Ficha nº1

Generalidades sobre funções

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil

6 fáceis7 médios2 difíceis

Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução.

🟢 Nível fácil

1Fácil Considere os conjuntos $A = {1, 2, 3}$ e $B = {a, b, c, d}$ . Diga, justificando, quais das correspondências seguintes de $A$ em $B$ são funções.

1.1. $1 \mapsto a, 2 \mapsto b, 3 \mapsto b$

1.2. $1 \mapsto a, 1 \mapsto c, 2 \mapsto b, 3 \mapsto d$

1.3. $1 \mapsto d, 2 \mapsto c$

Resolução

1.1. É função: cada elemento de $A$ tem uma e uma só imagem (não há problema em $2$ e $3$ terem a mesma imagem). O contradomínio é ${a, b}$ .

1.2. Não é função: o objeto $1$ tem duas imagens, $a$ e $c$ .

1.3. Não é função de $A$ em $B$ : o elemento $3$ não tem imagem.

2Fácil Seja $f$ a função de domínio ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ definida por $f (x) = x^{2} - 1$ .

2.1. Calcule $f (- 2)$ e $f (1)$ .

2.2. Determine o contradomínio de $f$ .

2.3. Indique os objetos cuja imagem é $3$ .

Resolução

2.1. $f (- 2) = (- 2)^{2} - 1 = 3$ e $f (1) = 1^{2} - 1 = 0$ .

2.2. $f (- 2) = 3$ , $f (- 1) = 0$ , $f (0) = - 1$ , $f (1) = 0$ , $f (2) = 3$ . Logo $D_{f}^{'} = {- 1, 0, 3}$ .

2.3. $f (x) = 3$ para $x = - 2$ e $x = 2$ .

3Fácil Qual dos seguintes conjuntos de pontos pode ser o gráfico de uma função?

(A) ${(1, 2), (2, 3), (1, 3)}$

(B) ${(0, 0), (0, 1), (1, 1)}$

(C) ${(2, 1), (2, - 1), (3, 0)}$

(D) ${(- 1, 4), (0, 4), (1, 4)}$

Resolução

Uma função não pode ter dois pontos com a mesma abcissa e ordenadas diferentes.

(A) tem $(1, 2)$ e $(1, 3)$ ; (B) tem $(0, 0)$ e $(0, 1)$ ; (C) tem $(2, 1)$ e $(2, - 1)$ . Em (D) cada abcissa aparece uma só vez.

Opção (D)

4Fácil O custo, em euros, de uma corrida de táxi é dado por $C (d) = 3,25 + 0,80 d$ , em que $d$ é a distância percorrida, em quilómetros.

4.1. Identifique a variável independente e a variável dependente.

4.2. Quanto custa uma corrida de $12$ km?

4.3. Uma corrida custou $14,45$ €. Que distância foi percorrida?

Resolução

4.1. A variável independente é a distância $d$ (km); a variável dependente é o custo $C$ (€).

4.2. $C (12) = 3,25 + 0,80 \times 12 = 3,25 + 9,60 = 12,85$ €.

4.3. $3,25 + 0,80 d = 14,45$ ⇔ $0,80 d = 11,20$ ⇔ $d = 14$ . Foram percorridos $14$ km.

5Fácil A tabela define uma função $f$ :
$x$ : $- 1, 0, 1, 2$
$f (x)$ : $3, 1, - 1, - 3$

5.1. Indique o domínio e o contradomínio de $f$ .

5.2. Indique $f (0)$ e o objeto cuja imagem é $- 3$ .

Resolução

5.1. $D_{f} = {- 1, 0, 1, 2}$ e $D_{f}^{'} = {- 3, - 1, 1, 3}$ .

5.2. $f (0) = 1$ . O objeto cuja imagem é $- 3$ é $2$ .

6Fácil Seja $f (x) = 2 x^{2} - 3$ . Calcule $f (0)$ , $f (- 1)$ e $f (\sqrt{2})$ .

Resolução

$f (0) = - 3$ ; $f (- 1) = 2 \times 1 - 3 = - 1$ ; $f (\sqrt{2}) = 2 \times 2 - 3 = 1$ .

🟠 Nível médio

7Médio Na figura está representado o gráfico da função $f$ , de domínio $[- 2, 4 [$ .

7.1. Indique $f (1)$ e os zeros de $f$ .

7.2. Indique o contradomínio de $f$ .

7.3. Indique os intervalos de monotonia e o máximo de $f$ .

7.4. Sabendo que $f (x) = - 0,5 (x - 1)^{2} + 4,5$ , resolva a condição $f (x) > 4$ .

Resolução

7.1. O vértice do gráfico é $(1; 4,5)$ , logo $f (1) = 4,5$ . O gráfico intersecta o eixo $O x$ em $x = - 2$ (bola cheia, pertence ao domínio). Em $x = 4$ a bola é vazia: $4$ não pertence ao domínio. O único zero é $- 2$ .

7.2. As imagens vão de $0$ (atingido em $x = - 2$ ) até $4,5$ . Logo $D_{f}^{'} = [0; 4,5]$ .

7.3. $f$ é crescente em $[- 2, 1]$ e decrescente em $[1, 4 [$ . O máximo é $4,5$ , atingido em $x = 1$ .

7.4. $- 0,5 (x - 1)^{2} + 4,5 > 4$ ⇔ $(x - 1)^{2} < 1$ ⇔ $- 1 < x - 1 < 1$ ⇔ $0 < x < 2$ . Solução: $] 0, 2 [$ .

8Médio Determine o domínio da função real de variável real $g (x) = \frac{3}{x - 2}$ e calcule $g (5)$ .

Resolução

Uma fração só está definida se o denominador for diferente de zero: $x - 2 \neq 0 ⟺ x \neq 2$ . Logo $D_{g} = ℝ ⧵ {2}$ .

$g (5) = \frac{3}{5 - 2} = 1$ .

9Médio Considere as funções $f (x) = 3 x - 1$ e $g (x) = x^{2}$ .

9.1. Calcule $f (2) + g (- 3)$ .

9.2. Determine o objeto que tem imagem $8$ por $f$ .

Resolução

9.1. $f (2) = 5$ e $g (- 3) = 9$ . Soma: $14$ .

9.2. $3 x - 1 = 8 ⟺ 3 x = 9 ⟺ x = 3$ .

10Médio Determine o domínio da função $h (x) = \sqrt{x - 4}$ e calcule $h (13)$ .

Resolução

A raiz quadrada só está definida em $ℝ$ para radicandos não negativos: $x - 4 \geq 0 ⟺ x \geq 4$ . $D_{h} = [4, + \infty [$ .

$h (13) = \sqrt{9} = 3$ .

11Médio Seja $f$ a função de domínio $ℝ$ definida por $f (x) = x^{2} + 1$ . Mostre que $0$ não pertence ao contradomínio de $f$ e indique o contradomínio.

Resolução

Para todo o $x$ real, $x^{2} \geq 0$ , logo $x^{2} + 1 \geq 1$ . Assim $f (x) \geq 1 > 0$ e $0$ nunca é imagem.

Qualquer $y \geq 1$ é imagem de $x = \sqrt{y - 1}$ . Logo $D_{f}^{'} = [1, + \infty [$ .

12Médio Considere $f (x) = x^{2} - 3 x$ .

12.1. O ponto $(2, k)$ pertence ao gráfico de $f$ . Determine $k$ .

12.2. Determine os pontos do gráfico de $f$ com ordenada $0$ .

Resolução

12.1. $k = f (2) = 4 - 6 = - 2$ .

12.2. $x^{2} - 3 x = 0$ ⇔ $x (x - 3) = 0$ ⇔ $x = 0 \lor x = 3$ . Pontos $(0, 0)$ e $(3, 0)$ .

13Médio Escreva a expressão analítica da função $f$ que a cada número real faz corresponder o dobro do seu quadrado diminuído de $5$ e calcule $f (- 2)$ .

Resolução

$f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

$f (- 2) = 2 \times 4 - 5 = 3$ .

🔴 Nível difícil

14Difícil Um quadrado tem perímetro $p$ (em cm). Escreva a área $A$ do quadrado em função de $p$ , indique o domínio (no contexto do problema) e calcule $A (20)$ .

Resolução

O lado mede $\frac{p}{4}$ , logo $A (p) = {(\frac{p}{4})}^{2} = \frac{p^{2}}{16}$ .

Como $p$ é um comprimento positivo, o domínio é $] 0, + \infty [$ .

$A (20) = \frac{400}{16} = 25 {cm}^{2}$ .

15Difícil Seja $f (x) = x^{2} + b x$ , com $b \in ℝ$ . Sabe-se que $f (2) = 10$ . Determine $b$ e os zeros de $f$ .

Resolução

$f (2) = 4 + 2 b = 10 ⟺ b = 3$ .

$f (x) = x^{2} + 3 x = x (x + 3)$ , logo os zeros são $0$ e $- 3$ .

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