Ficha de exames nº3

Provas de 2013–2015

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 4 fáceis9 médios2 difíceis

1Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, 2.ª fase, item 3.2

A tabela indica o número de habitantes de uma localidade, $N$ , em alguns anos ( $t$ = número de anos desde 1980).

Ano	1980	1985	1990	1995	2000	2005	2010
$t$	0	5	10	15	20	25	30
$N$	650	940	1380	1999	2373	2712	5526

A Joana considerou apenas os anos de 1980 a 2000 ( $t = 0, 5, 10, 15$ e $20$ ) e ajustou a esses pontos uma reta de regressão $y = a t + b$ . Determine, de acordo com esse modelo, o crescimento anual aproximado do número de habitantes (arredondado às unidades).

Resolução

Introduzem-se na calculadora as listas $t$ : $0, 5, 10, 15, 20$ e $N$ : $650, 940, 1380, 1999, 2373$ .

Regressão linear: $a \approx 90,1$ e $b \approx 567,4$ , ou seja, $y = 90,1 t + 567,4$ .

O declive $a$ indica quanto aumenta $y$ quando $t$ aumenta 1 ano.

Segundo o modelo da Joana, a população cresce cerca de 90 habitantes por ano.

2Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, 2.ª fase, item 4.1

As tabelas indicam o número total de pontos de acesso à rede postal ( $x$ ) e a densidade postal, em habitantes por ponto de acesso ( $y$ ), de 2001 a 2009.

Ano	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
$x$	19 775	21 758	21 008	20 630	20 457	20 215	19 897	19 155	18 394
$y$	471,3	481,4	501,2	512,5	517,9	525,5	534,1	554,8	563,2

Num diagrama de dispersão, o ponto $(19 775; 471,3)$ , correspondente a 2001, afasta-se dos restantes e é considerado um outlier.
Explique o efeito da exclusão desse ponto no coeficiente de correlação linear e na reta de regressão $y = a x + b$ , quando se pretende fazer previsões. Na resposta: represente o diagrama de dispersão (com 2001); calcule $r$ com 2001; calcule $r$ , $a$ e $b$ com e sem 2001 (arredondados às milésimas); refira o efeito nas previsões.

Resolução

No diagrama de dispersão (eixo horizontal: $x$ ; eixo vertical: $y$ ), os pontos de 2002 a 2009 estão quase alinhados numa reta decrescente; o ponto de 2001 fica claramente abaixo dessa tendência.

Com todos os dados (calculadora): $r \approx - 0,728$ e reta $y = - 0,022 x + 970,216$ .

Sem 2001: $r \approx - 0,992$ e reta $y = - 0,025 x + 1036,193$ .

O valor absoluto de $r$ aumenta muito (de $0,728$ para $0,992$ ): a associação linear negativa passa a ser muito forte. A reta muda de declive ( $- 0,022$ para $- 0,025$ ) e de ordenada na origem.

Sem o outlier, $r \approx - 0,992$ (antes $- 0,728$ ) e a reta $y = - 0,025 x + 1036,193$ ajusta-se muito melhor aos restantes pontos, pelo que as previsões feitas com ela são mais fiáveis.

3Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, 2.ª fase, item 4.2

Em 2004, num concelho com 12 pontos de acesso à rede postal, a média do número de habitantes servidos por cada ponto foi 512,5. O número de habitantes servidos por cada ponto foi:
531, 518, 481, 535, 493, 500, 490, $a$ , 525, 502, 493, 550.
Calcule o valor de $a$ e, depois, o desvio-padrão do número de habitantes servidos por ponto de acesso (arredondado às unidades).

Resolução

Soma dos 12 valores: $12 \times 512,5 = 6150$ .

Soma dos 11 valores conhecidos: $5618$ . Logo $a = 6150 - 5618 = 532$ .

Com a calculadora (lista com os 12 valores): $σ \approx 21,1$ (divisor $n$ ) e $s \approx 22,0$ (desvio-padrão amostral, divisor $n - 1$ ).

$a = 532$ ; desvio-padrão ≈ 21 habitantes (≈ 22 se for usado o desvio-padrão amostral).

4Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, época especial, item 2.2 (adaptado)

A tabela indica o custo total (em euros) de uma chamada no tarifário M, em função da sua duração $t$ (em minutos).

$t$ (min)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Custo M (€)	0,094	0,188	0,282	0,376	0,470	0,564	0,658	0,752	0,846	0,940

Justifique que um modelo linear é adequado a estes dados: represente-os num diagrama de dispersão, determine o coeficiente de correlação linear e relacione-o com o diagrama. Indique um modelo para o custo.

Resolução

No diagrama de dispersão ( $t$ no eixo horizontal, custo no vertical), os 10 pontos estão todos sobre uma reta que passa na origem.

De facto, $\frac{0,188}{2} = \frac{0,282}{3} = \dots = \frac{0,940}{10} = 0,094$ : o custo é proporcional à duração.

Com a calculadora: $r = 1$ (correlação linear positiva perfeita), o que confirma que os pontos estão exatamente alinhados numa reta crescente.

$r = 1$ , pelo que o modelo linear é adequado; o modelo é $y = 0,094 t$ .

5Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, época especial, itens 3.1 e 3.2

A tabela indica os vencimentos mensais, em janeiro de 2009, dos 16 trabalhadores de cada uma de duas empresas, X e Y.

Empresa X: vencimento (€)	500	512	752	840	1520	3850
N.º de trabalhadores	4	6	3	1	1	1

Empresa Y: vencimento (€)	750	870	1088
N.º de trabalhadores	5	10	1

a) Compare a dispersão dos vencimentos das duas empresas em relação à média. Calcule a média e o desvio-padrão de cada empresa (arredondados às centésimas).

b) Em abril de 2010, a empresa X quer dar um prémio aos mesmos 16 trabalhadores. Alternativa 1: cada um recebe 2,5% do seu vencimento de janeiro de 2009. Alternativa 2: 2,5% da soma dos vencimentos de janeiro de 2009 é dividido igualmente pelos 16. Qual das alternativas é mais vantajosa para o maior número de trabalhadores?

Resolução

a) Empresa X: soma $= 4 \times 500 + 6 \times 512 + 3 \times 752 + 840 + 1520 + 3850 = 13 538$ ; $\bar{x} = \frac{13 538}{16} \approx 846,13$ €; $s \approx 842,74$ € (calculadora).

a) Empresa Y: soma $= 5 \times 750 + 10 \times 870 + 1088 = 13 538$ ; $\bar{y} \approx 846,13$ €; $s \approx 85,79$ €.

a) As médias são iguais (846,13€), mas o desvio-padrão de X (842,74€) é cerca de 10 vezes o de Y (85,79€): os vencimentos de X estão muito mais dispersos em relação à média.

b) Alternativa 2: $0,025 \times 13 538 = 338,45$ €; $338,45 \div 16 \approx 21,15$ € para cada trabalhador.

b) Alternativa 1: 500€ → 12,50€; 512€ → 12,80€; 752€ → 18,80€; 840€ → 21,00€; 1520€ → 38,00€; 3850€ → 96,25€.

b) Na alternativa 1, recebem menos de 21,15€ os $4 + 6 + 3 + 1 = 14$ trabalhadores com vencimento até 840€; só 2 ficam a ganhar. A alternativa 2 é mais vantajosa para 14 dos 16 trabalhadores.

6Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2013, época especial, item 2 do Grupo II

Estudou-se, entre 2004 e 2011, a evolução anual do número de chamadas efetuadas a partir de telefones da rede fixa e do número de mensagens escritas enviadas, ambos em milhares de milhões. Para cada variável construiu-se um diagrama de dispersão em função do ano e ajustou-se uma reta de regressão:
• chamadas da rede fixa ( $y$ ) em função do ano ( $x$ ): $y = - 0,1502 x + 304,22$ , com $r^{2} \approx 0,9928$ ;
• mensagens escritas enviadas em função do ano: $r^{2} \approx 0,9128$ (correlação positiva).
Escreva uma pequena composição na qual justifique que são verdadeiras as afirmações seguintes:
A) a correlação linear entre o ano e o número de chamadas da rede fixa é negativa;
B) a correlação linear entre o ano e o número de chamadas da rede fixa é mais forte do que a correlação linear entre o ano e o número de mensagens enviadas;
C) de acordo com o modelo linear, prevê-se que em 2012 se tenham efetuado mais de 2 mil milhões de chamadas a partir da rede fixa.

Resolução

A) O declive da reta de regressão, $- 0,1502$ , é negativo: com o passar dos anos, o número de chamadas da rede fixa tende a diminuir. O coeficiente de correlação tem o sinal do declive, logo $r = - \sqrt{0,9928} \approx - 0,996 < 0$ : a correlação é negativa.

B) A intensidade da correlação mede-se por $| r |$ (ou por $r^{2}$ ): quanto mais próximo de 1, mais forte. Como $0,9928 > 0,9128$ (isto é, $| r | \approx 0,996$ contra $| r | \approx 0,955$ ), a correlação entre o ano e as chamadas da rede fixa é mais forte.

C) Substituindo $x = 2012$ : $y = - 0,1502 \times 2012 + 304,22 = - 302,2024 + 304,22 = 2,0176$ .

Como $2,0176 > 2$ (milhares de milhões), o modelo prevê mais de 2 mil milhões de chamadas em 2012.

As três afirmações são verdadeiras: declive negativo (A), $r^{2}$ mais próximo de 1 (B) e previsão de cerca de $2,02$ mil milhões de chamadas em 2012 (C).

7Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2014, 1.ª fase, item 4.1

Registou-se o número de cafés bebidos num dia por $40$ funcionários de uma empresa:

0, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 3, 4, 1, 3, 3, 0, 1, 5, 4, 2, 0, 4, 1, 3, 4, 4, 2, 4, 5, 3, 3, 1, 2, 4, 8, 5, 0, 1, 8, 4.

Organize os dados numa tabela de frequências absolutas e indique a moda.

Resolução

$x_{i}$	0	1	2	3	4	5	8
$n_{i}$	4	9	7	7	8	3	2

A moda é $1$ café (valor com maior frequência absoluta, $9$ ).

8Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2014, 1.ª fase, item 4.1

Com os dados do exercício anterior (cafés bebidos por $40$ funcionários), calcule a média e a mediana. Interprete a mediana no contexto.

Resolução

$x_{i}$	$n_{i}$	$N_{i}$	$x_{i} n_{i}$
0	4	4	0
1	9	13	9
2	7	20	14
3	7	27	21
4	8	35	32
5	3	38	15
8	2	40	16
Total	40		107

Média: $\bar{x} = \frac{107}{40} = 2,675$ cafés.

Como $n = 40$ é par, a mediana é a média do $20 .^{\circ}$ e do $21 .^{\circ}$ valores ordenados. Pela coluna $N_{i}$ : o $20 .^{\circ}$ é $2$ e o $21 .^{\circ}$ é $3$ , logo $\tilde{x} = 2,5$ .

Pelo menos metade dos funcionários bebeu no máximo $2,5$ cafés (isto é, até $2$ ) e pelo menos metade bebeu $3$ ou mais.

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2014, 1.ª fase, item 4.2

Para os mesmos dados (cafés de $40$ funcionários), determine os quartis e a amplitude interquartil e verifique se existem outliers (valores abaixo de $Q_{1} - 1,5 \times A I Q$ ou acima de $Q_{3} + 1,5 \times A I Q$ ).

Resolução

Metade inferior: os $20$ menores valores; $Q_{1}$ é a média do $10 .^{\circ}$ e $11 .^{\circ}$ : $Q_{1} = 1$ .

Metade superior: do $21 .^{\circ}$ ao $40 .^{\circ}$ valor; $Q_{3}$ é a média do $30 .^{\circ}$ e $31 .^{\circ}$ : $Q_{3} = 4$ .

$A I Q = Q_{3} - Q_{1} = 3$ .

Barreiras: $1 - 1,5 \times 3 = - 3,5$ e $4 + 1,5 \times 3 = 8,5$ .

Todos os valores estão entre $0$ e $8$ , dentro das barreiras: não há outliers.

10Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2014, 1.ª fase, item 4.2

Ainda com os mesmos dados, calcule o desvio-padrão (amostral) $s$ , com duas casas decimais, e a percentagem de funcionários cujo número de cafés pertence ao intervalo $[\bar{x} - s, \bar{x} + s]$ .

Resolução

$s = \sqrt{\frac{\sum n_{i} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}} = \sqrt{\frac{144,775}{39}} \approx 1,93$ (calculadora: lista $x_{i}$ , frequências $n_{i}$ ).

Intervalo: $[2,675 - 1,93; 2,675 + 1,93] \approx [0,75; 4,60]$ .

Valores inteiros no intervalo: $1, 2, 3, 4$ , com $9 + 7 + 7 + 8 = 31$ funcionários.

Percentagem: $\frac{31}{40} = 77,5 %$ .

11Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2014, 1.ª fase, itens 1.1.1 e 1.1.2 do Grupo III

A tabela apresenta, para 13 estações meteorológicas de Portugal continental, a altitude $x$ , em metros, e a média anual das temperaturas máximas $y$ , em °C, no período 1971–2000.

Estação	Altitude $x$ (m)	Média anual das temp. máximas $y$ (°C)
Bragança	690	17,9
Vila Real	481	18,6
Braga	190	20,0
Viseu	443	19,6
Guarda	1019	14,7
Coimbra	35	21,2
Castelo Branco	386	21,0
Santarém	73	22,3
Portalegre	597	19,5
Setúbal	35	21,8
Évora	309	20,7
Beja	246	22,5
Faro	8	22,0

O coeficiente de correlação linear entre $x$ e $y$ é $r \approx - 0,912$ .

a) Justifique que a correlação linear entre as variáveis $x$ e $y$ é forte e negativa.

b) Interprete o valor de $r$ no contexto da situação, indicando qual é a variável explicativa e qual é a variável resposta.

Resolução

a) (Na calculadora, com L1 = altitudes e L2 = temperaturas, obtém-se $r \approx - 0,912$ e a reta $y \approx - 0,00658 x + 22,42$ .)

$| r | \approx 0,912$ está próximo de 1, logo a correlação é forte; $r < 0$ , logo é negativa.

b) A altitude é a variável explicativa (é ela que tende a influenciar a temperatura) e a média anual das temperaturas máximas é a variável resposta.

O sinal negativo de $r$ indica que as variáveis variam em sentidos opostos.

Quando a altitude aumenta, a média anual das temperaturas máximas tende a diminuir (e esta tendência é forte, pois $| r |$ é próximo de 1). Não é correto dizer que é a temperatura que faz variar a altitude.

12Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2014, 2.ª fase, item 3.3

A tabela indica a população da localidade de Runa a 1 de junho de cada ano, de 2000 a 2006 ( $t$ = anos desde 1 de junho de 2000).

$t$	0	1	2	3	4	5	6
$R$ (habitantes)	632	894	1144	1407	1665	1920	2183

Ajuste aos dados uma reta de regressão $R (t) = a t + b$ (com $a$ e $b$ arredondados às centésimas) e use-a para estimar a população de Runa a 1 de junho de 2012 (arredondada às unidades).

Resolução

Introduzem-se as listas $t$ e $R$ na calculadora e calcula-se a reta de regressão.

Obtém-se $a \approx 258,07$ e $b \approx 632,21$ : $R (t) = 258,07 t + 632,21$ .

1 de junho de 2012 corresponde a $t = 12$ .

$R (12) = 258,07 \times 12 + 632,21 = 3096,84 + 632,21 = 3729,05$ .

Estimativa: cerca de 3729 habitantes em 2012.

13Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2014, 2.ª fase, item 4.2

Numa amostra de 20 caixas de saquetas de açúcar, contou-se o número de saquetas por caixa.

Saquetas por caixa	693	714	735	756	819	840
N.º de caixas	1	1	2	3	5	8

Pretende-se retirar o mesmo número de saquetas a cada caixa de modo que a média passe a ser 760 saquetas por caixa. Quantas saquetas se devem retirar de cada caixa?

Resolução

Número de caixas: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20$ .

$\bar{x} = \frac{693 + 714 + 2 \times 735 + 3 \times 756 + 5 \times 819 + 8 \times 840}{20} = \frac{15 960}{20} = 798$ .

Se a cada dado se subtrair $k$ , a média também diminui $k$ : $798 - k = 760$ .

$k = 38$ .

Devem retirar-se 38 saquetas de cada caixa.

14Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2015, 1.ª fase, item 3.1

Para conhecer a população com carta de condução de uma localidade, um gabinete de estudos inquiriu 950 habitantes encartados. Apurou-se que:
• 350 desses habitantes obtiveram a carta em 1990;
• 250 desses habitantes eram mulheres;
• das mulheres encartadas, 110 obtiveram a carta em 1990.
Determine quantos dos inquiridos eram homens que não obtiveram a carta em 1990.

Resolução

Organizamos os dados numa tabela de dupla entrada (sexo × ano da carta). Total: $950$ ; encartados em 1990: $350$ ; mulheres: $250$ ; mulheres encartadas em 1990: $110$ .

Número de homens: $950 - 250 = 700$ .

Homens encartados em 1990: $350 - 110 = 240$ .

Homens não encartados em 1990: $700 - 240 = 460$ .

Verificação: não encartados em 1990 são $950 - 350 = 600$ ; destes, mulheres são $250 - 110 = 140$ ; logo, homens: $600 - 140 = 460$ .

460 homens não obtiveram a carta em 1990.

15Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2015, 1.ª fase, item 5.1

Num estudo, registou-se o número de exames de condução que 200 condutores encartados realizaram até obterem a carta (entre 1 e 4 exames). Os resultados estão na tabela seguinte.

N.º de exames realizados	1	2	3	4
N.º de encartados	130	50	a	b

Pretende-se divulgar a informação num gráfico circular. Sabe-se que o setor correspondente aos condutores que realizaram exatamente três exames tem um ângulo ao centro de 27°.
Determine os valores de $a$ e $b$ .

Resolução

Num gráfico circular, o ângulo de cada setor é proporcional à frequência absoluta: $360^{\circ}$ correspondem aos $200$ condutores.

Para três exames: $\frac{a}{200} = \frac{27}{360}$ , logo $a = \frac{27 \times 200}{360} = 15$ .

A soma das frequências é 200: $130 + 50 + a + b = 200$ .

$130 + 50 + 15 + b = 200 \Leftrightarrow b = 5$ .

$a = 15$ e $b = 5$ .

Ficha de exames nº3 – Estatística (2013–2015)

Ficha de exames nº3

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

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