Ficha de exames nº4

Provas de 2015–2017

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 4 fáceis10 médios1 difícil

1Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2015, 1.ª fase, item 3 do Grupo III

Os 28 alunos de uma turma registaram o tempo, em minutos, que cada um demorou a realizar um conjunto de atividades de preparação. A distribuição dos tempos está resumida no diagrama de extremos e quartis, cujos valores são apresentados na tabela seguinte.

Mínimo	1.º quartil	Mediana	3.º quartil	Máximo
35	55	70	75	80

Sabe-se que nenhum aluno demorou exatamente 70 minutos.
Quantos alunos demoraram mais de 70 minutos? Justifique a sua resposta.

Resolução

No diagrama de extremos e quartis, a mediana é $70$ minutos.

A mediana divide os dados ordenados em duas partes com o mesmo número de elementos: como $n = 28$ é par, a mediana é a média do 14.º e do 15.º tempos.

Como nenhum aluno demorou exatamente 70 minutos, os 14 primeiros tempos são inferiores a 70 e os 14 últimos são superiores a 70.

14 alunos demoraram mais de 70 minutos.

2Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2015, 2.ª fase, item 2.2

O Sr. Pereira registou, durante os 30 dias de abril, a quantia gasta diariamente em portagens (Tabela). Em novembro (também com 30 dias) fez o mesmo e representou os dados num histograma de frequências relativas acumuladas, com as mesmas classes; nesse histograma, a frequência relativa acumulada da classe $[5, 10 [$ é $30 %$ .

Gasto diário em abril (euros)	N.º de dias
[0, 5[	3
[5, 10[	9
[10, 15[	15
[15, 20[	3

O Sr. Pereira afirmou: «Curioso, nos meses de abril e de novembro, foi igual o número de dias em que a quantia gasta em portagens foi inferior a 10 euros.»
Verifique se o Sr. Pereira tem razão.

Resolução

Em abril, os dias com gasto inferior a 10 euros correspondem às classes $[0, 5 [$ e $[5, 10 [$ : $3 + 9 = 12$ dias.

Em novembro, a frequência relativa acumulada até 10 euros (classe $[5, 10 [$ ) é $30 %$ .

Número de dias de novembro com gasto inferior a 10 euros: $0,30 \times 30 = 9$ dias.

Alternativa: em abril, a frequência relativa acumulada da classe $[5, 10 [$ é $\frac{12}{30} = 40 % \neq 30 %$ .

O Sr. Pereira não tem razão: em abril foram 12 dias e em novembro foram 9 dias.

3Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2015, 2.ª fase, item 2.2 do Grupo IV

Na estação meteorológica de Viana do Castelo, para os anos de 2010 a 2013, sabe-se que:
• a média da precipitação anual nesses quatro anos foi de $1270,125$ mm;
• a mediana da precipitação anual nesses quatro anos foi de $1314,350$ mm;
• 2012 foi o ano com menor precipitação anual dos quatro;
• 2013 foi o ano com maior precipitação anual dos quatro.
Determine a média, em milímetros, dos valores da precipitação anual de 2012 e de 2013.

Resolução

Ordenando os quatro valores, 2012 é o menor e 2013 o maior; logo os dois valores centrais são os de 2010 e de 2011.

Como $n = 4$ , a mediana é a média dos dois valores centrais: $\frac{p_{2010} + p_{2011}}{2} = 1314,350 \Rightarrow p_{2010} + p_{2011} = 2628,7$ .

Pela média: $\frac{p_{2010} + p_{2011} + p_{2012} + p_{2013}}{4} = 1270,125 \Rightarrow$ soma total $= 5080,5$ .

$p_{2012} + p_{2013} = 5080,5 - 2628,7 = 2451,8$ .

Média pedida: $\frac{2451,8}{2} = 1225,9$ . A média é 1225,9 mm.

4Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2015, época especial, item 4.1

O número de sócios, $N$ , de um grupo desportivo, $t$ anos após o final de 1980, é bem aproximado pela reta de regressão $N (t) = a t + b$ dos dados da tabela (obtida com a calculadora, por mínimos quadrados).

Ano (final de)	1980	1990	2000	2010
t	0	10	20	30
N.º de sócios	10 585	23 150	30 981	39 125

Admitindo que o modelo é válido entre o final de 1980 e o final de 2010, estime o número de sócios no final de 2005. Apresente o resultado arredondado às unidades (nos cálculos intermédios conserve, no mínimo, uma casa decimal).

Resolução

Introduzimos na calculadora as listas $L_{1} = {0, 10, 20, 30}$ (valores de $t$ ) e $L_{2} = {10 585; 23 150; 30 981; 39 125}$ .

Regressão linear: $a \approx 934,5$ e $b \approx 11 942,6$ , ou seja, $N (t) = 934,5 t + 11 942,6$ (com $r \approx 0,993$ , forte associação linear positiva).

O final de 2005 corresponde a $t = 2005 - 1980 = 25$ .

$N (25) = 934,5 \times 25 + 11 942,6 = 23 362,5 + 11 942,6 = 35 305,1$ .

Estimam-se cerca de 35 305 sócios no final de 2005.

5Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2015, época especial, item 4.3

Nos 12 últimos jogos da equipa de futebol de um grupo desportivo, registou-se o número de sócios presentes em cada jogo:

Jogo	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
N.º de sócios	15 680	17 549	14 746	19 418	20 353	22 222	28 763	26 894	34 370	37 174	38 108	39 043

Determine a média e o desvio-padrão dos dados registados. Apresente os resultados com arredondamento às centésimas (nos cálculos intermédios conserve, no mínimo, quatro casas decimais).

Resolução

Soma dos 12 valores: $314 320$ .

Média: $\bar{x} = \frac{314 320}{12} \approx 26 193,33$ sócios.

Desvio-padrão (calculadora, lista com os 12 valores): considerando os dados como população, $σ \approx 8725,84$ ; usando a fórmula amostral (divisão por $n - 1 = 11$ ), $s \approx 9113,84$ .

$\bar{x} \approx 26 193,33$ e desvio-padrão $\approx 9113,84$ (ou $8725,84$ , se se dividir por $n$ ).

6Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2015, época especial, item 1.1 do Grupo I

Numa escola, perguntou-se a 100 alunos: «Dos cinco torneios de xadrez já realizados, em quantos participaste?». As respostas estão na tabela seguinte, em que $a$ e $b$ são números naturais.

N.º de torneios	0	1	2	3	4	5
N.º de alunos	a	25	15	11	b	10

Sabe-se que a média do número de torneios em que estes alunos participaram é $1,7$ .
Determine os valores de $a$ e de $b$ .

Resolução

Média: $\bar{x} = \frac{0 \times a + 1 \times 25 + 2 \times 15 + 3 \times 11 + 4 \times b + 5 \times 10}{100} = \frac{138 + 4 b}{100}$ .

$\frac{138 + 4 b}{100} = 1,7 \Leftrightarrow 138 + 4 b = 170 \Leftrightarrow 4 b = 32 \Leftrightarrow b = 8$ .

O total de alunos é 100: $a + 25 + 15 + 11 + 8 + 10 = 100 \Leftrightarrow a + 69 = 100 \Leftrightarrow a = 31$ .

$a = 31$ e $b = 8$ .

7Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2016, 1.ª fase, item 5.2

Num festival, numa noite, as pessoas distribuíram-se por três tendas: Dance, Tecno e Chill. A tabela indica o número de homens e de mulheres nas tendas Dance e Chill.

Tenda	Homens	Mulheres
Dance	1540	2720
Chill	840	680

A afluência à tenda Tecno correspondeu a 20% do total das pessoas nas três tendas e, das pessoas que estiveram na tenda Tecno, $\frac{3}{5}$ eram mulheres.
Quantos homens estiveram na tenda Tecno nessa noite?

Resolução

Pessoas nas tendas Dance e Chill: $1540 + 2720 + 840 + 680 = 5780$ .

Como a Tecno teve 20% do total, as tendas Dance e Chill correspondem a $80 %$ : total $= \frac{5780}{0,8} = 7225$ pessoas.

Pessoas na Tecno: $0,2 \times 7225 = 1445$ .

Mulheres na Tecno: $\frac{3}{5} \times 1445 = 867$ ; homens: $1445 - 867 = 578$ (ou $\frac{2}{5} \times 1445 = 578$ ).

Estiveram 578 homens na tenda Tecno.

8Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2016, 1.ª fase, itens 6.1 e 6.2

O diagrama de caule-e-folhas seguinte representa o número de elementos da organização presentes, por dia, no recinto de um festival, na edição de 2010 (15 dias). O algarismo das dezenas está no caule e o das unidades nas folhas; $a$ é um algarismo.

Caule	Folhas
7	5 7 7
8	0 0 3 a 8
9	3 9
10	0 0 2 5 5

Na edição de 2011, os dados correspondentes deram origem a um diagrama de extremos e quartis com os valores da tabela seguinte.

2011	Mínimo	1.º quartil	Mediana	3.º quartil	Máximo
N.º de elementos	75	80	100	105	110

a) Determine o valor de $a$ para que o número médio de elementos presentes por dia, em 2010, seja 90.

b) Considere agora $a = 8$ . Comente a afirmação: «Os dados situados entre o 1.º quartil e a mediana estão mais concentrados na amostra de 2010 do que na de 2011.» Apresente os valores do 1.º quartil e da mediana de 2010 e de 2011.

Resolução

a) Os 15 valores são $75, 77, 77, 80, 80, 83, 8 a, 88, 93, 99, 100, 100, 102, 105, 105$ , onde $8 a$ representa $80 + a$ .

Soma dos 14 valores conhecidos: $1264$ . Para média 90: $\frac{1264 + 80 + a}{15} = 90 \Leftrightarrow 1344 + a = 1350 \Leftrightarrow a = 6$ . $a = 6$ .

b) Com $a = 8$ , os dados ordenados de 2010 são 75,77,77,80,80,83,88,88,93,99,100,100,102,105,105 ( $n = 15$ ).

Mediana (8.º valor): $88$ . 1.º quartil (mediana dos 7 primeiros valores): $80$ .

Em 2010, entre $Q_{1}$ e a mediana a amplitude é $88 - 80 = 8$ ; em 2011 é $100 - 80 = 20$ .

Como 25% dos dados ocupam um intervalo menor em 2010, estão mais concentrados nesse ano. A afirmação é verdadeira (2010: $Q_{1} = 80$ , $M e = 88$ ; 2011: $Q_{1} = 80$ , $M e = 100$ ).

9Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2016, 2.ª fase, itens 6.1.1 e 6.1.2

A tabela indica a frequência cardíaca (pulsações por minuto) do vencedor de uma maratona, no final da prova, de 2006 a 2015. A média destes 10 valores é 166,5 pulsações por minuto.

Ano	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
Pulsações/min	165	166	166	168	170	170	P	160	160	168

Estudou-se também a relação entre a temperatura ambiente no final da maratona, $x$ (em °C), e a frequência cardíaca do vencedor, $y$ . A reta de regressão de $y$ sobre $x$ é $y = 0,71 x + 147,1$ .

a) Justifique que as três afirmações seguintes são falsas: (I) «O vencedor de 2012 terminou com uma frequência cardíaca entre 169 e 171 pulsações por minuto.» (II) «A mediana das frequências cardíacas é 170 pulsações por minuto.» (III) «O coeficiente de correlação linear entre a temperatura e a frequência cardíaca pode ser $- 0,85$ .»

b) Verifique se 31,7 °C é um valor admissível para a temperatura registada no final da maratona de 2006.

Resolução

a) (I) Soma dos 10 valores: $166,5 \times 10 = 1665$ ; soma dos 9 conhecidos: $1493$ ; logo $P = 1665 - 1493 = 172$ , que não está entre 169 e 171.

(II) Dados ordenados: $160, 160, 165, 166, 166, 168, 168, 170, 170, 172$ ; mediana $= \frac{166 + 168}{2} = 167 \neq 170$ .

(III) O declive da reta de regressão ( $0,71$ ) é positivo, logo a associação é positiva e $r > 0$ ; não pode ser $- 0,85$ .

As três afirmações são falsas ( $P = 172$ ; mediana $167$ ; $r$ positivo).

b) Para $x = 31,7$ : $y = 0,71 \times 31,7 + 147,1 \approx 169,6 \approx 170$ pulsações por minuto.

Em 2006 a frequência cardíaca foi 165, bastante abaixo de 170. Não é previsível que a temperatura tenha sido 31,7 °C.

10Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2016, 2.ª fase, item 1.1 do Grupo II

A tabela seguinte apresenta registos, feitos em diferentes momentos numa certa região, do número de pessoas infetadas pelo vírus da gripe, $x$ , e do número de hospitalizações associadas à gripe, $y$ .

Pessoas infetadas (x)	31	857	11 973	12 000	86 000	86 123	320 083	616 545
Hospitalizações (y)	6	117	1000	1100	5426	6000	13 848	18 339

Recorrendo à reta de regressão de $y$ sobre $x$ , estime o número de hospitalizações associadas à gripe nessa região, caso existam $250 000$ pessoas infetadas.
Apresente os parâmetros da reta com quatro casas decimais e o resultado arredondado aos milhares.

Resolução

Introduzimos os valores de $x$ na lista L1 e os de $y$ na lista L2 (8 pares de valores) e efetuamos a regressão linear $y = a x + b$ .

Obtemos $a \approx 0,0304$ e $b \approx 1418,9582$ ( $r \approx 0,97$ ).

Reta de regressão: $y = 0,0304 x + 1418,9582$ .

Para $x = 250 000$ : $y = 0,0304 \times 250 000 + 1418,9582 = 7600 + 1418,9582 = 9018,9582$ .

Arredondando aos milhares: cerca de 9000 hospitalizações (9 milhares).

11Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2016, época especial, item 5.1

O histograma de frequências relativas acumuladas das idades dos jornalistas de uma estação de televisão tem as classes e os valores da tabela.

Idade (anos)	[20, 30[	[30, 40[	[40, 50[	[50, 60[
Freq. relativa acumulada	10%	30%	80%	100%

Determine a média aproximada das idades dos jornalistas.

Resolução

Frequências relativas simples: $10 %$ ; $30 % - 10 % = 20 %$ ; $80 % - 30 % = 50 %$ ; $100 % - 80 % = 20 %$ .

Marcas das classes: $25, 35, 45, 55$ .

$\bar{x} \approx 25 \times 0,1 + 35 \times 0,2 + 45 \times 0,5 + 55 \times 0,2 = 2,5 + 7 + 22,5 + 11$ .

A média aproximada é 43 anos.

12Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2016, época especial, item 5.2 (adaptado)

A tabela indica a altura dos jornalistas de uma redação.

Altura (cm)	N.º de jornalistas
[160, 170[	4
[170, 180[	8
[180, 190[	6
[190, 200[	2

Construa o histograma e o polígono de frequências relativas acumuladas, indique a classe mediana e determine um valor aproximado da mediana (por processo geométrico, isto é, por interpolação linear no polígono de frequências relativas acumuladas).

Resolução

Total: $20$ jornalistas. Frequências relativas: $20 %, 40 %, 30 %, 10 %$ ; acumuladas: $20 %, 60 %, 90 %, 100 %$ .

O polígono de frequências relativas acumuladas une os pontos $(160; 0)$ , $(170; 20)$ , $(180; 60)$ , $(190; 90)$ e $(200; 100)$ .

A mediana corresponde a $50 %$ , que é atingida na classe $[170, 180 [$ : classe mediana $[170, 180 [$ .

No segmento de $(170; 20)$ a $(180; 60)$ : $M e \approx 170 + \frac{50 - 20}{60 - 20} \times 10 = 170 + 7,5 = 177,5$ .

A mediana é, aproximadamente, 177,5 cm.

13Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2016, época especial, item 2.1 do Grupo II

O diâmetro biparietal de um feto, $x$ , medido por ecografia na 34.ª semana de gravidez, e o perímetro cefálico do recém-nascido, $y$ , ambos em centímetros, foram registados para onze bebés (dados de um diagrama de dispersão).

Diâmetro biparietal, cm (x)	7,49	7,81	8,21	8,23	8,30	8,66	8,76	8,97	9,04	9,07	9,24
Perímetro cefálico, cm (y)	30,36	31,99	33,66	34,22	35,26	35,51	34,86	36,44	35,30	36,97	37,63

Determine o valor do coeficiente de correlação linear entre $x$ e $y$ , arredondado às centésimas, e interprete-o.

Resolução

Introduzimos os valores de $x$ na lista L1 e os de $y$ na lista L2.

Na calculadora, com a regressão linear, obtemos o coeficiente de correlação $r \approx 0,9437$ .

Arredondando às centésimas: $r \approx 0,94$ .

Como $r$ é positivo e próximo de 1, existe uma correlação linear positiva forte: bebés com maior diâmetro biparietal tendem a ter maior perímetro cefálico.

$r \approx 0,94$ (correlação linear positiva forte).

14Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2017, 1.ª fase, item 6.1

Uma loja registou as vendas semanais (em euros) durante $14$ semanas:

1.º período: $184; 224; 232; 240; 280; 328; 312$
2.º período: $208; 200; 256; 264; 280; 344; 288$

Determine a mediana das $14$ semanas.

Resolução

Ordenando: 184; 200; 208; 224; 232; 240; 256; 264; 280; 280; 288; 312; 328; 344.

$n = 14$ : mediana é a média do $7 .^{\circ}$ e $8 .^{\circ}$ valores: $\frac{256 + 264}{2} = 260$ euros.

15Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2017, 1.ª fase, item 6.2

Com os dados do exercício anterior, compare a média semanal dos dois períodos e calcule a média global. Se, no período seguinte, todas as vendas semanais aumentassem $12,5 %$ em relação à média global, qual seria a nova média?

Resolução

1.º período: ${\bar{x}}_{A} = \frac{1800}{7} \approx 257,14$ €; 2.º período: ${\bar{x}}_{B} = \frac{1840}{7} \approx 262,86$ €. O 2.º período teve média superior.

Média global: $\frac{3640}{14} = 260$ €.

Multiplicar todos os valores por $1,125$ multiplica a média pelo mesmo fator: $260 \times 1,125 = 292,5$ €.

Ficha de exames nº4 – Estatística (2015–2017)

Ficha de exames nº4

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

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