésimas: $r \approx 0,99$ .

Como $r > 0$ , a correlação é positiva: com o passar dos anos, o vencimento tende a aumentar.

Como $r$ está muito próximo de 1, a correlação é muito forte: os pontos do diagrama de dispersão estão quase alinhados sobre uma reta, pelo que um modelo linear é adequado para descrever a evolução do vencimento.

5Fácil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 28 de maio de 2008 (versão 1) – Grupo I, item 5

Resolução

6Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2008, 1.ª fase, itens 3.1 e 3.2

Registaram-se 22 tempos (em minutos) de recolha de resíduos numa zona de ecopontos, organizados no seguinte diagrama de caule-e-folhas (caule: dezenas; folhas: unidades):

Caule	Folhas
8	6 6 7 7 7 9 9
9	0 0 4 4 5 5 5 5
10	3 3 6 6 8
11	1 6

a) Com a calculadora, determine a média $\bar{x}$ e o desvio-padrão $s$ dos tempos de recolha (desvio-padrão arredondado às centésimas). Indique as listas introduzidas.

b) Determine a percentagem de tempos que pertencem ao intervalo $] \bar{x} - s, \bar{x} + s [$ . Apresente o resultado arredondado às unidades.

Resolução

a) Listas: valores $x_{i}$ = {86, 87, 89, 90, 94, 95, 103, 106, 108, 111, 116} e frequências $n_{i}$ = {2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 1, 1, 1} (total 22).

a) Soma dos tempos: $2 112$ ; $\bar{x} = \frac{2 112}{22} =$ 96 minutos.

a) A calculadora dá $s \approx 8,98$ minutos (desvio-padrão amostral; o populacional seria $σ \approx 8,77$ ).

b) $] \bar{x} - s, \bar{x} + s [=] 96 - 8,98; 96 + 8,98 [=] 87,02; 104,98 [$ .

b) Tempos neste intervalo: 89, 89, 90, 90, 94, 94, 95, 95, 95, 95, 103, 103, ou seja, 12 tempos.

b) $\frac{12}{22} \times 100 \approx 54,5$ , logo cerca de $55 %$ .

7Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2008, 1.ª fase, item 4.1

Num inquérito, pediu-se aos jovens que fizessem a sua autoavaliação. Num gráfico circular, duas das categorias de resposta apresentam $25 %$ e $35 %$ , a categoria «Insuficiente» apresenta $10 %$ , e não estão indicadas as percentagens das categorias «Muito Bom» e «Não responde». Sabe-se que a percentagem de «Muito Bom» é o dobro da de «Insuficiente».
Determine a percentagem de inquiridos que não responderam.

Resolução

«Muito Bom»: $2 \times 10 % = 20 %$ .

Percentagem dos que responderam: $25 % + 10 % + 35 % + 20 % = 90 %$ .

O gráfico circular representa $100 %$ dos inquiridos, logo «Não responde»: $100 % - 90 % =$ $10 %$ .

8Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2008, 2.ª fase, item 2.1

Numa área protegida registou-se, anualmente, o número de animais de uma espécie, $y$ , em função do número de anos decorridos desde a criação da área, $x$ :

x (anos)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
y (animais)	8	9	13	18	24	30	38	45	62	75	84	88	100

Com a calculadora, determine a equação da reta de regressão linear $y = a x + b$ , com $a$ e $b$ arredondados às décimas.

Resolução

Introduzir na calculadora L1 = {0, 1, …, 12} e L2 = {8, 9, 13, 18, 24, 30, 38, 45, 62, 75, 84, 88, 100}.

Médias: $\bar{x} = 6$ e $\bar{y} = \frac{594}{13} \approx 45,69$ .

A regressão linear dá $a \approx 8,2033$ e $b \approx - 3,5275$ (com $r \approx 0,98$ ).

Arredondando às décimas: $y = 8,2 x - 3,5$ .

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2008, 2.ª fase, item 3.1

Num estudo sobre hábitos de leitura, os alunos indicaram a intensidade do seu gosto pela leitura. Para os rapazes conhecem-se as frequências relativas acumuladas; para as raparigas, conhecem-se as frequências relativas (algumas categorias aparecem agrupadas).

Rapazes – intensidade do gosto de ler	Freq. relativa acumulada
Não gosto nada de ler	12 %
Gosto pouco de ler	38 %
Gosto de ler de vez em quando	82 %
Gosto muito de ler	97 %
Sou viciado na leitura	100 %

Raparigas – intensidade do gosto de ler	Freq. relativa
Não gosto nada de ler ou gosto pouco de ler	14 %
Gosto de ler de vez em quando	49 %
Gosto muito de ler ou sou viciada na leitura	37 %

Num pequeno texto, diga se é verdadeira a afirmação: «A moda da intensidade do gosto de ler é a mesma para os dois sexos, mas as raparigas revelaram maior gosto pela leitura do que os rapazes.» Apresente todas as percentagens que fundamentam a resposta.

Resolução

Frequências relativas dos rapazes (diferenças entre acumuladas consecutivas): $12 %$ , $38 - 12 = 26 %$ , $82 - 38 = 44 %$ , $97 - 82 = 15 %$ , $100 - 97 = 3 %$ .

Moda dos rapazes: «Gosto de ler de vez em quando» ( $44 %$ , a maior frequência). Moda das raparigas: a mesma categoria ( $49 %$ , que é maior do que $14 %$ e do que $37 %$ ; nenhuma categoria isolada dos grupos agrupados pode ultrapassar esses valores).

Gostam pouco ou nada de ler: rapazes $12 % + 26 % = 38 %$ ; raparigas apenas $14 %$ .

Gostam muito ou são viciados: rapazes $15 % + 3 % = 18 %$ ; raparigas $37 %$ .

Conclusão: a moda é a mesma e as raparigas mostram maior gosto pela leitura, logo a afirmação é verdadeira.

10Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2008, 2.ª fase, item 3.2

Numa piscicultura mediram-se doze robalos, registando-se o comprimento $a$ , em milímetros, e o peso $p$ , em gramas, de cada um.

Robalo	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Comprimento $a$ (mm)	157	165	168	159	172	165	166	163	159	169	171	168
Peso $p$ (g)	52	61	67	60	70	65	66	62	58	72	72	68

Recorrendo à calculadora, determine o coeficiente de correlação linear entre $a$ e $p$ (arredondado às centésimas), apresentando as listas introduzidas. Interprete o valor obtido, tendo em conta a nuvem de pontos visualizada na calculadora.

Resolução

L1 (comprimentos): 157, 165, 168, 159, 172, 165, 166, 163, 159, 169, 171, 168.

L2 (pesos): 52, 61, 67, 60, 70, 65, 66, 62, 58, 72, 72, 68.

Com a regressão linear de L2 sobre L1, a calculadora dá $r \approx 0,9427$ , ou seja, $r \approx 0,94$ .

Como $r > 0$ , a correlação é positiva: os robalos mais compridos tendem a ser mais pesados.

Como $r$ é próximo de 1, a correlação linear é forte: na nuvem de pontos, estes distribuem-se próximo de uma reta de declive positivo.

11Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2009, 1.ª fase, itens 4.1, 4.2 e 4.3

Estudou-se a relação entre o rendimento mensal, $x$ (em euros), e a despesa mensal com alimentação, $y$ (em euros), de doze agregados familiares.

Agregado	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
Rendimento x (€)	1250	2800	1900	1650	1300	1800	1200	2500	1350	2100	1200	1500
Despesa y (€)	425	600	550	425	400	575	375	600	375	550	350	400

a) Admitindo que existe associação linear, indique o coeficiente de correlação $r$ arredondado às décimas e classifique a associação quanto ao sentido e à intensidade.

b) Determine, com a calculadora, a reta de regressão $y = a x + b$ ( $a$ e $b$ com quatro casas decimais) e use-a para estimar a despesa mensal com alimentação de um agregado com rendimento de 1 750€ (resultado arredondado às unidades).

c) Considere apenas os rendimentos. O rendimento do agregado B passa de 2 800€ para 8 000€, mantendo-se os restantes. Calcule a média e a mediana dos rendimentos antes e depois da alteração e diga, justificando, qual destas medidas representa melhor os dados em cada situação.

Resolução

a) Com as listas x e y na calculadora: $r \approx 0,9024$ , ou seja, $r \approx 0,9$ : associação linear positiva e forte (aos maiores rendimentos correspondem, em geral, maiores despesas).

b) A regressão linear dá $a \approx 0,1656$ e $b \approx 185,1833$ : $y = 0,1656 x + 185,1833$ .

b) Para $x = 1 750$ : $y = 0,1656 \times 1 750 + 185,1833 = 289,8 + 185,1833 \approx$ 475€.

c) Antes: soma $= 20 550$ , média $= 20 550 : 12 = 1 712,5$ €. Dados ordenados: 1200, 1200, 1250, 1300, 1350, 1500, 1650, 1800, 1900, 2100, 2500, 2800; mediana $= \frac{1 500 + 1 650}{2} = 1 575$ €.

c) Depois: soma $= 20 550 - 2 800 + 8 000 = 25 750$ , média $= 25 750 : 12 \approx 2 145,83$ €; a mediana mantém-se $1 575$ € (só mudou o maior valor).

c) Antes, média e mediana são próximas e ambas representam bem os dados. Depois, a média é muito influenciada pelo valor extremo (8 000€) e fica acima de 10 dos 12 rendimentos; a mediana (medida resistente) é a que melhor representa os dados.

12Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2009, 1.ª fase, item 2 do Grupo II

Numa prospeção geotérmica realizada num parque natural, verificou-se que a maiores profundidades correspondem temperaturas mais elevadas. A reta de regressão de $y$ sobre $x$ obtida a partir dos dados recolhidos é

$y = 0,0290 x + 18,36, 0 \leq x \leq 350,$

em que $x$ é a profundidade, em metros, e $y$ é a temperatura, em graus Celsius.
De acordo com esta equação, estime a temperatura a 100 m de profundidade. Apresente o resultado com duas casas decimais.

Resolução

A profundidade $x = 100$ pertence ao intervalo de validade $[0, 350]$ do modelo.

Substitui-se $x$ por 100: $y = 0,0290 \times 100 + 18,36$ .

$y = 2,90 + 18,36 = 21,26$ .

A temperatura estimada a 100 m de profundidade é $21,26$ °C.

13Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2009, 2.ª fase, itens 3.1.1 e 3.1.2

Registou-se o número de mensagens de telemóvel recebidas num dia pelos 25 alunos da Turma B:

N.º de mensagens	10	11	12	13	14	15	16
N.º de alunos	1	2	4	12	3	2	1

a) Construa a tabela de frequências relativas simples e acumuladas (duas casas decimais).

b) Represente os dados num diagrama de barras das frequências absolutas.

Resolução

a) Frequência relativa: $f_{i} = n_{i} : 25$ . Obtém-se 0,04; 0,08; 0,16; 0,48; 0,12; 0,08; 0,04 (soma $= 1$ ).

a) Frequências relativas acumuladas: 0,04; 0,12; 0,28; 0,76; 0,88; 0,96; 1,00.

b) No eixo horizontal, os valores 10 a 16 (variável discreta); no eixo vertical, o número de alunos. Desenham-se barras separadas, de igual largura, com alturas 1, 2, 4, 12, 3, 2 e 1; a barra mais alta (moda) é a do 13.

Complemento: média $\bar{x} = 324 : 25 = 12,96$ mensagens.

14Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2009, 2.ª fase, item 2 do Grupo I

Num casino, a «Roleta das Somas» tem setores numerados com 1, 2 ou 3. Numa noite registaram-se 820 jogadas, e as frequências relativas dos números saídos foram as da tabela.

Número saído	1	2	3
Frequência relativa	$55 %$	$20 %$	$25 %$

Determine a média dos números saídos nessas 820 jogadas. Se usar a calculadora, apresente as listas utilizadas.

Resolução

Com frequências relativas $f_{i}$ , a média é $\bar{x} = \sum x_{i} f_{i}$ (não é preciso conhecer as frequências absolutas).

$\bar{x} = 1 \times 0,55 + 2 \times 0,20 + 3 \times 0,25$ .

$\bar{x} = 0,55 + 0,40 + 0,75 = 1,7$ . (Na calculadora: L1 = {1, 2, 3}, L2 = {0,55; 0,20; 0,25}.)

Verificação com frequências absolutas: $451 \times 1 + 164 \times 2 + 205 \times 3 = 1394$ e $1394 \div 820 = 1,7$ .

A média dos números saídos é $1,7$ .

15Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática B – 10.º ano, 13 de abril de 2010, Grupo III, item 1

A Joana estudou a produção e o preço do vinho tinto em Portugal entre 1943 e 1961. Na tabela, $x$ é a produção, em centenas de milhares de litros, e $y$ é o preço de um litro de vinho, em escudos.

Ano	1943	1945	1947	1949	1951	1953	1955	1957	1959	1961
$x$	10,8	7,8	7,8	6,0	7,0	8,8	8,3	6,8	6,4	4,8
$y$	1,64	2,29	2,09	2,50	2,57	2,02	1,78	3,02	2,98	3,38

Em 1954 a produção foi de $9,0$ centenas de milhares de litros, mas o preço não foi registado. Utilizando a reta de regressão linear de $y$ sobre $x$ , estime esse preço. Apresente os parâmetros da reta com, pelo menos, seis casas decimais e o resultado arredondado às centésimas (não converta escudos em euros).

Resolução

Introduz-se em L1 os valores de $x$ e em L2 os valores de $y$ ; calcula-se a regressão linear de L2 sobre L1.

Declive: $a \approx - 0,304183$ ; ordenada na origem: $b \approx 4,693160$ (e $r \approx - 0,89$ , correlação negativa forte: maior produção, preço mais baixo).

Reta de regressão: $y = - 0,304183 x + 4,693160$ .

Para $x = 9,0$ : $y = - 0,304183 \times 9,0 + 4,693160 = - 2,737647 + 4,693160 \approx 1,955513$ .

O preço estimado em 1954 é cerca de $1,96$ escudos por litro.

Ficha de exames nº1 – Estatística (2006–2010)

Ficha de exames nº1

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

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