Ficha de exames nº6

Provas de 2019–2022

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 4 fáceis9 médios2 difíceis

1Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2019, 2.ª fase, item 8

Num centro de anilhagem de aves foram usadas anilhas de vários diâmetros, consoante a espécie. A tabela seguinte apresenta as frequências absolutas acumuladas do número de anilhas utilizadas, por diâmetro, em milímetros (dados lidos de um gráfico de barras).

Diâmetro (mm)	2,00	2,30	2,80	3,30	4,30	5,25
Frequência absoluta acumulada	669	1272	2113	2144	2338	2522

Determine a percentagem de anilhas utilizadas cujo diâmetro não pertence ao intervalo $] \bar{x} - s, \bar{x} + s [$ , sendo $\bar{x}$ a média e $s$ o desvio-padrão dos diâmetros das anilhas utilizadas.
Comece por determinar a frequência absoluta de cada diâmetro e apresente $\bar{x}$ e $s$ arredondados às centésimas. Apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades.

Resolução

As frequências absolutas obtêm-se subtraindo acumuladas consecutivas: $669$ ; $1272 - 669 = 603$ ; $2113 - 1272 = 841$ ; $2144 - 2113 = 31$ ; $2338 - 2144 = 194$ ; $2522 - 2338 = 184$ . Total: $n = 2522$ anilhas.

Na calculadora (L1: diâmetros; L2: frequências absolutas) obtemos $\bar{x} = \frac{2 \times 669 + 2,3 \times 603 + 2,8 \times 841 + 3,3 \times 31 + 4,3 \times 194 + 5,25 \times 184}{2522} \approx 2,77$ mm.

Desvio-padrão (amostral): $s \approx 0,92$ mm.

Intervalo: $] \bar{x} - s, \bar{x} + s [=] 2,77 - 0,92; 2,77 + 0,92 [=] 1,85; 3,69 [$ .

Os diâmetros fora do intervalo são $4,30$ e $5,25$ mm, correspondentes a $194 + 184 = 378$ anilhas.

Percentagem: $\frac{378}{2522} \times 100 \approx 14,99 %$ . Cerca de 15 % das anilhas.

2Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2019, época especial, item 5.1

Registaram-se os valores gastos em compras (em euros, ordenados) por 50 clientes de um centro comercial:

Valores gastos (€)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
5	6	6	10	12	14	16	18	18	19
20	21	22	23	26	29	31	32	34	36
39	41	42	42	43	46	49	51	53	55
57	59	68	78	98	102	107	143	168	197

Complete: «60% dos clientes inquiridos gastaram, no máximo, ___ euros.»

(A) 34 (B) 36 (C) 39 (D) 40

Resolução

60% de 50 clientes são $0,6 \times 50 = 30$ clientes.

O 30.º valor da lista ordenada é o último da 3.ª linha: 36 euros (e o 31.º é 39).

Logo, 30 clientes (60%) gastaram no máximo 36 euros.

Opção (B) 36.

3Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2019, época especial, itens 5.2.1 e 5.2.2

O João e a Maria perguntaram, cada um, a 50 clientes quantos artigos tinham comprado nesse dia. Dados do João:

N.º de artigos (João)	0	1	2	3	a
N.º de clientes	8	14	12	13	3

Dados da Maria (gráfico de barras):

N.º de artigos (Maria)	0	1	2	3	4	5
N.º de clientes	10	15	8	7	7	3

a) Sabe-se que a média do número de artigos comprados pelos 50 clientes inquiridos pelo João é 1,96. Determine o valor de $a$ .

b) Considere agora $a = 4$ . Construa um diagrama de extremos e quartis com os dados dos 100 clientes (João e Maria).

Resolução

a) $\frac{0 \times 8 + 1 \times 14 + 2 \times 12 + 3 \times 13 + 3 a}{50} = 1,96 \Leftrightarrow 77 + 3 a = 98 \Leftrightarrow a = 7$ . $a = 7$ .

b) Juntando os dados ( $a = 4$ ): valores $0, 1, 2, 3, 4, 5$ com frequências $18, 29, 20, 20, 10, 3$ (total 100).

Frequências acumuladas: $18, 47, 67, 87, 97, 100$ .

$Q_{1}$ : posições 25 e 26 → $1$ ; mediana: posições 50 e 51 → $2$ ; $Q_{3}$ : posições 75 e 76 → $3$ . Mínimo $0$ , máximo $5$ .

Diagrama de extremos e quartis: mínimo 0, $Q_{1} = 1$ , mediana 2, $Q_{3} = 3$ , máximo 5.

4Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2019, época especial, item 3.3 (adaptado)

Ao longo de vários anos, registaram-se a altura, $h$ , e o diâmetro da copa, $d$ , ambos em metros, de uma araucária. Os dados estão na tabela seguinte.

Altura, h (m)	4,6	5,8	6,7	7,7	10,7	12,7	13,9	16,9
Diâmetro da copa, d (m)	3,5	4,1	5,3	6,6	8,6	9,9	10,8	14,1

Sabe-se que, aos 25 anos de idade, a araucária terá $16,4$ m de altura (valor obtido a partir de um modelo para a altura da árvore). Recorrendo à reta de regressão de $d$ sobre $h$ , estime o diâmetro da copa da araucária aos 25 anos de idade.
Apresente os parâmetros da reta com quatro casas decimais e o resultado em metros, arredondado às décimas.

Resolução

Introduzimos as alturas na lista L1 e os diâmetros na lista L2 e efetuamos a regressão linear $d = a h + b$ .

Obtemos $a \approx 0,8335$ e $b \approx - 0,3681$ (com $r \approx 0,995$ , correlação linear positiva muito forte).

Reta de regressão: $d = 0,8335 h - 0,3681$ .

Para $h = 16,4$ : $d = 0,8335 \times 16,4 - 0,3681 \approx 13,30$ .

O diâmetro da copa aos 25 anos será de cerca de 13,3 m.

5Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2020, 1.ª fase, itens 7.1, 7.2 e 7.3

No primeiro dia de venda de bilhetes para o concerto de uma big band, registou-se, para sete pessoas, o tempo $x$ (em horas) que esperaram na fila antes da abertura da bilheteira e o tempo $y$ (em horas) que decorreu desde a abertura até comprarem os bilhetes.

Pessoa	A	B	C	D	E	F	G
$x$ (horas)	30	24	22,5	18	12	8	3
$y$ (horas)	0,5	1	2	4	8	9	12

a) O Filipe e um amigo estiveram juntos na fila (esperaram o mesmo tempo antes da abertura). O tempo médio de espera antes da abertura das nove pessoas (as sete da tabela e os dois amigos) foi $15,5$ horas. Quantas horas esperou o Filipe?

b) Num gráfico circular sobre o tempo $y$ de todos os clientes do primeiro dia, a classe $[0, 3 [$ corresponde a $60 %$ , $[3, 6 [$ a $16 %$ , $[6, 9 [$ a $16 %$ e $[9, 12]$ a $8 %$ . As três pessoas da tabela com $y < 3$ representam $0,4 %$ dos clientes da classe $[0, 3 [$ . Quantos clientes compraram bilhete nesse dia? (A) $1250$ (B) $5$ (C) $750$ (D) $50$

c) Admita que a relação entre $x$ e $y$ é bem aproximada pela reta de regressão de $y$ sobre $x$ . Apresente a equação da reta (coeficientes arredondados às milésimas) e estime, em horas arredondadas às unidades, o tempo desde a abertura até à compra para uma pessoa que esperou $6$ horas na fila.

Resolução

a) Soma dos tempos da tabela: $30 + 24 + 22,5 + 18 + 12 + 8 + 3 = 117,5$ h. Seja $a$ o tempo do Filipe (igual ao do amigo): $\frac{117,5 + 2 a}{9} = 15,5$ .

a) $117,5 + 2 a = 139,5 \Leftrightarrow 2 a = 22 \Leftrightarrow a = 11$ . O Filipe esperou $11$ horas.

b) $3$ pessoas são $0,4 %$ da classe $[0, 3 [$ : essa classe tem $3 : 0,004 = 750$ clientes.

b) Esses $750$ clientes são $60 %$ do total: $750 : 0,6 = 1250$ . Opção (A): $1250$ clientes.

c) Na calculadora, lista L1 com $x$ e lista L2 com $y$ ; a regressão linear dá $y = - 0,459 x + 12,913$ ( $r \approx - 0,983$ ).

c) Para $x = 6$ : $y = - 0,459 \times 6 + 12,913 = 10,159$ . Cerca de $10$ horas.

6Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2020, 1.ª fase, item 6

A tabela seguinte apresenta os valores de um polígono de frequências acumuladas relativo à quantidade total de pescado capturado em Portugal, em toneladas, ao longo dos meses de 2018 (o valor de cada mês é o total acumulado desde janeiro até ao fim desse mês).

Mês	jan.	fev.	mar.	abr.	mai.	jun.	jul.	ago.	set.	out.	nov.	dez.
Pescado acumulado (t)	6851	12 672	16 944	23 129	35 117	47 341	63 675	82 944	98 923	111 983	119 329	124 583

Em abril de 2018, a captura de moluscos correspondeu a cerca de $10,8 %$ do total de pescado capturado nesse mês.
Determine a quantidade de moluscos capturada em abril de 2018, em toneladas, arredondada às unidades.

Resolução

Os valores são acumulados; a quantidade capturada apenas em abril é a diferença entre o acumulado até abril e o acumulado até março.

Total de abril: $23 129 - 16 944 = 6185$ toneladas.

Moluscos em abril: $10,8 %$ de $6185$ , ou seja, $0,108 \times 6185 = 667,98$ .

Foram capturadas cerca de 668 toneladas de moluscos em abril de 2018.

7Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2020, 2.ª fase, item 7.1

Registaram-se os atrasos (em minutos, arredondados às unidades) de $100$ comboios. A tabela está incompleta.

Atraso (min)	N.º de comboios	Frequência absoluta acumulada
0		2
2		14
4	$a$
5	13	37
$b$	13
15
17		100

Sabe-se que a mediana dos atrasos é $11$ minutos e que todos os valores em falta são diferentes de zero. Determine $a$ e $b$ .

Resolução

Frequência acumulada até $4$ min: $37 - 13 = 24$ . Então $a = 24 - 14 = 10$ .

Frequência acumulada até $b$ : $37 + 13 = 50$ . Como há $100$ dados, a mediana é a média do $50 . º$ e do $51 . º$ valores ordenados.

O $50 . º$ valor é $b$ e o $51 . º$ é $15$ (os $50$ comboios restantes têm $15$ ou $17$ min, ambos com frequência não nula).

$\frac{b + 15}{2} = 11 \Leftrightarrow b + 15 = 22 \Leftrightarrow b = 7$ .

$a = 10$ e $b = 7$ .

8Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2020, 2.ª fase, item 7.2.1

Numa empresa ferroviária, as reclamações estão concluídas ou pendentes, de acordo com as percentagens da tabela.

	Concluídas	Pendentes
Total	55 %	45 %
Estação E1	40 %	60 %
Estação E2	25 %	75 %

Há $13 680$ reclamações pendentes no total, e a estação E2 recebeu $40 %$ de todas as reclamações. Quantas reclamações da estação E2 estão pendentes?

Resolução

As pendentes são $45 %$ do total: total $= 13 680 : 0,45 = 30 400$ reclamações.

Reclamações da estação E2: $0,40 \times 30 400 = 12 160$ .

Pendentes em E2: $0,75 \times 12 160 = 9120$ .

Estão pendentes $9120$ reclamações da estação E2.

9Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2020, 2.ª fase, item 3 (adaptado)

Nos doze recenseamentos realizados entre 1900 e 2011, a população residente no concelho de Mirandela assumiu os valores seguintes (apresentados por ordem crescente; $R$ é a população em 1991).

	1.º	2.º	3.º	4.º	5.º	6.º	7.º	8.º	9.º	10.º	11.º	12.º
População	17 931	20 789	22 063	23 007	23 850	24 139	R	25 819	27 508	28 879	29 912	31 131

Sabe-se que a mediana desta amostra é $24 674$ e que, no gráfico original, o valor $R$ se situa entre $24 139$ e $25 819$ . Sejam $\bar{x}$ e $s$ , respetivamente, a média e o desvio-padrão da amostra.
Comece por justificar que $R = 25 209$ . Determine $\bar{x}$ e $s$ , arredondados às centésimas, e indique quantos (e quais) valores da população não pertencem ao intervalo $] \bar{x} - s, \bar{x} + s [$ .

Resolução

Há $n = 12$ valores (número par), logo a mediana é a média do 6.º e do 7.º valores da amostra ordenada. Como $R$ está entre $24 139$ e $25 819$ , o 6.º valor é $24 139$ e o 7.º é $R$ .

$\frac{24 139 + R}{2} = 24 674 \Leftrightarrow 24 139 + R = 49 348 \Leftrightarrow R = 25 209$ .

Na calculadora (L1 com os 12 valores): $\bar{x} = \frac{300 237}{12} = 25 019,75$ e $s \approx 3886,21$ (desvio-padrão amostral).

$\bar{x} - s \approx 21 133,54$ e $\bar{x} + s \approx 28 905,96$ .

Ficam fora do intervalo $] 21 133,54; 28 905,96 [$ os valores $17 931$ e $20 789$ (abaixo) e $29 912$ e $31 131$ (acima).

Quatro recenseamentos ficam fora do intervalo: os de 17 931, 20 789, 29 912 e 31 131 habitantes (segundo os critérios oficiais, correspondem aos anos de 1920, 1900, 1950 e 1960).

10Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2020, época especial, item 8.1

Numa turma, cada aluno registou o número de resíduos que colocou no ecoponto amarelo. A tabela mostra os dados dos rapazes e o diagrama de caule e folhas os das raparigas (caule: dezenas; folhas: unidades).

N.º de resíduos (rapazes)	5	6	13	16
Frequência absoluta	3	4	2	2

Caule	Folhas (raparigas)
0	5 5 7 $a$
1	1 1 3
2	2 2

Sabe-se que a mediana dos dados de todos os alunos da turma é $8$ . Determine $a$ .

Resolução

Há $3 + 4 + 2 + 2 = 11$ rapazes e $9$ raparigas: $20$ alunos. A mediana é a média do $10 . º$ e do $11 . º$ valores ordenados.

Valores ordenados abaixo de $a$ : $5, 5, 5, 5, 5$ (cinco), $6, 6, 6, 6$ (quatro), $7$ — o $10 . º$ valor é $7$ .

Como $a$ é uma folha do caule $0$ escrita depois do $7$ , $7 \leq a \leq 9$ ; o $11 . º$ valor é $a$ (os seguintes são $11$ ou mais).

$\frac{7 + a}{2} = 8 \Leftrightarrow a = 9$ .

$a = 9$ .

11Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2020, época especial, item 8.2

Os alunos de uma turma registaram o número de resíduos colocados no ecoponto azul.

N.º de resíduos	1	2	5	9	10
Frequência absoluta	4	5	6	4	1

Num diagrama de extremos e quartis feito para estes dados, o terceiro quartil foi marcado em $8$ . Mostre que esse diagrama não traduz os dados: determine o mínimo, os quartis e o máximo e descreva o diagrama correto.

Resolução

$n = 4 + 5 + 6 + 4 + 1 = 20$ . Frequências acumuladas: $4, 9, 15, 19, 20$ .

$Q_{1}$ : média do $5 . º$ e $6 . º$ valores $= \frac{2 + 2}{2} = 2$ . Mediana: média do $10 . º$ e $11 . º$ $= \frac{5 + 5}{2} = 5$ .

$Q_{3}$ : média do $15 . º$ e $16 . º$ valores $= \frac{5 + 9}{2} = 7$ , e não $8$ .

Mínimo $1$ e máximo $10$ .

Diagrama correto: mínimo $1$ , $Q_{1} = 2$ , $Q_{2} = 5$ , $Q_{3} = 7$ , máximo $10$ (o diagrama dado erra o $Q_{3}$ ).

12Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2021, 1.ª fase, itens 4.1, 4.2 e 4.3

Uma empresa tem $150$ funcionários na região de Lisboa e Vale do Tejo. O histograma das frequências absolutas acumuladas das suas idades dá os valores da tabela 1. Na região do Algarve, a empresa tem $100$ funcionários (tabela 2).

Idade (LVT)	[18, 28[	[28, 38[	[38, 48[	[48, 58[	[58, 68[
Freq. absoluta acumulada	15	75	120	140	150

Idade (Algarve)	[18, 28[	[28, 38[	[38, 48[	[48, 58[	[58, 68[
N.º de funcionários	30	25	30	10	5

a) Determine a média das idades dos $150$ funcionários de Lisboa e Vale do Tejo, arredondada às unidades (use os pontos médios das classes).

b) Num gráfico circular das idades dos funcionários de Lisboa e Vale do Tejo, qual é a amplitude do setor da classe $[18, 28 [$ ? (A) $15 °$ (B) $18 °$ (C) $33 °$ (D) $36 °$

c) Construa a tabela de frequências relativas acumuladas das idades dos $250$ funcionários das duas regiões, com as mesmas classes.

Resolução

a) Frequências absolutas (diferenças das acumuladas): $15, 60, 45, 20, 10$ . Pontos médios: $23, 33, 43, 53, 63$ .

a) $\bar{x} = \frac{23 \times 15 + 33 \times 60 + 43 \times 45 + 53 \times 20 + 63 \times 10}{150} = \frac{5950}{150} \approx 39,7$ . Média $\approx 40$ anos.

b) $\frac{15}{150} \times 360 ° = 36 °$ . Opção (D).

c) Frequências absolutas conjuntas: $15 + 30 = 45$ ; $60 + 25 = 85$ ; $45 + 30 = 75$ ; $20 + 10 = 30$ ; $10 + 5 = 15$ . Acumuladas: $45, 130, 205, 235, 250$ .

c) Dividindo por $250$ : $0,18; 0,52; 0,82; 0,94; 1$ para as classes $[18, 28 [$ a $[58, 68 [$ .

13Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2021, 1.ª fase, item 5.1

Numa experiência com grilos da espécie Orocharis saltator, registou-se o número de impulsos sonoros por segundo, $y$ , emitidos por um grilo, para diferentes valores da temperatura ambiente, $x$ , em graus Celsius. Os dados (lidos de um diagrama de dispersão) estão na tabela seguinte.

Temperatura, °C (x)	16	17,5	18,5	19	21	23	25	27,5	30,5	33,5
Impulsos por segundo (y)	41	45	50	53	60	70	75	82	88	96

Existe uma correlação linear forte entre as variáveis. Seja $r$ a reta de regressão de $y$ sobre $x$ . Recorrendo à equação de $r$ , estime o número de impulsos por segundo quando a temperatura ambiente é de 22 °C.
Apresente os parâmetros da reta arredondados às centésimas e o resultado arredondado às unidades.

Resolução

Introduzimos as temperaturas em L1 e os impulsos em L2 e efetuamos a regressão linear $y = a x + b$ .

Obtemos $a \approx 3,21$ e $b \approx - 8,41$ .

Equação da reta $r$ : $y = 3,21 x - 8,41$ .

Para $x = 22$ : $y = 3,21 \times 22 - 8,41 = 70,62 - 8,41 = 62,21$ .

Estimativa: cerca de 62 impulsos por segundo.

14Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2021, 2.ª fase, item 9.3

Num programa Erasmus+ participaram $110$ alunos universitários: $70$ no 1.º semestre e $40$ no 2.º semestre. A média da nota de candidatura foi $15,65$ valores nos alunos do 1.º semestre e $14,22$ valores nos do 2.º semestre. Determine a média da nota de candidatura dos $110$ alunos, arredondada às centésimas.

Resolução

Soma das notas do 1.º semestre: $70 \times 15,65 = 1095,5$ .

Soma das notas do 2.º semestre: $40 \times 14,22 = 568,8$ .

Média global: $\frac{1095,5 + 568,8}{110} = \frac{1664,3}{110} \approx 15,13$ .

A média é $15,13$ valores.

15Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2022, 1.ª fase, item 6

No 3.º trimestre de 2021, uma agência vendeu $500$ viagens. O gráfico de barras apresentava, para cada mês, a percentagem de viagens com destino nacional e internacional:

Mês	Julho	Agosto	Setembro
Nacional	45 %	60 %	25 %
Internacional	55 %	40 %	75 %

Sabe-se que $48 %$ das viagens foram vendidas em agosto e que em julho se vendeu metade das viagens de agosto. Quantas viagens com destino internacional foram vendidas em setembro?

Resolução

Agosto: $0,48 \times 500 = 240$ viagens. Julho: $240 : 2 = 120$ viagens.

Setembro: $500 - 240 - 120 = 140$ viagens (julho $24 %$ , setembro $28 %$ do total).

Em setembro, $75 %$ tiveram destino internacional: $0,75 \times 140 = 105$ .

Foram vendidas $105$ viagens internacionais em setembro.

Ficha de exames nº6 – Estatística (2019–2022)

Ficha de exames nº6

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

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