Ficha de exames nº6

Provas de 2024–2026

10.º ano – Matemática A – Tema 1 (Modelos matemáticos para a cidadania)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 2 fáceis9 médios4 difíceis

1Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2024, época especial, item 1

Os quatro elementos de uma família distribuem, cada um, $10$ pontos (sem repetir valores) por quatro locais da Madeira, para decidir o primeiro a visitar.

Elemento	Cabo Girão	Pico do Areeiro	Porto Moniz	Santana
António	2	1	3	4
Camila	4	5	1	0
Dora	1	4	3	2
Francisco	3	1	4	2

Regras: se um local tiver maioria absoluta do total de pontos, é o escolhido; caso contrário, elimina-se o local menos pontuado (sorteio em caso de empate) e os pontos que cada elemento lhe tinha dado passam para o local preferido desse elemento entre os restantes; repete-se até haver maioria absoluta. Determine o primeiro local a visitar.

Resolução

Total de pontos: $40$ ; maioria absoluta: pelo menos $21$ pontos.

Totais: Cabo Girão $10$ , Pico do Areeiro $11$ , Porto Moniz $11$ , Santana $8$ . Elimina-se Santana.

Pontos de Santana: António $4 \to$ Porto Moniz; Camila $0 \to$ Pico do Areeiro; Dora $2 \to$ Pico do Areeiro; Francisco $2 \to$ Porto Moniz. Novos totais: Cabo Girão $10$ , Pico do Areeiro $13$ , Porto Moniz $17$ . Elimina-se Cabo Girão.

Pontos de Cabo Girão: António $2 \to$ Porto Moniz; Camila $4 \to$ Pico do Areeiro; Dora $1 \to$ Pico do Areeiro; Francisco $3 \to$ Porto Moniz. Totais: Pico do Areeiro $18$ , Porto Moniz $22$ .

Porto Moniz tem $22 \geq 21$ pontos: é o primeiro local a visitar.

2Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2024, época especial, item 2

O hotel Azálea cobra $150,20$ € por quarto e por noite nas duas primeiras noites e $142,30$ € a partir da terceira noite. O hotel Camélia cobra $134,55$ € por quarto e por noite. O António reservou $2$ quartos duplos durante $4$ noites no hotel Azálea e, graças a um desconto, pagou o mesmo que pagaria no hotel Camélia. Determine o valor total no Azálea antes do desconto, o valor no Camélia e a percentagem de desconto.

Resolução

Azálea, duas primeiras noites: $2 \times 2 \times 150,20 = 600,80$ €; 3.ª e 4.ª noites: $2 \times 2 \times 142,30 = 569,20$ €.

Total no Azálea antes do desconto: $600,80 + 569,20 = 1170$ €.

Camélia: $2 \times 4 \times 134,55 = 1076,40$ €.

Desconto: $1170 - 1076,40 = 93,60$ €; $\frac{93,60}{1170} = 0,08$ .

Desconto de $8 %$ (Azálea $1170$ €, Camélia $1076,40$ €).

3Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2025, 1.ª fase, item 1.2

Numa eleição para a equipa de gestão de uma concessão de praia, as listas obtiveram: A — $18$ votos; B — $51$ votos; C — $32$ votos. Os lugares foram distribuídos pelo método de Hondt e, dentro de cada lista, os candidatos entram pela ordem em que aparecem. Os seis primeiros candidatos da lista B são: 1. Camila Ferreira; 2. Manuel Pedro; 3. Guilherme Santos; 4. Leonor Sousa; 5. Joana Almeida; 6. Pedro Ribeiro.
Sabe-se que a Joana Almeida foi o penúltimo elemento a entrar para a equipa. Determine o número de elementos da equipa e quantos pertencem a cada lista. Se arredondar, conserve uma casa decimal.

Resolução

Quocientes: A: $18; 9; 6$ . B: 51; 25,5; 17; 12,75; 10,2; 8,5. C: $32; 16; 10,7; 8$ .

Ordem decrescente: $51$ (B), $32$ (C), $25,5$ (B), $18$ (A), $17$ (B), $16$ (C), $12,75$ (B), $10,7$ (C), $10,2$ (B), $9$ (A), $8,5$ (B), …

A Joana Almeida é a 5.ª da lista B, logo entra com o quociente $51 : 5 = 10,2$ , que é o 9.º maior.

Se foi a penúltima, a equipa tem $9 + 1 = 10$ lugares; o 10.º é atribuído ao quociente $9$ (lista A).

A equipa tem 10 elementos: 2 da lista A, 5 da lista B e 3 da lista C.

4Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2025, 2.ª fase, item 1.2

A Luísa pediu a $27$ amigos que ordenassem quatro provas de trail: Abutres (A), Morcegos (M), Serra d’Arga (S) e Linhas de Torres (T).

N.º de votos	8	7	4	8
1.ª preferência	M	T	A	A
2.ª preferência	S	M	S	T
3.ª preferência	T	S	M	S
4.ª preferência	A	A	T	M

Método: (1) contam-se as primeiras preferências; se uma prova tiver maioria absoluta, é a escolhida; (2) caso contrário, contam-se as últimas preferências e elimina-se a prova (ou provas, em caso de empate) com mais votos em último lugar; (3) em cada coluna, as provas abaixo da eliminada sobem uma linha; (4) repete-se até haver maioria absoluta. Determine a prova selecionada.

Resolução

Maioria absoluta: mais de metade de $27$ , ou seja, pelo menos $14$ votos.

Primeiras preferências: A $4 + 8 = 12$ , M $8$ , T $7$ , S $0$ . Não há maioria.

Últimas preferências: A $8 + 7 = 15$ , T $4$ , M $8$ . Elimina-se A.

Nova tabela (primeiras linhas): $8$ votos M, $7$ votos T, $4$ votos S, $8$ votos T. Primeiras preferências: T $15$ , M $8$ , S $4$ .

T tem $15 \geq 14$ votos: a Luísa selecionou o Trail das Linhas de Torres.

5Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2025, 2.ª fase, item 3

Os preços de inscrição (por pessoa) numa prova de trail dependem da data de inscrição; o transporte é opcional e pago à parte, por pessoa.

Prova	Set. 2024	Out.–nov. 2024	Dez. 2024	Jan. 2025
K100 (individual)	60€	70€	80€	90€
K100/2 (estafeta, por pessoa)	30€	35€	40€	45€
K50 (individual)	30€	35€	45€	50€
Transporte (por pessoa)	—	3€	4€	—

Uma empresa comparticipa $60 %$ do total das despesas de inscrição e transporte dos seus trabalhadores. Inscreveram-se: $2$ trabalhadores na K100 (um em setembro de 2024 e outro em janeiro de 2025), sem transporte; $1$ equipa de $2$ trabalhadores na K100/2, em dezembro de 2024, com transporte; $4$ trabalhadores na K50, em outubro de 2024, com transporte. Determine o valor comparticipado pela empresa.

Resolução

K100: $60 + 90 = 150$ €.

K100/2 (dezembro): inscrição $2 \times 40 = 80$ €; transporte $2 \times 4 = 8$ €.

K50 (outubro): inscrição $4 \times 35 = 140$ €; transporte $4 \times 3 = 12$ €.

Total: $150 + 80 + 8 + 140 + 12 = 390$ €.

Comparticipação: $0,60 \times 390 = 234$ . A empresa comparticipa $234$ €.

6Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2025, época especial, itens 1.1 e 1.2

Os $580$ alunos de uma escola podiam votar na plataforma de inteligência artificial a usar, ordenando quatro plataformas, A, B, C e D. Houve $406$ votos válidos e $29$ votos brancos ou nulos. Os votos válidos distribuíram-se assim:

N.º de votos	146	128	67	65
1.ª preferência	A	B	B	A
2.ª preferência	B	A	D	B
3.ª preferência	C	C	A	D
4.ª preferência	D	D	C	C

a) Qual foi a taxa de abstenção? (A) $5 %$ (B) $25 %$ (C) $30 %$ (D) $35 %$

b) Usa-se o método de Borda: $4$ , $3$ , $2$ e $1$ pontos para a 1.ª, 2.ª, 3.ª e 4.ª preferências. Mostre que a plataforma vencedora não é a que tem mais votos em primeira preferência, apresentando a pontuação de cada plataforma.

Resolução

a) Votantes: $406 + 29 = 435$ ; abstencionistas: $580 - 435 = 145$ ; $\frac{145}{580} = 0,25$ . Opção (B): $25 %$ .

b) A: $4 \times 146 + 3 \times 128 + 2 \times 67 + 4 \times 65 = 584 + 384 + 134 + 260 = 1362$ .

b) B: $3 \times 146 + 4 \times 128 + 4 \times 67 + 3 \times 65 = 438 + 512 + 268 + 195 = 1413$ .

b) C: $2 \times 146 + 2 \times 128 + 1 \times 67 + 1 \times 65 = 680$ ; D: $1 \times 146 + 1 \times 128 + 3 \times 67 + 2 \times 65 = 605$ (soma $4060 = 406 \times 10$ ).

b) Primeiras preferências: A $146 + 65 = 211$ ; B $128 + 67 = 195$ . B vence pelo método de Borda ( $1413$ pontos), mas é A que tem mais votos em primeira preferência ( $211$ ).

7Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2026, 1.ª fase, item 3

Uma loja vende camisolas a $20$ € cada. Há uma promoção para compras de um número ímpar de camisolas: quem compra $3$ paga $2$ ; $5$ paga $3$ ; $7$ paga $4$ ; …; $15$ paga $8$ ; $17$ paga $9$ ; $19$ paga $10$ ; $21$ paga $11$ (e assim sucessivamente). Numa compra de número par, a promoção aplica-se ao maior número ímpar possível e a camisola restante paga-se ao preço normal.

a) Quanto custam $16$ camisolas?

b) Comprando $21$ camisolas, qual é o preço médio por camisola, arredondado aos cêntimos?

c) Quanto se poupa, com a promoção, na compra de $17$ camisolas?

d) Quantas camisolas (em número ímpar) se devem comprar para que o preço médio por camisola seja exatamente $52 %$ do preço normal?

Resolução

a) $15$ camisolas pagam-se como $8$ e a 16.ª ao preço normal: $9 \times 20 =$ $180$ €.

b) Paga $11 \times 20 = 220$ €; $220 : 21 \approx$ $10,48$ € por camisola.

c) Sem promoção: $17 \times 20 = 340$ €; com promoção: $9 \times 20 = 180$ €. Poupança: $160$ €.

d) Comprando $n$ (ímpar), paga $\frac{n + 1}{2}$ camisolas. Queremos $\frac{n + 1}{2 n} = 0,52 \Leftrightarrow n + 1 = 1,04 n \Leftrightarrow 0,04 n = 1 \Leftrightarrow n = 25$ .

d) Verificação: $25$ camisolas pagam $13$ ; $13 : 25 = 0,52$ . $25$ camisolas.

8Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2026, 1.ª fase, item 12

A Inês abriu uma conta-poupança por um período de 25 anos. No início de cada ano deposita 500 euros, sem fazer outros depósitos nem levantamentos. No fim de cada ano, os juros, à taxa anual de $j %$ , são acrescentados ao capital. O capital acumulado ao fim dos 25 anos, em euros, é dado por

$C (j) = 500 (1 + \frac{j}{100}) \times \frac{{(1 + \frac{j}{100})}^{25} - 1}{\frac{j}{100}}$

A Inês pretende que, no final dos 25 anos, o capital acumulado corresponda a um acréscimo de 20% em relação ao total depositado.
Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a taxa de juro anual $j$ , em percentagem, arredondada às milésimas. Apresente uma equação que traduza o problema e os gráficos visualizados.

Resolução

Total depositado: $25 \times 500 = 12 500$ euros.

Acréscimo de $20 %$ : capital pretendido $= 1,2 \times 12 500 = 15 000$ euros.

Equação: $C (j) = 15 000$ .

Na calculadora: $y_{1} = C (x)$ e $y_{2} = 15 000$ , numa janela como $[0, 3] \times [12 000, 17 000]$ . A interseção dos gráficos é o ponto de coordenadas aproximadas $(1,375; 15 000)$ .

A taxa de juro anual é, aproximadamente, $1,375 %$ .

9Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2026, 1.ª fase, item 13 (versão AE 2023)

Uma agência de viagens pediu a 250 clientes que ordenassem, por preferência, quatro praias: Almograve (A), Barril (B), Cabedelo (C) e Duquesa (D). A tabela seguinte resume as ordenações de 200 desses clientes.

Preferência	82 votos	24 votos	51 votos	43 votos
1.ª	B	C	A	D
2.ª	A	A	D	A
3.ª	C	D	B	C
4.ª	D	B	C	B

Os restantes 50 clientes votaram todos na mesma ordenação, na qual a praia B ficou acima da praia A.
A escolha é feita pelo método de Borda: cada 1.ª preferência vale 4 pontos, cada 2.ª vale 3, cada 3.ª vale 2 e cada 4.ª vale 1; é escolhida a praia com mais pontos. Em caso de empate, reduz-se a tabela às praias empatadas e ganha a que tiver mais votos em 1.ª preferência.
Mostre que a praia B não pode ser a escolhida.

Resolução

Pontuação de A (200 clientes): $82 \times 3 + 24 \times 3 + 51 \times 4 + 43 \times 3 = 246 + 72 + 204 + 129 = 651$ .

Pontuação de B: $82 \times 4 + 24 \times 1 + 51 \times 2 + 43 \times 1 = 328 + 24 + 102 + 43 = 497$ . (Do mesmo modo, C tem 397 pontos e D tem 455 pontos.)

Diferença entre A e B com estes votos: $651 - 497 = 154$ pontos.

Nos 50 boletins restantes, B fica acima de A; a maior vantagem possível de B sobre A, em cada boletim, ocorre com B em 1.º lugar (4 pontos) e A em 4.º (1 ponto): 3 pontos por boletim, ou seja, no máximo $50 \times 3 = 150$ pontos.

Como $150 < 154$ , A tem sempre mais pontos do que B (nem sequer há empate). Logo, a praia B não pode ser a escolhida.

10Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2026, 1.ª fase, item 1

Depositaram-se $1000$ € num depósito a prazo com taxa anual de $1,5 %$ e capitalização mensal. Qual é o capital acumulado ao fim de $2$ anos (arredondado ao cêntimo)?

Resolução

Taxa mensal: $\frac{0,015}{12} = 0,00125$ ; $24$ meses.

$C = 1000 \times 1, 00125^{24} \approx 1030,44$ €.

11Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2026, 2.ª fase, item 1 (adaptado: pede-se o cálculo das pontuações em vez da fórmula de folha de cálculo)

Numa votação sobre a melhor prova de ciclismo — Vuelta (E), Tour de France (F) e Giro d’Italia (I) — houve $100$ votos.

N.º de votos	24	31	45
1.ª preferência	F	I	E
2.ª preferência	I	F	F
3.ª preferência	E	E	I

Cada voto dá $3$ pontos à 1.ª preferência, $2$ à 2.ª e $1$ à 3.ª. Determine a pontuação de cada prova e a prova vencedora.

Resolução

Tour de France (F): $3 \times 24 + 2 \times 31 + 2 \times 45 = 72 + 62 + 90 = 224$ .

Vuelta (E): $1 \times 24 + 1 \times 31 + 3 \times 45 = 24 + 31 + 135 = 190$ .

Giro (I): $2 \times 24 + 3 \times 31 + 1 \times 45 = 48 + 93 + 45 = 186$ .

Verificação: $224 + 190 + 186 = 600 = 100 \times 6$ .

Vence o Tour de France, com $224$ pontos.

12Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2026, 2.ª fase, item 2

Os $180$ sócios de um clube ordenaram quatro ciclistas: Anacleto (A), Ernesto (E), Paulino (P) e Vitorino (V).

N.º de votos	36	46	58	40
1.ª preferência	P	V	A	P
2.ª preferência	A	A	E	V
3.ª preferência	E	E	V	E
4.ª preferência	V	P	P	A

Usa-se o método de eliminação: se um ciclista tiver maioria absoluta de primeiras preferências, é o escolhido; caso contrário, elimina-se o menos votado em primeira preferência (sorteio em caso de empate), as listas sobem e repete-se.

a) Qual é o número mínimo de votos para haver maioria absoluta?

b) Qual é o primeiro ciclista eliminado? E o segundo?

c) Quem é escolhido e com quantos votos?

Resolução

a) Metade de $180$ é $90$ ; a maioria absoluta exige $91$ votos.

b) Primeiras preferências: P $36 + 40 = 76$ , A $58$ , V $46$ , E $0$ . Elimina-se E (as contagens não mudam).

b) Elimina-se depois V ( $46$ votos): os $46$ votos dessa coluna passam para A (a seguinte na lista); os $40$ votos da última coluna continuam em P.

c) A: $58 + 46 = 104$ ; P: $76$ . É escolhido o Anacleto, com $104$ votos.

13Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2026, 2.ª fase, item 4

O valor de cada prestação mensal de um crédito é

$P = \frac{V_{f} \times i}{1 - (1 + i)^{- n}}$

(arredondado aos cêntimos), em que $V_{f}$ é o valor financiado, $i$ a taxa de juro mensal e $n$ o número de prestações. Para um crédito de $5000$ €, com taxa mensal de $4 %$ , o gestor de conta propôs $24$ prestações. O cliente prefere pagar mais depressa, mas a prestação não pode ultrapassar o dobro da prestação proposta. Determine o número mínimo de prestações.

Resolução

Prestação proposta ( $n = 24$ ): $P = \frac{5000 \times 0,04}{1 - 1, 04^{- 24}} = \frac{200}{0,6099} \approx 327,93$ €.

Dobro: $2 \times 327,93 = 655,86$ €.

Tabela da calculadora para $P (n) = \frac{200}{1 - 1, 04^{- n}}$ : $n = 9$ : $P \approx 672,46$ €; $n = 10$ : $P \approx 616,45$ €.

Com $9$ prestações ultrapassa-se $655,86$ €; com $10$ já não.

O número mínimo é $10$ prestações (de $616,45$ €).

14Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2026, época especial, itens 1.1 e 1.2

Num clube escolar elegem-se $8$ representantes pelo método de Hondt (em caso de empate entre quocientes de listas diferentes no último mandato, este vai para a lista com menos votos). A tabela dá os quocientes, arredondados às décimas, das quatro listas.

Divisor	X	Y	Z	W
1	100	12	120	85
2	50	6	60	42,5
3	33,3	4	40	28,3
4	25	3	30	21,3
5	20	2,4	24	17

a) Indique se o número total de votos (incluindo brancos e nulos) pode ter sido $170$ , $270$ ou $370$ .

b) A que lista pertence o 4.º eleito? Quantos mandatos têm X e W?

c) A votação foi repetida. Só a lista Y aumentou os votos e as quatro listas ficaram com dois mandatos cada. Quantos votos a mais teve Y, no mínimo? Ordene os oito quocientes que dão os mandatos.

Resolução

a) Votos válidos: $100 + 12 + 120 + 85 = 317$ ; o total, com brancos e nulos, é pelo menos $317$ : só $370$ é possível.

b) Quocientes por ordem: $120$ (Z), $100$ (X), $85$ (W), $60$ (Z), $50$ (X), $42,5$ (W), $40$ (Z), $33,3$ (X). O 4.º eleito é da lista Z; X tem $3$ mandatos e W tem $2$ (Z tem $3$ , Y nenhum).

c) Sem o 2.º mandato de Y, os oito maiores quocientes de X, Z e W seriam até $33,3$ ; para cada lista ficar com dois, o 2.º quociente de Y, $\frac{y}{2}$ , tem de afastar o $40$ de Z.

c) $\frac{y}{2} \geq 40 \Leftrightarrow y \geq 80$ ; com $y = 80$ há empate com o $40$ de Z e o mandato vai para Y, que tem menos votos que Z. Logo, Y precisa de $80$ votos, ou seja, $80 - 12 = 68$ votos a mais.

c) Quocientes que dão os mandatos: 120; 100; 85; 80; 60; 50; 42,5; 40 (o último $40$ é o de Y).

15Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2026, época especial, item 3

O Francisco fez um crédito de $1200$ €, com uma taxa de juro mensal de $1,5 %$ , a pagar em prestações fixas de $350$ €. No fim de cada mês, os juros são somados ao capital em dívida e depois é paga a prestação. A última prestação é de acerto: é igual ao capital em dívida (com os juros desse mês) e pode ser inferior a $350$ €. Conserve duas casas decimais nos cálculos.

a) Qual é o juro do primeiro mês?

b) O juro mensal manteve-se, diminuiu ou aumentou ao longo do pagamento?

c) Em quantos meses foi amortizado o crédito e qual foi o valor da prestação final?

Resolução

a) $0,015 \times 1200 =$ $18$ €. Dívida após o 1.º mês: $1200 + 18 - 350 = 868$ €.

c) 2.º mês: juro $0,015 \times 868 = 13,02$ ; dívida $868 + 13,02 - 350 = 531,02$ €.

c) 3.º mês: juro $0,015 \times 531,02 \approx 7,97$ ; dívida $531,02 + 7,97 - 350 = 188,99$ €.

c) 4.º mês: juro $0,015 \times 188,99 \approx 2,83$ ; prestação final $188,99 + 2,83 = 191,82$ €.

b) Os juros foram $18; 13,02; 7,97; 2,83$ : diminuíram. c) $4$ meses; prestação final de $191,82$ €.

Ficha de exames nº6 – Modelos matemáticos para a cidadania (2024–2026)

Ficha de exames nº6

10.º ano – Matemática A – Tema 1 (Modelos matemáticos para a cidadania)

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