Teste nº6 – Síntese: pontos notáveis, reta de Euler e demonstrações

Uma circunferência é tangente a uma reta se e só se a distância do centro à reta é igual ao raio.

O centro de uma circunferência tangente a $r$ e a $s$ está, portanto, à mesma distância de $r$ e de $s$, e o raio é ${\displaystyle \frac{8}{2}}=4$ cm.

Os pontos equidistantes de duas retas paralelas formam a reta paralela a ambas situada a meio caminho entre elas. Na opção (C), uma das retas fica fora da faixa e os seus pontos distam $12$ cm de $s$.

Opção (D)

2.1.

O triângulo $[ADB]$ é retângulo em $D$ e isósceles ($\overline{AD}=\overline{BD}$), logo $B\widehat{A}D={\displaystyle \frac{{90}^{\circ }}{2}}={45}^{\circ }$.

No triângulo $[ADC]$, retângulo em $D$, tem-se $\overline{DC}=100-20=80$ km $>\overline{AD}=20$ km.

Num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo: $D\widehat{A}C>D\widehat{C}A$. Como $D\widehat{A}C+D\widehat{C}A={90}^{\circ }$, conclui-se que $D\widehat{A}C>{45}^{\circ }$.

Como $D$ está entre $B$ e $C$: $B\widehat{A}C=B\widehat{A}D+D\widehat{A}C>{45}^{\circ }+{45}^{\circ }={90}^{\circ }$.

Logo, o ângulo $B\widehat{A}C$ é obtuso.

2.2.

$O$ é o circuncentro de $[ABC]$. Como o triângulo é obtusângulo em $A$, o circuncentro é exterior ao triângulo, situando-se no semiplano oposto a $A$ relativamente à reta $BC$ (o arco $BC$ que contém $A$ é menor que uma semicircunferência).

$O$ pertence à mediatriz de $[BC]$, que passa no ponto médio $M$ ($\overline{BM}=50$ km, $\overline{DM}=30$ km). Seja $h=\overline{OM}$. No triângulo $[OMB]$: ${\overline{OB}}^2={50}^2+h^2$.

Seja $K$ a projeção ortogonal de $O$ sobre a reta $AD$: $\overline{OK}=\overline{DM}=30$ km e, como $A$ e $O$ estão em lados opostos de $BC$, $\overline{AK}=\overline{AD}+\overline{DK}=20+h$. Logo, ${\overline{OA}}^2={30}^2+(20+h{)}^2$.

$2500+h^2=900+400+40h+h^2\iff 40h=1200\iff h=30$ km.

$\overline{OB}=\sqrt{2500+900}=\sqrt{3400}=10\sqrt{34}\approx \mathrm{58,3}$ km.

O centro de distribuição fica fora do triângulo, a $30$ km da reta $BC$, e a cerca de $\mathrm{58,3}$ km de cada cidade.

Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa mede $\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm.

Área $={\displaystyle \frac{8\times 15}{2}}=60$ cm${}^2$ e semiperímetro $s={\displaystyle \frac{8+15+17}{2}}=20$ cm.

$r={\displaystyle \frac{60}{20}}=3$ cm. O valor $\mathrm{8,5}$ cm é o raio da circunferência circunscrita (metade da hipotenusa).

Opção (A)

O quadrilátero $[ABC{B}^{\prime }]$ tem $A{B}^{\prime }\parallel BC$ e $C{B}^{\prime }\parallel AB$, logo é um paralelogramo e $\overline{A{B}^{\prime }}=\overline{BC}$.

Do mesmo modo, $[A{C}^{\prime }BC]$ é um paralelogramo ($A{C}^{\prime }\parallel BC$ e $B{C}^{\prime }\parallel AC$), logo $\overline{A{C}^{\prime }}=\overline{BC}$. Como $B^{\prime }$, $A$ e $C^{\prime }$ são colineares, $A$ é o ponto médio de $[B^{\prime }{C}^{\prime }]$.

A altura relativa a $[BC]$ passa em $A$ e é perpendicular a $BC$, logo também é perpendicular a $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (paralela a $BC$). Assim, é a mediatriz de $[B^{\prime }{C}^{\prime }]$.

Analogamente, as alturas relativas a $[CA]$ e $[AB]$ são as mediatrizes de $[C^{\prime }{A}^{\prime }]$ e $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$.

As mediatrizes dos lados de um triângulo intersetam-se num ponto (o circuncentro de $[A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }]$).

Logo, as três alturas de $[ABC]$ são concorrentes, sendo o ortocentro de $[ABC]$ o circuncentro de $[A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }]$.

5.1.

Como $[A{A}^{\prime }]$ é um diâmetro, o ângulo $A\widehat{C}{A}^{\prime }$ está inscrito numa semicircunferência, logo $A^{\prime }C⟂AC$.

A reta $BH$ contém a altura relativa a $[AC]$, logo $BH⟂AC$. Duas retas perpendiculares à mesma reta são paralelas: $BH\parallel A^{\prime }C$.

Do mesmo modo, $A\widehat{B}{A}^{\prime }={90}^{\circ }$, logo $A^{\prime }B⟂AB$; e $CH⟂AB$. Assim, $CH\parallel A^{\prime }B$.

O quadrilátero $[BHC{A}^{\prime }]$ tem os lados opostos paralelos, logo é um paralelogramo.

5.2.

As diagonais de um paralelogramo bissetam-se; as diagonais de $[BHC{A}^{\prime }]$ são $[BC]$ e $[H{A}^{\prime }]$, logo o ponto médio $M$ de $[BC]$ é também o ponto médio de $[H{A}^{\prime }]$.

No triângulo $[AH{A}^{\prime }]$, $O$ é o ponto médio de $[A{A}^{\prime }]$ e $M$ é o ponto médio de $[A^{\prime }H]$.

Os triângulos $[A^{\prime }OM]$ e $[A^{\prime }AH]$ são semelhantes (critério LAL: ângulo comum em $A^{\prime }$ e ${\displaystyle \frac{\overline{A^{\prime }O}}{\overline{A^{\prime }A}}}={\displaystyle \frac{\overline{A^{\prime }M}}{\overline{A^{\prime }H}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$), logo $\overline{OM}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overline{AH}$.

Portanto, $\overline{AH}=2\overline{OM}$.

Os ângulos inscritos $A\widehat{B}C$ e $A\widehat{D}C$ compreendem os dois arcos $AC$, cujas amplitudes somam ${360}^{\circ }$; logo, $A\widehat{B}C+A\widehat{D}C={\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{2}}={180}^{\circ }$.

$3A\widehat{D}C+A\widehat{D}C={180}^{\circ }\iff A\widehat{D}C={45}^{\circ }$.

O valor ${135}^{\circ }$ é a amplitude de $A\widehat{B}C$ (distrator).

Opção (B)

7.1.

Os triângulos $[BDH]$ e $[ADC]$ são retângulos em $D$ e $D\widehat{B}H={90}^{\circ }-A\widehat{C}B=D\widehat{A}C$, logo são semelhantes (AA): $\overline{DH}={\displaystyle \frac{\overline{BD}\times \overline{DC}}{\overline{AD}}}={\displaystyle \frac{2\times 6}{6}}=2$ cm.

$O$ pertence à mediatriz de $[BC]$: $OM⟂BC$, com $\overline{BM}=4$ cm e $\overline{DM}=2$ cm. Como o triângulo é acutângulo, $O$ é interior; seja $h=\overline{OM}$.

${\overline{OB}}^2=4^2+h^2$ e, projetando $O$ sobre $AD$, ${\overline{OA}}^2=2^2+(6-h{)}^2$.

$16+h^2=4+36-12h+h^2\iff 12h=24\iff h=2$ cm.

$\overline{DH}=\overline{MO}=2$ cm: $H$ e $O$ estão ambos a $2$ cm da reta $BC$.

7.2.

$DH$ e $MO$ são perpendiculares a $BC$, situam-se no mesmo semiplano e têm o mesmo comprimento ($2$ cm), logo $[DHOM]$ é um retângulo e $HO\parallel BC$: a reta de Euler $HO$ é paralela a $BC$.

$N$ é o ponto médio de $[HO]$; a sua projeção $K$ sobre $BC$ é o ponto médio de $[DM]$, com $\overline{DK}=\overline{KM}=1$ cm e $\overline{NK}=2$ cm. Logo, $\overline{ND}=\overline{NM}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ cm.

$\overline{AH}=6-2=4$ cm, logo $P$ está em $[AD]$ a $2+2=4$ cm de $BC$; a distância de $N$ à reta $AD$ é $\overline{DK}=1$ cm e a diferença de alturas é $4-2=2$ cm: $\overline{NP}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ cm.

Circunraio: $\overline{OB}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ cm.

$\overline{ND}=\overline{NM}=\overline{NP}=\sqrt{5}$ cm, que é metade do circunraio $2\sqrt{5}$ cm, como prevê a propriedade da circunferência dos nove pontos.

$G$ divide cada mediana na razão $2:1$ a partir do vértice: $\overline{AG}={\displaystyle \frac{2}{3}}\times 9=6$ cm e $\overline{BG}={\displaystyle \frac{2}{3}}\times 12=8$ cm.

O triângulo $[AGB]$ é retângulo em $G$: a sua área é ${\displaystyle \frac{6\times 8}{2}}=24$ cm${}^2$.

As medianas dividem o triângulo em três triângulos $[GAB]$, $[GBC]$ e $[GCA]$ com a mesma área, logo a área de $[ABC]$ é $3\times 24=72$ cm${}^2$.

Opção (D)

Por hipótese, $\overline{MA}={\displaystyle \frac{\overline{BC}}{2}}=\overline{MB}=\overline{MC}$.

O triângulo $[AMB]$ é isósceles ($\overline{MA}=\overline{MB}$), logo $M\widehat{A}B=A\widehat{B}C$.

O triângulo $[AMC]$ é isósceles ($\overline{MA}=\overline{MC}$), logo $M\widehat{A}C=A\widehat{C}B$.

Somando: $B\widehat{A}C=M\widehat{A}B+M\widehat{A}C=A\widehat{B}C+A\widehat{C}B$. Como $B\widehat{A}C+A\widehat{B}C+A\widehat{C}B={180}^{\circ }$, vem $2B\widehat{A}C={180}^{\circ }$.

$B\widehat{A}C={90}^{\circ }$: o triângulo é retângulo em $A$. (Equivalentemente, $A$ pertence à circunferência de diâmetro $[BC]$.)

Seja $P$ o ponto comum. $P$ é interior ao triângulo (o incentro é sempre interior), logo $P\ne A$; a altura e a bissetriz relativas a $A$ passam ambas em $A$ e em $P$, pelo que coincidem.

Se a bissetriz de $A$ é perpendicular a $BC$ no ponto $D$, os triângulos $[ADB]$ e $[ADC]$ são congruentes (ALA), logo $\overline{AB}=\overline{AC}$.

Repetindo o raciocínio para o vértice $B$, obtém-se $\overline{BA}=\overline{BC}$; logo, o triângulo é equilátero.

Opção (C)

Os pontos equidistantes de $A$ e de $C$ formam a mediatriz de $[AC]$; como as diagonais de um quadrado são perpendiculares e bissetam-se, essa mediatriz é a reta $BD$.

Os pontos do jardim mais próximos de $A$ do que de $C$ formam o triângulo $[ABD]$ (excluindo $[BD]$).

Os pontos regados formam o círculo de centro $B$ e raio $4$; como $\overline{BA}=4$ e o arco de centro $B$ entre $[BA]$ e $[BD]$ fica dentro do triângulo $[ABD]$, a região é um setor circular de raio $4$ e ângulo $A\widehat{B}D={45}^{\circ }$.

Área do setor: ${\displaystyle \frac{45}{360}}\times \pi \times 4^2={\displaystyle \frac{1}{8}}\times 16\pi =2\pi$.

A área da região é $2\pi$ m${}^2$ ($\approx \mathrm{6,28}$ m${}^2$).

Como $PI\parallel BC$, os ângulos alternos internos $P\widehat{I}B$ e $I\widehat{B}C$ são iguais.

Como $I$ pertence à bissetriz do ângulo $A\widehat{B}C$, $I\widehat{B}C=P\widehat{B}I$. Logo, $P\widehat{I}B=P\widehat{B}I$ e o triângulo $[PBI]$ é isósceles, com $\overline{PI}=\overline{PB}$.

Analogamente, $Q\widehat{I}C=I\widehat{C}B=Q\widehat{C}I$, pelo que o triângulo $[QCI]$ é isósceles e $\overline{QI}=\overline{QC}$.

Como $I$ pertence ao segmento de reta $[PQ]$: $\overline{PQ}=\overline{PI}+\overline{IQ}$.

Logo, $\overline{PQ}=\overline{PB}+\overline{QC}$.