Teste nº3

Funções: propriedades, quadrática e módulo

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

Grau de dificuldade do teste: Médio

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 15 itens cotados (6 de escolha múltipla, 9 de resposta aberta)

Fácil 26

Médio 144

Difícil 30

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Médio (12 pontos) Na figura está representado, num referencial o.n. $x O y$ , o gráfico de uma função $f$ , de domínio $[- 4, 5]$ .
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) O contradomínio de $f$ é $[- 1, 3]$ .

(B) A função $f$ tem exatamente dois zeros.

(C) A função $f$ é estritamente decrescente em $[- 4, - 2]$ .

(D) $f (- 2) \times f (4) > 0$

Resolução

(A) é falsa: o mínimo absoluto de $f$ é $f (- 2) = - 3$ , logo $D_{f}^{'} = [- 3, 3]$ .

(B) é falsa: o gráfico corta o eixo $O x$ três vezes (uma em cada um dos intervalos $] - 4, - 2 [$ , $] - 2, 1 [$ e $] 3, 5 [$ ).

(D) é falsa: $f (- 2) = - 3 < 0$ e $f (4) = 1 > 0$ , logo o produto é negativo.

A afirmação verdadeira é a (C).

Opção (C)

2Médio (14 pontos) Considere as funções $f$ e $g$ , de domínio $ℝ$ , definidas por $f (x) = 2 x^{2} - | x |$ e $g (x) = x | x |$ .
Estude cada uma das funções quanto à paridade.

Resolução

O domínio $ℝ$ é simétrico em relação a $0$ , condição necessária para estudar a paridade.

$f (- x) = 2 (- x)^{2} - | - x | = 2 x^{2} - | x | = f (x)$ , para todo o $x \in ℝ$ .

Logo $f$ é par.

$g (- x) = (- x) | - x | = - x | x | = - g (x)$ , para todo o $x \in ℝ$ .

Logo $g$ é ímpar.

$f$ é par e $g$ é ímpar.

3Médio Considere as funções $f$ e $g$ , de domínio $ℝ$ , definidas por $f (x) = 2 x + 3$ e $g (x) = x^{2} - x$ .

3.1. Médio (14 pontos) Determine uma expressão de $(g \circ f) (x)$ e resolva, em $ℝ$ , a equação $(g \circ f) (x) = 0$ .

3.2. Médio (14 pontos) Justifique que $f$ é injetiva e determine uma expressão de $f^{- 1} (x)$ . Verifique que $(f \circ f^{- 1}) (x) = x$ .

Resolução

3.1.

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = (2 x + 3)^{2} - (2 x + 3)$ .

Desenvolvendo: $4 x^{2} + 12 x + 9 - 2 x - 3 = 4 x^{2} + 10 x + 6$ .

Pondo $(2 x + 3)$ em evidência: $(2 x + 3)^{2} - (2 x + 3) = (2 x + 3) (2 x + 2)$ .

$(2 x + 3) (2 x + 2) = 0 \Leftrightarrow 2 x + 3 = 0 \lor 2 x + 2 = 0$ .

$(g \circ f) (x) = 4 x^{2} + 10 x + 6$ ; $S = {- \frac{3}{2}, - 1}$

3.2.

Se $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , então $2 x_{1} + 3 = 2 x_{2} + 3 \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ ; logo $f$ é injetiva (e, sendo afim não constante, é bijetiva de $ℝ$ em $ℝ$ ).

$y = 2 x + 3 \Leftrightarrow x = \frac{y - 3}{2}$ .

Logo $f^{- 1} (x) = \frac{x - 3}{2}$ .

Verificação: $(f \circ f^{- 1}) (x) = 2 \cdot \frac{x - 3}{2} + 3 = x - 3 + 3 = x$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 3}{2}$

4Médio (12 pontos) Qual das expressões seguintes é a forma canónica de $2 x^{2} - 8 x + 3$ ?

(A) $2 (x + 2)^{2} - 5$

(B) $2 (x - 2)^{2} - 5$

(C) $2 (x - 2)^{2} - 1$

(D) $2 (x - 4)^{2} - 29$

Resolução

$2 x^{2} - 8 x + 3 = 2 (x^{2} - 4 x) + 3$ .

$x^{2} - 4 x = (x - 2)^{2} - 4$ , logo $2 (x^{2} - 4 x) = 2 (x - 2)^{2} - 8$ .

Então $2 x^{2} - 8 x + 3 = 2 (x - 2)^{2} - 8 + 3 = 2 (x - 2)^{2} - 5$ .

A opção (C) resulta de esquecer multiplicar o $- 4$ por $2$ ; (D) de não pôr o $2$ em evidência antes de completar o quadrado.

$2 (x - 2)^{2} - 5$

Opção (B)

5Fácil (12 pontos) Considere a função $f$ , de domínio $ℝ$ , definida por $f (x) = - 3 (x + 1)^{2} + 2$ .
Em qual dos intervalos seguintes a função $f$ é crescente?

(A) $] - \infty, - 1]$

(B) $[- 1, + \infty [$

(C) $] - \infty, 2]$

(D) $[2, + \infty [$

Resolução

O vértice da parábola é $(- 1, 2)$ e $a = - 3 < 0$ (concavidade voltada para baixo).

Logo $f$ é crescente até à abcissa do vértice e decrescente a partir dela.

$f$ é crescente em $] - \infty, - 1]$ e decrescente em $[- 1, + \infty [$ .

$] - \infty, - 1]$

Opção (A)

6Fácil (14 pontos) Resolva, em $ℝ$ , a inequação $x (x - 2) > 3 (2 - x)$ .
Apresente o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais.

Resolução

$x^{2} - 2 x > 6 - 3 x \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 > 0$ .

Zeros de $x^{2} + x - 6$ : $x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{- 1 \pm 5}{2}$ , ou seja, $x = - 3$ ou $x = 2$ .

A parábola $y = x^{2} + x - 6$ tem a concavidade voltada para cima ( $a = 1 > 0$ ).

Logo $x^{2} + x - 6 > 0$ fora do intervalo dos zeros.

$S =] - \infty, - 3 [\cup] 2, + \infty [$

7Médio (12 pontos) Para que valores de $k$ a equação $x^{2} + 4 x + k = 0$ tem duas soluções reais distintas?

(A) $k < 4$

(B) $k > 4$

(C) $k = 4$

(D) $k < 16$

Resolução

A equação tem duas soluções distintas se e só se o binómio discriminante for positivo.

$Δ = 4^{2} - 4 \times 1 \times k = 16 - 4 k$ .

$16 - 4 k > 0 \Leftrightarrow k < 4$ .

A opção (D) resulta de esquecer o fator $4$ em $4 a c$ ; (C) dá uma só solução (dupla).

$k < 4$

Opção (A)

8Médio O Sr. Joaquim dispõe de $120$ metros de rede para vedar um terreno retangular $[A B C D]$ encostado a um muro. O lado $[C D]$ fica junto ao muro (a tracejado na figura) e não precisa de rede. Seja $x$ o comprimento, em metros, de cada um dos lados $[A D]$ e $[B C]$ .

8.1. Médio (14 pontos) Mostre que a área do terreno, em metros quadrados, é dada, em função de $x$ , por $A (x) = - 2 x^{2} + 120 x$ e indique o domínio da função $A$ no contexto do problema.

8.2. Médio (16 pontos) Determine as dimensões do terreno de área máxima e o valor dessa área.

Resolução

8.1.

A rede cobre $[A D]$ , $[A B]$ e $[B C]$ : $x + \overset{―}{A B} + x = 120$ , logo $\overset{―}{A B} = 120 - 2 x$ .

Área: $A (x) = x (120 - 2 x) = 120 x - 2 x^{2} = - 2 x^{2} + 120 x$ .

As medidas têm de ser positivas: $x > 0$ e $120 - 2 x > 0 \Leftrightarrow x < 60$ .

$A (x) = - 2 x^{2} + 120 x$ , com $D_{A} =] 0, 60 [$

8.2.

$A$ é uma função quadrática com $a = - 2 < 0$ , logo tem máximo no vértice.

$x_{V} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{120}{2 \times (- 2)} = 30$ , que pertence a $] 0, 60 [$ .

$\overset{―}{A B} = 120 - 2 \times 30 = 60$ m.

$A (30) = 30 \times 60 = 1800$ m².

Terreno de $30$ m por $60$ m (lado paralelo ao muro), com área máxima de $1800$ m².

9Médio (12 pontos) Seja $f$ uma função quadrática, de domínio $ℝ$ , cujo gráfico tem vértice no ponto $(1, 4)$ e concavidade voltada para baixo.
Seja $g$ a função definida por $g (x) = - 2 f (x + 3)$ . Qual das afirmações é verdadeira?

(A) $g$ tem máximo $8$ em $x = - 2$

(B) $g$ tem mínimo $- 8$ em $x = - 2$

(C) $g$ tem mínimo $- 8$ em $x = 4$

(D) $g$ tem máximo $- 8$ em $x = 4$

Resolução

$f (x + 3)$ : translação horizontal de vetor $(- 3, 0)$ ; o vértice passa para $(1 - 3, 4) = (- 2, 4)$ , ainda um máximo.

Multiplicar por $- 2$ : as ordenadas são multiplicadas por $- 2$ , e a concavidade inverte-se.

O vértice passa a $(- 2, - 8)$ e passa a ser um mínimo.

As opções (C) e (D) usam a translação no sentido errado ( $x + 3$ não desloca para a direita).

$g$ tem mínimo $- 8$ em $x = - 2$

Opção (B)

10Médio (12 pontos) Qual é o conjunto-solução da inequação $| 3 - 2 x | \geq 5$ ?

(A) $[- 1, 4]$

(B) $] - \infty, - 1] \cup [4, + \infty [$

(C) $] - \infty, - 4] \cup [1, + \infty [$

(D) $[- 4, 1]$

Resolução

$| A | \geq 5 \Leftrightarrow A \leq - 5 \lor A \geq 5$ .

$3 - 2 x \geq 5 \Leftrightarrow - 2 x \geq 2 \Leftrightarrow x \leq - 1$ (inverte-se o sentido ao dividir por $- 2$ ).

$3 - 2 x \leq - 5 \Leftrightarrow - 2 x \leq - 8 \Leftrightarrow x \geq 4$ .

A opção (A) resolve $| 3 - 2 x | \leq 5$ ; (C) e (D) resultam de não inverter o sentido da desigualdade.

$] - \infty, - 1] \cup [4, + \infty [$

Opção (B)

11Difícil (16 pontos) Considere as funções $f$ e $g$ , de domínio $ℝ$ , definidas por $f (x) = | x^{2} - 4 |$ e $g (x) = \frac{1}{2} x + 2$ .
Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, resolva a inequação $f (x) > g (x)$ .
Na sua resposta, reproduza o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora, devidamente identificado(s), assinale os pontos relevantes e apresente o conjunto-solução, com os extremos dos intervalos arredondados às centésimas.

Resolução

Introduzem-se $y_{1} = | x^{2} - 4 |$ e $y_{2} = 0,5 x + 2$ na calculadora, numa janela como $[- 4, 4] \times [- 1, 8]$ .

O gráfico de $f$ tem a forma de um «W» (a parte da parábola abaixo do eixo $O x$ , entre $- 2$ e $2$ , é refletida para cima), e a reta interseta-o em quatro pontos.

Abcissas dos pontos de interseção: $x \approx - 2,21$ , $x \approx - 1,69$ , $x \approx 1,19$ e $x \approx 2,71$ .

O gráfico de $f$ está acima da reta à esquerda do 1.º ponto, entre o 2.º e o 3.º pontos e à direita do 4.º ponto.

$S \approx] - \infty; - 2,21 [\cup] - 1,69; 1,19 [\cup] 2,71; + \infty [$

12Médio Num município, a fatura mensal da água tem uma tarifa fixa de $3$ euros e uma parte variável por escalões, aplicada a cada metro cúbico consumido:
• até $5$ m³: $0,60$ € por m³;
• acima de $5$ m³ e até $15$ m³: $1,20$ € por cada m³ acima de $5$ ;
• acima de $15$ m³: $2,50$ € por cada m³ acima de $15$ .
Seja $C (x)$ o valor da fatura, em euros, para um consumo de $x$ m³ ( $x \geq 0$ ).

12.1. Médio (12 pontos) Mostre que, para $5 < x \leq 15$ , se tem $C (x) = 1,2 x$ e defina a função $C$ por ramos.

12.2. Difícil (14 pontos) Uma família pagou $28,25$ euros de água num mês. Determine o consumo dessa família nesse mês.

Resolução

12.1.

Para $0 \leq x \leq 5$ : $C (x) = 3 + 0,6 x$ ; em particular $C (5) = 6$ .

Para $5 < x \leq 15$ : $C (x) = 3 + 0,6 \times 5 + 1,2 (x - 5) = 6 + 1,2 x - 6 = 1,2 x$ .

Em particular $C (15) = 18$ . Para $x > 15$ : $C (x) = 18 + 2,5 (x - 15) = 2,5 x - 19,5$ .

$C (x) = {\begin{matrix} 3 + 0,6 x & se 0 \leq x \leq 5 \\ 1,2 x & se 5 < x \leq 15 \\ 2,5 x - 19,5 & se x > 15 \end{matrix}$

12.2.

No 1.º escalão, $C (x) \leq 6$ ; no 2.º escalão, $C (x) \leq C (15) = 18$ .

Como $28,25 > 18$ , o consumo é superior a $15$ m³ e usa-se o 3.º ramo.

$2,5 x - 19,5 = 28,25 \Leftrightarrow 2,5 x = 47,75 \Leftrightarrow x = 19,1$ .

Verificação: $19,1 > 15$ ✓.

A família consumiu $19,1$ m³ de água.

Cotações

Item	1	2	3.1	3.2	4	5	6	7
Cotação (pontos)	12	14	14	14	12	12	14	12
Dificuldade
Tipo	EM	RA	RA	RA	EM	EM	RA	EM

Item	8.1	8.2	9	10	11	12.1	12.2	Total
Cotação (pontos)	14	16	12	12	16	12	14	200
Dificuldade
Tipo	RA	RA	EM	EM	RA	RA	RA

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 6 itens – 72 pontos

Resposta aberta: 9 itens – 128 pontos

Por grau de dificuldade

Fácil 2 itens – 26 pontos

Médio 11 itens – 144 pontos

Difícil 2 itens – 30 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº3 – Funções: propriedades, quadrática e módulo

Teste nº3

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

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