Ficha nº4

Percentis, quartis e desvio padrão

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil

5 fáceis6 médios4 difíceis

Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução.

🟢 Nível fácil

1Fácil Considere os dados ordenados $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}$ . Explique o que é o percentil de ordem $50$ e indique outro nome para ele.

Resolução

O percentil de ordem $50$ ( $P_{50}$ ) é um valor tal que pelo menos $50 %$ dos dados são menores ou iguais a ele e pelo menos $50 %$ são maiores ou iguais. É a mediana (e o $2 . º$ quartil, $Q_{2}$ ).

2Fácil Num estudo sobre a altura dos alunos do 10.º ano, obteve-se $P_{90} = 1,82$ m. Interprete este valor.

Resolução

Cerca de $90 %$ dos alunos têm altura menor ou igual a $1,82$ m (e cerca de $10 %$ têm altura superior).

3Fácil Determine os quartis dos dados $4, 7, 8, 10, 12, 15, 20$ e a amplitude interquartil.

Resolução

$n = 7$ . $Q_{1}$ : $7 \times 0,25 = 1,75$ , que não é inteiro, logo $Q_{1} = x_{2} = 7$ .

$Q_{2}$ : $7 \times 0,5 = 3,5$ , logo $Q_{2} = x_{4} = 10$ . $Q_{3}$ : $7 \times 0,75 = 5,25$ , logo $Q_{3} = x_{6} = 15$ .

Amplitude interquartil: $15 - 7 = 8$ .

4Fácil Numa distribuição, $Q_{1} = 12$ e $Q_{3} = 20$ . Calcule a amplitude interquartil e explique o que ela representa.

Resolução

$A I Q = 20 - 12 = 8$ . É a amplitude do intervalo onde se encontram (aproximadamente) os $50 %$ dos dados centrais.

5Fácil Duas turmas tiveram a mesma média num teste, mas a turma $A$ teve desvio padrão $1,2$ e a turma $B$ teve desvio padrão $3,5$ . Em que turma as classificações são mais parecidas entre si? Justifique.

Resolução

Na turma $A$ : um desvio padrão menor significa que os dados estão, em média, mais próximos da média.

🟠 Nível médio

6Médio Determine os quartis e a amplitude interquartil dos $12$ dados: $3, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 17$ .

Resolução

$Q_{1}$ : $12 \times 0,25 = 3$ (inteiro), logo $Q_{1} = \frac{x_{3} + x_{4}}{2} = \frac{6 + 7}{2} = 6,5$ .

$Q_{2}$ : $12 \times 0,5 = 6$ , logo $Q_{2} = \frac{x_{6} + x_{7}}{2} = \frac{8 + 9}{2} = 8,5$ .

$Q_{3}$ : $12 \times 0,75 = 9$ , logo $Q_{3} = \frac{x_{9} + x_{10}}{2} = \frac{11 + 12}{2} = 11,5$ .

$A I Q = 11,5 - 6,5 = 5$ .

7Médio Para os dados do exercício anterior, determine $P_{10}$ e $P_{90}$ .

Resolução

$P_{10}$ : $12 \times 0,1 = 1,2$ , logo $P_{10} = x_{2} = 5$ . $P_{90}$ : $12 \times 0,9 = 10,8$ , logo $P_{90} = x_{11} = 14$ .

8Médio Calcule a média e o desvio padrão dos dados $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ , usando $s = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \overline{x})^{2}}{n - 1}}$ .

Resolução

$\overline{x} = \frac{40}{8} = 5$ . Desvios ao quadrado: $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ ; soma: $32$ .

$s = \sqrt{\frac{32}{7}} \approx 2,14$ .

9Médio Considere os dados do exercício anterior.

9.1. Se adicionarmos $3$ a todos os dados, o que acontece à média e ao desvio padrão?

9.2. Se multiplicarmos todos os dados por $2$ , o que acontece à média e ao desvio padrão?

Resolução

9.1. A média passa a $8$ ; o desvio padrão não muda ( $\approx 2,14$ ), porque os desvios à média são os mesmos.

9.2. A média passa a $10$ e o desvio padrão também duplica ( $\approx 4,28$ ).

10Médio A tabela mostra as classificações de $20$ alunos.

Classificação	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$
N.º de alunos	$3$	$5$	$8$	$3$	$1$

10.1. Determine os quartis.

10.2. Determine $P_{90}$ .

Resolução

Ordenados: $x_{1}$ a $x_{3}$ são $10$ ; $x_{4}$ a $x_{8}$ são $12$ ; $x_{9}$ a $x_{16}$ são $14$ ; $x_{17}$ a $x_{19}$ são $16$ ; $x_{20}$ é $18$ .

10.1. $Q_{1} = \frac{x_{5} + x_{6}}{2} = 12$ ; $Q_{2} = \frac{x_{10} + x_{11}}{2} = 14$ ; $Q_{3} = \frac{x_{15} + x_{16}}{2} = 14$ .

10.2. $20 \times 0,9 = 18$ , logo $P_{90} = \frac{x_{18} + x_{19}}{2} = 16$ .

11Médio Os quartis das classificações de duas turmas foram: turma $A$ : $Q_{1} = 11$ , $Q_{2} = 13$ , $Q_{3} = 16$ ; turma $B$ : $Q_{1} = 12$ , $Q_{2} = 13$ , $Q_{3} = 14$ . Compare as duas distribuições.

Resolução

As medianas são iguais ( $13$ ). A amplitude interquartil é $5$ na turma $A$ e $2$ na turma $B$ : as classificações centrais da turma $B$ são muito mais homogéneas.

🔴 Nível difícil

12Difícil Os dados $6, 8, 10, 12, x$ têm média $10$ . Determine $x$ e o desvio padrão.

Resolução

$\frac{36 + x}{5} = 10 \Leftrightarrow x = 14$ .

Desvios: $- 4, - 2, 0, 2, 4$ ; soma dos quadrados: $40$ . $s = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3,16$ .

13Difícil As classificações de uma prova (de $0$ a $100$ ) tiveram média $50$ e desvio padrão $8$ . O professor decidiu acrescentar $5$ pontos a todos e depois converter para a escala de $0$ a $20$ (dividindo por $5$ ). Determine a nova média e o novo desvio padrão.

Resolução

Somar $5$ : média $55$ , desvio padrão $8$ . Dividir por $5$ : média $11$ , desvio padrão $1,6$ .

14Difícil A turma $A$ tem $20$ alunos com média $12,5$ e a turma $B$ tem $25$ alunos com média $14$ . Determine a média das duas turmas juntas. Por que razão não é $\frac{12,5 + 14}{2}$ ?

Resolução

Soma total: $20 \times 12,5 + 25 \times 14 = 250 + 350 = 600$ . Média: $\frac{600}{45} \approx 13,33$ .

Não é a média simples das duas médias porque as turmas têm números de alunos diferentes: a turma $B$ «pesa» mais.

15Difícil Construa um conjunto de $6$ dados em que $Q_{1} = 7$ , a mediana seja $10$ e $Q_{3} = 14$ . Verifique.

Resolução

Com $n = 6$ : $Q_{1} = x_{2}$ ( $6 \times 0,25 = 1,5$ ), $Q_{2} = \frac{x_{3} + x_{4}}{2}$ , $Q_{3} = x_{5}$ ( $6 \times 0,75 = 4,5$ ).

Por exemplo: $5, 7, 9, 11, 14, 18$ . $Q_{1} = 7$ ✔; $Q_{2} = \frac{9 + 11}{2} = 10$ ✔; $Q_{3} = 14$ ✔.

Ficha nº4 – Percentis, quartis e desvio padrão

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