Teste nº1 – Funções: gráficos, afim e quadrática

O contradomínio é o conjunto das imagens, ou seja, a projeção do gráfico no eixo $Oy$.

Pela figura, o menor valor que $f$ toma é $f(-1)=-2$ e o maior é $f(2)=4$.

Como $f$ é contínua no intervalo (o gráfico não tem interrupções), toma todos os valores entre $-2$ e $4$.

A opção (A) é o domínio; (C) e (D) deixam de fora imagens visíveis no gráfico.

Contradomínio: $D_f^{\prime }=[-2,4]$

Opção (B)

Declive: $m={\displaystyle \frac{f(3)-f(1)}{3-1}}={\displaystyle \frac{7-3}{2}}=2$.

Ordenada na origem: $3=2\times 1+b\iff b=1$.

Logo $f(x)=2x+1$. Verificação: $f(3)=7$ ✓.

As opções (A), (C) e (D) satisfazem $f(1)=3$ mas não $f(3)=7$ (em (D) o declive foi calculado ao contrário, $\frac{\Delta x}{\Delta y}$).

$f(x)=2x+1$

Opção (B)

3.1.

Zeros: $x^2-2x-3=0\iff x={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}}={\displaystyle \frac{2\pm 4}{2}}$.

Logo $x=-1$ ou $x=3$.

Abcissa do vértice: $x_V=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}={\displaystyle \frac{2}{2}}=1$ (também é a média dos zeros: $\frac{-1+3}{2}=1$).

Ordenada: $f(1)=1-2-3=-4$.

Zeros: $-1$ e $3$; $V(1,-4)$

3.2.

Os zeros de $f$ são $-1$ e $3$ (alínea anterior).

Como $a=1>0$, a parábola tem a concavidade voltada para cima.

Logo $f(x)\le 0$ entre os zeros (inclusive).

$S=[-1,3]$

A forma canónica $a(x-h{)}^2+k$ tem vértice $(h,k)$.

Aqui $a=2$, $h=3$ e $k=5$ (atenção: $x-3$ corresponde a $h=3$, não a $-3$).

$V(3,5)$

Opção (B)

Para $c>0$: $|A|\le c\iff -c\le A\le c$.

$-7\le 2x-1\le 7$.

Somando $1$: $-6\le 2x\le 8$.

Dividindo por $2$: $-3\le x\le 4$.

$S=[-3,4]$

Somar uma constante à imagem, $f(x)+k$, desloca o gráfico na vertical.

Cada ponto $(x,y)$ do gráfico de $f$ passa a $(x,y+3)$.

As opções (A) e (B) corresponderiam a $f(x-3)$ e $f(x+3)$ (deslocamentos horizontais).

Vetor $(0,3)$

Opção (C)

7.1.

Tarifário A: valor fixo mais valor proporcional ao tempo: $A(t)=4+\mathrm{1,5}t$.

Tarifário B: só valor proporcional: $B(t)=\mathrm{2,5}t$.

$A(3)=4+\mathrm{1,5}\times 3=\mathrm{8,5}$.

$B(3)=\mathrm{2,5}\times 3=\mathrm{7,5}$.

$A(t)=4+\mathrm{1,5}t$, $B(t)=\mathrm{2,5}t$; para $3$ horas: $\mathrm{8,50}$ € (A) e $\mathrm{7,50}$ € (B)

7.2.

O tarifário A é mais vantajoso quando $A(t)<B(t)$.

$4+\mathrm{1,5}t<\mathrm{2,5}t\iff 4<t$.

Para $t=4$ os dois custos são iguais: $A(4)=B(4)=10$ euros.

Para $t>4$ o custo de B cresce mais depressa (declive $\mathrm{2,5}>\mathrm{1,5}$), logo A fica mais barato.

O tarifário A é mais vantajoso para alugueres de mais de $4$ horas.

8.1.

Como $-3<1$, usa-se o primeiro ramo: $f(-3)=-3+2=-1$.

Como $2\ge 1$, usa-se o segundo ramo: $f(2)=4-8+6=2$.

$f(-3)+f(2)=-1+2$.

$1$

8.2.

Primeiro ramo ($x<1$): $x+2=0\iff x=-2$; como $-2<1$, é zero de $f$.

Segundo ramo ($x\ge 1$): $x^2-4x+6=0$, com $\Delta =(-4{)}^2-4\times 1\times 6=-8<0$.

O segundo ramo não tem zeros.

O único zero de $f$ é $-2$.

Uma função é par se $f(-x)=f(x)$ para todo o $x$ do domínio.

$g(-x)=(-x{)}^2+1=x^2+1=g(x)$, logo $g$ é par.

$f(-x)=-x^3=-f(x)$ (ímpar); $h(-1)=0\ne h(1)=2$; $j(-1)=0\ne j(1)=2$.

$g(x)=x^2+1$

Opção (B)

$-(x-3{)}^2+4=-(x^2-6x+9)+4$.

$=-x^2+6x-9+4=-x^2+6x-5=g(x)$, como se pretendia.

Para todo o $x\in ℝ$, $(x-3{)}^2\ge 0$, logo $-(x-3{)}^2\le 0$.

Assim $g(x)=-(x-3{)}^2+4\le 4$ para todo o $x$.

Além disso, $g(3)=4$, pelo que o valor $4$ é atingido.

O máximo absoluto de $g$ é $4$, atingido em $x=3$.

$(g\circ f)(2)=g(f(2))$: aplica-se primeiro $f$ e depois $g$.

$f(2)=2\times 2-1=3$.

$g(3)=3^2=9$.

A opção (B) corresponde a $(f\circ g)(2)=f(4)=7$ (ordem trocada) e (A) a $f(2)$.

$9$

Opção (C)

Introduzem-se $y_1=x^2-3$ e $y_2=|x+1|$ na calculadora, numa janela adequada, por exemplo $[-4,4]\times [-4,8]$.

Os gráficos intersetam-se em dois pontos.

Com a função de interseção obtém-se $x\approx -\mathrm{2,00}$ e $x\approx \mathrm{2,56}$.

(Confirmação analítica: para $x<-1$, $x^2+x-2=0$ dá $x=-2$; para $x\ge -1$, $x^2-x-4=0$ dá $x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\approx \mathrm{2,56}$.)

$x\approx -\mathrm{2,00}$ e $x\approx \mathrm{2,56}$