Ficha nº1

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Vetores: conceito e operações

10.º ano – Matemática A – Tema 6 (Vetores no plano e no espaço)

📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil

6 fáceis7 médios2 difíceis

Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução.

🟢 Nível fácil

1Fácil Num paralelogramo $[A B C D]$ , indique um vetor igual a $\vec{A B}$ e um vetor simétrico de $\vec{A D}$ .

Resolução

$\vec{D C} = \vec{A B}$ (lados opostos paralelos, iguais e com o mesmo sentido).

$\vec{D A} = - \vec{A D}$ (ou $\vec{C B}$ ).

2Fácil Simplifique $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D}$ .

Resolução

Pela regra do triângulo, aplicada duas vezes: $\vec{A D}$ .

3Fácil Simplifique $\vec{A B} + \vec{B A}$ .

Resolução

$\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{A A} = \vec{0}$ .

4Fácil Se $‖ \vec{u} ‖ = 4$ , qual é a norma de $- 3 \vec{u}$ ?

(A) $- 12$

(B) $1$

(C) $7$

(D) $12$

Resolução

$| - 3 | \times 4 = 12$ .

Opção (D)

5Fácil Diga se é verdadeira ou falsa: “Dois vetores colineares têm sempre o mesmo sentido.”

Resolução

Falsa. Colineares significa com a mesma direção; podem ter sentidos opostos (por exemplo, $\vec{u}$ e $- \vec{u}$ ).

6Fácil Num hexágono regular $[A B C D E F]$ de centro $O$ , indique o ponto $A + \vec{O C}$ .

Resolução

Num hexágono regular, $[A B C O]$ é um losango: $\vec{O C} = \vec{A B}$ .

Logo $A + \vec{O C} = A + \vec{A B} = B$ .

🟠 Nível médio

7Médio Num paralelogramo $[A B C D]$ , mostre que $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Resolução

$\vec{A D} = \vec{B C}$ (lados opostos do paralelogramo).

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ (regra do paralelogramo).

8Médio Seja $M$ o ponto médio de $[A B]$ . Escreva $\vec{A M}$ e $\vec{M B}$ em função de $\vec{A B}$ .

Resolução

$\vec{A M} = \vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

9Médio Simplifique $\vec{A B} - \vec{C B}$ .

Resolução

$- \vec{C B} = \vec{B C}$ , logo $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

10Médio Simplifique $2 (\vec{u} - \vec{v}) + 3 \vec{v} - \vec{u}$ .

Resolução

$2 \vec{u} - 2 \vec{v} + 3 \vec{v} - \vec{u} = \vec{u} + \vec{v}$ .

11Médio No triângulo $[A B C]$ , $M$ e $N$ são os pontos médios de $[A B]$ e $[A C]$ . Mostre que $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ .

Resolução

$\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} (\vec{B A} + \vec{A C}) = \frac{1}{2} \vec{B C}$ .

Conclusão: o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro e mede metade.

12Médio Determine $k$ de modo que $‖ k \vec{u} ‖ = 10$ , sabendo que $‖ \vec{u} ‖ = 2$ .

Resolução

$| k | \times 2 = 10$ ⇔ $| k | = 5$ ⇔ $k = 5 \lor k = - 5$ .

13Médio Considere $\vec{v} = - 2 \vec{u}$ , com $\vec{u} \neq \vec{0}$ . Compare a direção, o sentido e a norma de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ .

Resolução

Mesma direção (colineares), sentidos opostos ( $- 2 < 0$ ) e $‖ \vec{v} ‖ = 2 ‖ \vec{u} ‖$ .

🔴 Nível difícil

14Difícil Seja $G$ o baricentro do triângulo $[A B C]$ e $M$ o ponto médio de $[B C]$ . Sabendo que $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A M}$ , mostre que $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Resolução

$\vec{G B} + \vec{G C} = 2 \vec{G M}$ ( $M$ é ponto médio de $[B C]$ ).

$\vec{G M} = \frac{1}{3} \vec{A M}$ e $\vec{G A} = - \frac{2}{3} \vec{A M}$ .

Soma: $- \frac{2}{3} \vec{A M} + 2 \times \frac{1}{3} \vec{A M} = \vec{0}$ .

15Difícil Os pontos $A$ , $B$ e $C$ verificam $\vec{A C} = 3 \vec{A B}$ . Os três pontos estão alinhados? Em que posição está $B$ relativamente a $A$ e $C$ ?

Resolução

Sim: $\vec{A C}$ e $\vec{A B}$ são colineares e têm o ponto $A$ comum.

Mesmo sentido e $\overset{―}{A B} = \frac{1}{3} \overset{―}{A C}$ : $B$ está entre $A$ e $C$ , a um terço do caminho de $A$ para $C$ .

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