Ficha nº4

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Equações e inequações do 2.º grau e problemas

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil

4 fáceis8 médios3 difíceis

Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução.

🟢 Nível fácil

1Fácil Resolva, em $ℝ$ : $x^{2} = 16$ e $x^{2} + 9 = 0$ .

Resolução

$x^{2} = 16 ⟺ x = - 4 \lor x = 4$ .

$x^{2} + 9 = 0 ⟺ x^{2} = - 9$ : impossível em $ℝ$ (um quadrado nunca é negativo).

2Fácil Resolva a equação $3 x^{2} - 12 x = 0$ .

Resolução

$3 x (x - 4) = 0 ⟺ x = 0 \lor x = 4$ .

3Fácil Resolva a equação $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ .

Resolução

$x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2} = 0 ⟺ x = 3$ (solução dupla).

4Fácil Resolva, em $ℝ$ , as equações.

4.1. $x^{2} - 5 x = 0$

4.2. $4 x^{2} - 9 = 0$

4.3. $x^{2} + 2 x - 15 = 0$

4.4. $(x - 1)^{2} = 2 (x + 3)$

Resolução

4.1. $x (x - 5) = 0 ⟺ x = 0 \lor x = 5$ .

4.2. $x^{2} = \frac{9}{4}$ ⇔ $x = - \frac{3}{2} \lor x = \frac{3}{2}$ .

4.3. $x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{- 2 \pm 8}{2}$ ⇔ $x = - 5 \lor x = 3$ .

4.4. $x^{2} - 2 x + 1 = 2 x + 6$ ⇔ $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ ⇔ $x = \frac{4 \pm 6}{2}$ ⇔ $x = - 1 \lor x = 5$ .

🟠 Nível médio

5Médio Resolva, em $ℝ$ , as inequações.

5.1. $x^{2} - x - 6 \leq 0$

5.2. $- x^{2} + 4 x < 0$

5.3. $x^{2} + 1 > 0$

5.4. $2 x^{2} \geq x + 3$

Resolução

5.1. Zeros $- 2$ e $3$ ; concavidade para cima: $\leq 0$ entre os zeros. Solução: $[- 2, 3]$ .

5.2. $- x (x - 4) < 0$ ; zeros $0$ e $4$ ; concavidade para baixo: negativa fora dos zeros. Solução: $] - \infty, 0 [\cup] 4, + \infty [$ .

5.3. $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ para todo o $x$ . Solução: $ℝ$ .

5.4. $2 x^{2} - x - 3 \geq 0$ ; zeros $\frac{1 \pm 5}{4}$ , ou seja $- 1$ e $\frac{3}{2}$ ; concavidade para cima. Solução: $] - \infty, - 1] \cup [\frac{3}{2}, + \infty [$ .

6Médio Um retângulo tem perímetro $20$ cm. Sendo $x$ o comprimento de um dos lados, mostre que a área é $A (x) = 10 x - x^{2}$ e determine as dimensões do retângulo de área máxima.

Resolução

O outro lado mede $\frac{20 - 2 x}{2} = 10 - x$ , com $0 < x < 10$ . Área: $A (x) = x (10 - x) = 10 x - x^{2}$ .

Vértice: $x = 5$ ; $A (5) = 25$ . A área máxima é $25 {cm}^{2}$ , com um quadrado de lado $5$ cm.

7Médio Determine os valores de $k$ para os quais a equação $x^{2} + k x + 4 = 0$ tem duas soluções distintas.

Resolução

$Δ > 0 ⟺ k^{2} - 16 > 0$ .

Os zeros de $k^{2} - 16$ são $\pm 4$ e a concavidade é para cima: $k < - 4 \lor k > 4$ .

Solução: $] - \infty, - 4 [\cup] 4, + \infty [$ .

8Médio Resolva a equação $x (x - 2) = 15$ .

Resolução

$x^{2} - 2 x - 15 = 0$ ⇔ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}$ ⇔ $x = - 3 \lor x = 5$ .

9Médio Resolva a inequação $x^{2} \geq 4 x$ .

Resolução

$x^{2} - 4 x \geq 0 ⟺ x (x - 4) \geq 0$ . Zeros $0$ e $4$ , concavidade para cima.

Solução: $] - \infty, 0] \cup [4, + \infty [$ .

10Médio Resolva a inequação $(x + 1) (x - 3) < 0$ .

Resolução

Zeros $- 1$ e $3$ ; a expressão é uma parábola com concavidade para cima, negativa entre os zeros.

Solução: $] - 1, 3 [$ .

11Médio O produto de dois números inteiros consecutivos é $72$ . Determine esses números.

Resolução

Sejam $n$ e $n + 1$ : $n (n + 1) = 72$ ⇔ $n^{2} + n - 72 = 0$ ⇔ $n = \frac{- 1 \pm 17}{2}$ ⇔ $n = 8 \lor n = - 9$ .

Os números são $8$ e $9$ , ou $- 9$ e $- 8$ .

12Médio Um jardim retangular tem área $40 m^{2}$ e o comprimento excede a largura em $3$ m. Determine as dimensões do jardim.

Resolução

Largura $x$ , comprimento $x + 3$ : $x (x + 3) = 40$ ⇔ $x^{2} + 3 x - 40 = 0$ ⇔ $x = \frac{- 3 \pm 13}{2}$ ⇔ $x = 5 \lor x = - 8$ .

Como $x > 0$ , a largura é $5$ m e o comprimento $8$ m.

🔴 Nível difícil

13Difícil Uma bola é lançada verticalmente e a sua altura, em metros, $t$ segundos após o lançamento, é dada por $h (t) = 1,5 + 14 t - 5 t^{2}$ .

13.1. A que altura foi lançada a bola?

13.2. Determine a altura máxima atingida e o instante em que ocorre.

13.3. Durante quanto tempo a bola esteve acima de $9$ metros? Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.

Resolução

13.1. $h (0) = 1,5$ m.

13.2. $t_{V} = - \frac{14}{2 \times (- 5)} = 1,4$ s; $h (1,4) = 1,5 + 19,6 - 9,8 = 11,3$ m.

13.3. $- 5 t^{2} + 14 t - 7,5 > 0$ . Zeros: $t = \frac{14 \mp \sqrt{46}}{10}$ , ou seja $t_{1} \approx 0,722$ e $t_{2} \approx 2,078$ . Esteve acima de $9$ m durante $t_{2} - t_{1} = \frac{\sqrt{46}}{5} \approx 1,4$ s.

14Difícil Uma loja vende $100 - 2 p$ unidades de um produto quando o preço é $p$ euros ( $0 < p < 50$ ). A receita é $R (p) = p (100 - 2 p)$ .

14.1. Que preço maximiza a receita? Qual é a receita máxima?

14.2. Para que preços a receita é de pelo menos $800$ €?

Resolução

14.1. $R (p) = - 2 p^{2} + 100 p$ . Vértice: $p = - \frac{100}{- 4} = 25$ ; $R (25) = 25 \times 50 = 1250$ €.

14.2. $- 2 p^{2} + 100 p \geq 800$ ⇔ $p^{2} - 50 p + 400 \leq 0$ . Zeros: $p = \frac{50 \pm 30}{2}$ , ou seja $10$ e $40$ . Solução: $p \in [10, 40]$ .

15Difícil Determine $k$ de modo que a equação $x^{2} - (k + 1) x + k = 0$ tenha uma solução dupla, e indique essa solução.

Resolução

$Δ = (k + 1)^{2} - 4 k = k^{2} - 2 k + 1 = (k - 1)^{2}$ .

$Δ = 0 ⟺ k = 1$ . A equação fica $x^{2} - 2 x + 1 = 0 ⟺ (x - 1)^{2} = 0$ : solução dupla $x = 1$ .

Ficha nº4 – Equações e inequações do 2.º grau e problemas

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